一階邏輯的基于公理化真度的發(fā)散度與相容度

中圖分類號(hào)：0141 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A DOI： 10.19907/j.0490-6756.240087

Divergence and compatibility of first-order logic basedon axiomatictruthdegree

WANG Qian，HUI Xiao-Jing， YUAN Yi-Dan（College of Mathematics and Computer Science，Yan'an University，Yan’an 716ooo，China）

Abstract： Degree of first-order logic plays an important role in quantitative logic.Nowadays，studies on the compatibilitydegree of first-order logic based on axiomatic truth degreeis just at the beginning.In this paper， the equivalent forms of the divergence degree and the polar index are given，respectively.A new concept of polar index，that is，index number is introduced.Combining the concepts of divergence degree and index number，the η -compatibility degree，the ω -compatibility degree and the θ -compatibility degree are given.Finally， the basic properties and the relationship between the three compatibility degrees are addressed.

Keywords： First-order logic; Axiomatic truth degree; Divergence degree; Compatibility degree （2020 MSC 03B10）

1引言

計(jì)量邏輯學(xué)是溝通數(shù)理邏輯和計(jì)算數(shù)學(xué)的橋梁.眾所周知，數(shù)理邏輯以符號(hào)化表達(dá)和邏輯推理為核心而計(jì)算數(shù)學(xué)則以數(shù)值計(jì)算和近似求解為核心，前者重視邏輯規(guī)則而后者則側(cè)重于利用數(shù)值算法解決問題.為了將這兩個(gè)學(xué)科聯(lián)系起來，王國俊等在傳統(tǒng)數(shù)理邏輯基礎(chǔ)上引入了程度化的概念.這個(gè)概念的核心是通過對(duì)邏輯問題的具體程度的描述來簡化邏輯推理過程，使數(shù)理邏輯更加適用于實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景.由此出發(fā)，包含計(jì)量命題邏輯和計(jì)量謂詞邏輯的計(jì)量邏輯學(xué)逐步發(fā)展起來[1-4].

到目前為止，計(jì)量邏輯學(xué)研究主要關(guān)注命題邏輯系統(tǒng)[5-13]，對(duì)命題邏輯系統(tǒng)程度化問題的研究才剛剛開始.文獻(xiàn)[3]通過將基礎(chǔ)概念進(jìn)行程度化引入了命題邏輯系統(tǒng)中的公式真度的概念，并根據(jù)語義理論提出了命題邏輯系統(tǒng)中的計(jì)量邏輯理論．在命題邏輯系統(tǒng)的公式集 F（S） 中，選擇需要的公式集Γ，對(duì)T進(jìn)行邏輯推理可得出相應(yīng)的Γ-結(jié)論.已有結(jié)果告訴我們，在眾多Γ-結(jié)論之中，如果所得結(jié)論是矛盾式0，那么T-結(jié)論的集合 D（Γ）= F（S） 另一方面，如果0不是Γ-結(jié)論，該如何區(qū)分0是Γ-結(jié)論的程度大小呢？為了回答這個(gè)問題，眾多學(xué)者展開了研究[14-24].文獻(xiàn)[14]首次提出了理論的不相容度概念，并給出了量化指標(biāo).文獻(xiàn)[15]重點(diǎn)討論了Lukasiewicz邏輯系統(tǒng)中有限命題集的相容度問題.文獻(xiàn)[16～25]研究了計(jì)量邏輯學(xué)中理論的發(fā)散性和相容性等性質(zhì)，基于發(fā)散度概念提出了理論的相容度概念，以此來區(qū)分不同理論的相容程度大小.文獻(xiàn)[17]在幾種標(biāo)準(zhǔn)完備性成立的邏輯系統(tǒng)中提出了一種衡量理論是否相容的極指標(biāo) i_R（Γ） ，并將文獻(xiàn)[15]的結(jié)論推廣到可列命題集上.在文獻(xiàn)[16]基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[18]引入了一種新的衡量理論是否相容的極指標(biāo) j_R（Γ） 文獻(xiàn)[19]不依賴發(fā)散度的概念，通過演繹定理和完備性定理對(duì)理論的不一致性進(jìn)行深入分析，自然且合理地引入了相容度的概念.文獻(xiàn)[2O]在NM系統(tǒng)中基于積分真度理論基礎(chǔ)給出了極性指標(biāo)與相容度的概念：

本文主要關(guān)注邏輯演算的程度化問題.邏輯演算理論分為語義理論和語構(gòu)理論.在深入研究謂詞邏輯的語義理論時(shí)，人們發(fā)現(xiàn)它比命題邏輯的復(fù)雜度更高，這主要源于謂詞邏輯引入了量詞和謂詞，使得語句的表達(dá)和解釋更加靈活和豐富.一般來說，在謂詞邏輯中建立真度理論需要借助更為精細(xì)的語義方法．文獻(xiàn)[26]提出了建立在閉邏輯公式之集 Φ 上的公理化真度理論，并將該理論在命題邏輯中所得到的相似度和偽距離概念及邏輯理論間的相容度的計(jì)算方法等進(jìn)行了推廣：在此基礎(chǔ)上，本文分別從發(fā)散度和相容度這兩方面進(jìn)行研究，給出了衡量理論1表現(xiàn)程度的新的量化形式.首先，基于文獻(xiàn)[26]中發(fā)散度 d（Γ） 概念，本文給出了發(fā)散度 d（Γ） 的兩種等價(jià)表述．然后，本文提出了極指標(biāo) i（Γ） 的等價(jià)形式，并引人了一種新的量化指標(biāo)，即指標(biāo)數(shù) k（Γ） 結(jié)合發(fā)散度d（Γ） 和指標(biāo)數(shù) k（Γ） ，本文進(jìn)一步給出了 η -相容度的等價(jià)形式 ω -相容度，提出了 θ. 相容度的概念，以便為分析一階邏輯中理論的相容性提供一個(gè)新的框架.最后，本文討論了三種相容度的性質(zhì)及相互關(guān)系．

2 預(yù)備知識(shí)

設(shè) Φ 是全體不含函數(shù)符號(hào)的一階閉邏輯公式的集合.文獻(xiàn)[26]采用公理化方法給出了一階邏輯公理化真度的概念，證明了 Φ 中每個(gè)公式的真度都是可計(jì)算的，且基于公理化真度理論給出了公式之間的相似度和偽距離的計(jì)算方法，提出了邏輯理論的相容度概念.下面我們首先介紹 Φ 中公式公理化真度的定義及真度映射的有關(guān)性質(zhì)，并給出真度的計(jì)算方法.

定義 2.1^[26] （204號(hào) 稱映射 為公理化真度映射，若：

（K1）不出現(xiàn)相同謂詞符號(hào)的 N 個(gè)文字的完全閉包的合取的真度等于

（K2）若 α 是 Φ 中的定理則 τ（α）=1 （K3） τ（?α）=1-τ（α） α∈Φ ：

（K4） β∈Φ ，

（K5）

（K6）在計(jì)算公式的真度時(shí)，其中的原子公式中的變?cè)梢韵嗷ヌ鎿Q．

當(dāng) α∈Φ 時(shí)，稱 τ（α） 為 α 的公理化真度，簡稱為 α 的 τ? 真度或真度.值得注意的是，定義2.1中的（K1）可以替換為[26]

（K1）不出現(xiàn)相同原子公式的 N 個(gè)文字的合取的完全閉包的真度等于

命題 2.2^[26] （204 真度映射具有以下性質(zhì)：

（i）若 α 是矛盾式則 τ（α）=0 ：

（ii））若 α 與 β 邏輯等價(jià)則 τ（α）=τ（β）

（ii）若 則 τ（α）?τ（β）

（iv）若 τ（α）?a ， 則 τ（β）?a+ b-1 ：

（iv）若 則

（v） （vi） τ（α∨β）+τ（α∧β）=τ（α）+τ（β）

命題 2.3^[26] 設(shè) （204這里 A_ij（i=1，…，n;j=1，…，k_i） 是不含相同謂詞符號(hào)的文字．則

其中

接下來，我們介紹 Φ 中公式之間相似度與偽距離的計(jì)算方法以及 Φ 中邏輯理論之間的發(fā)散度與相容度理論.

定義 2.4^[26] 設(shè) α，β∈Φ 令

ξ（α，β）=τ（（αβ）Λ（βα））

稱 ξ（α，β） 為 α 與 β 之間的相似度.

定義 2.5^[26] （204 設(shè) α，β∈Φ 令

ρ（α，β）=1-ξ（α，β）

稱 ρ（α，β） 為 α 與 β 之間的偽距離.

定義 2.6^[26] 設(shè) Γ?Φ 則稱 Γ 為邏輯理論，簡稱為理論.如果從 Γ 可以推出矛盾式，則稱理論 Γ 不相容，否則稱理論 Γ 相容.以下用 D（Γ） 表示全體 Γ -結(jié)論之集，稱為 Γ 的邏輯閉包，即

D（Γ）={α∈Φ|Γ|-α}

其中 Γ?α 表示 α 是 Γ -結(jié)論.

定義 2.7^[26] （204號(hào) 設(shè) Γ?Φ 令

稱 div（Γ） 為邏輯理論 Γ 的發(fā)散度.若 div（Γ）=1 則稱 Γ 是全發(fā)散的.本文將 div（Γ） 簡記為 d（Γ）

推論 2.8^[26] 不相容理論是全發(fā)散的.

定義 2.9^[26]

i（Γ）=max{[ρ（α，β）]|α，β∈D（Γ）}

這里 [ρ（α，β）] 表示 ρ（α，β） 的整數(shù)部分.稱 i（Γ） 為Γ 的極指標(biāo)， η（Γ） 為 Γ 的相容度.

命題 2.10^[26] （204號(hào) 設(shè) Γ 是 Φ 中的邏輯理論.則

（i） i（Γ）=0 當(dāng)且僅當(dāng)Γ是純相容的；

（ii） i（Γ）=1 當(dāng)且僅當(dāng)Γ不是純相容的.

我們約定，后文中的討論均在 Φ 中展開，即A，B，C 均為不含函數(shù)符號(hào)的一階閉邏輯公式．

3發(fā)散度的等價(jià)刻畫形式

在本節(jié)中，我們將在公理化真度定義2.1的基礎(chǔ)上結(jié)合邏輯理論 Γ 的發(fā)散度 d（Γ） 的定義給出其等價(jià)形式.

定理3.1設(shè)1是 Φ 中的邏輯理論.則

d（Γ）=1-infτ（C）|C∈D（Γ）

證明 因?yàn)?/p>

我們只需要證明

若 A∈D（Γ） ，取 B 為任意定理，則有 B∈D（Γ） 那 么，由 及 可知

{τ（（AB）Λ（BA））|A，B∈D（Γ）}?

{τ（C）|C∈D（Γ）}

?A 'A，B∈D（Γ） ，由 和 B（BA） 是公理可知 且 ，從而 故

{τ（（AB）Λ（BA））|A，B∈D（Γ）}?

{τ（C）|C∈D（Γ）}

由（11）式和（12）式即得（10）式，從而（9）式得證.

證畢.

定義3.2設(shè) Γ 是 Φ 中的邏輯理論，定義τ（Γ）=

{τ（A₁ΛA₂Λ…ΛA_n）|A_i∈D（Γ），n∈N}

定理3.3設(shè) Γ 是邏輯理論，則

d（Γ）=1-τ（Γ）

證明若 Γ={A₁，A₂，…，A_n} 為有限理論，則對(duì)于任意 A∈D（Γ） 有 從而由 τ（A₁ΛA₂Λ…ΛA_n）?τ（A） 知

inf {τ（A）|A∈D（Γ）}=τ（A₁ΛA₂Λ…ΛA_n）. 由定理3.1可知 d（Γ）=1-τ（Γ）

若 Γ={A₁，A₂，…，A_n，…} 為無窮理論，則對(duì)任意 n∈N，A₁∧A₂∧…∧A_n∈D（Γ）. 令

z_n=τ（A₁ΛA₂Λ…ΛA_n）.

則數(shù)列 {z_n} 單調(diào)遞減且有下界0，從而數(shù)列 {z_n} 極限 存在.因此

由定理3.1可知 d（Γ）=1-τ（Γ） 證畢.

例3.4設(shè) A_i 和 B_j 是不含相同謂詞符號(hào)的文字（ i=1，2，3 j=1，2，3，4 ，我們來計(jì)算 Γ= {cl（A₁∨A₂∨A₃），cl（B₁∨B₂∨B₃∨B₄）} 的發(fā)散度d（Γ）

解令 a=（cl（A₁∨A₂∨A₃））∧（cl（B₁∨B₂∨ B₃∨B₄） 且 α∈D（Γ） 化 a 為等價(jià)邏輯公式得 b= cl（（A₁∨A₂∨A₃）∧（B₁∨B₂∨B₃∨B₄）） .根據(jù)命題2.10和定理3.3，計(jì)算可得

即 （2

4相容度的兩種刻畫形式

在本節(jié)中，我們將在公理化真度定義2.1和邏輯理論 Γ 的 η -相容度定義2.9及命題2.10的基礎(chǔ)上給出極指標(biāo) i（Γ） 的等價(jià)形式，并提出極指標(biāo)的另一種刻畫形式一指標(biāo)數(shù) k（Γ） ，然后在該基礎(chǔ)上給出兩種相容度的概念并討論其性質(zhì).此外，我們還將討論 η -相容度與 ω -相容度及 θ -相容度之間的關(guān)系并舉例說明.

首先，我們給出極指標(biāo) i（Γ） 的等價(jià)形式及其新刻畫形式.

定理4.1設(shè) Γ 是 Φ 中的邏輯理論．則

i（Γ）=1-min{[τ（C）]|C∈D（Γ）}

證明 因?yàn)?/p>

我們只需要證明

若 A∈D（Γ） ，取 B 為任意一個(gè)定理且B∈D（Γ） 此時(shí)由 及 知

{τ（C）|C∈D（Γ）}

對(duì)任意 A，B∈D（Γ） ，由 和 B（AB） 是公理知 ， ，從而 ，故

{τ（（AB）∧（BA））|A，B∈D（Γ）}?

{τ（C）|C∈D（Γ）}

由（17）和（18）式即可得（16）式，從而有（15）式.

證畢.

定義4.2設(shè) Γ 是 Φ 中的邏輯理論，定義

稱 k（Γ） 為 Γ 的指標(biāo)數(shù).

命題4.3設(shè) Γ 是 Φ 中的邏輯理論．則

（i） k（Γ）=0 當(dāng)且僅當(dāng) Γ 是相容的；

（ii） k（Γ）=1 當(dāng)且僅當(dāng)Γ是不相容的.

證明 （i）.若 k（Γ）=0 ，則由（19）式可得

A_n∈Γ，n∈N}=0.

又因?yàn)? ，所以

且

其中 τ（A₁∧…∧A_n）=1 ，即 Γ 中不含矛盾式.故此時(shí) Γ 是相容的.反之，設(shè) Γ 不是相容的．則 Γ 中含有矛盾式，即

所以 k（Γ）=1

（ii）與（i）類似， k（Γ）=1 當(dāng)且僅當(dāng) Γ 中含有矛 盾式，即

且

此時(shí)有 τ（A₁∧…∧A_n）=0 ，即 Γ 中含有矛盾式.故此時(shí)Γ是不相容的．反之，設(shè) Γ 是相容的．則 Γ 中不含矛盾式，即

所以 k（Γ）=0 證畢.

接下來我們論證指標(biāo)數(shù) k（Γ） 與發(fā)散度 d（Γ） 之間的關(guān)系．

命題4.4設(shè) Γ 是 Φ 中的邏輯理論．則

（i）如果 k（Γ）=1 則 d（Γ）=1 ，但反之不成立；

（ii）如果 d（Γ）lt;1 則 k（Γ）=0 ，但反之不成立.

證明假設(shè) k（Γ）=1 .根據(jù)命題4.3，1是不相容的.由推論2.8可知 d（Γ）=1 ，反之，如果d（Γ）=1 ，即理論 Γ 是全發(fā)散的，此時(shí)不能推出 Γ 是不相容的，即 k（Γ）=1 令 Γ= 則 d（Γ）=1 ，其中 A₁，A₂… 是互不相同的一元謂詞符號(hào).因?yàn)閷?duì)任意 n∈N ，有

由公理 （K1^* 可知 又因?yàn)?n 可以任意大，所以由（9）式知 d（Γ）=1 ：任取二元謂詞符號(hào)如 （?x）（?y）B（x，y） ，其不是 Γ -結(jié)論，所以T是相容的.根據(jù)命題4.3，當(dāng)理論 Γ 是相容時(shí)有 k（Γ）= 0.因此，由 d（Γ）=1 不能推出 k（Γ）=1. （i）得證.

同樣，若 d（Γ）lt;1 ，根據(jù)定理3.3知 0lt; τ（Γ）lt;1 由（19）式可得 k（Γ）=0 當(dāng) k（Γ）=0 時(shí)， Γ 相容時(shí)不能判斷理論 Γ 是否發(fā)散.故（ii）得證.證畢.

下面我們結(jié)合發(fā)散度 d（Γ） 與指標(biāo)數(shù) k（Γ） 提出相容度的另一種刻畫形式，并討論該相容度的性質(zhì).

定義4.5 設(shè) Γ 是 Φ 中的邏輯理論．則

命題4.6設(shè)1是 Φ 中的邏輯理論.則

接下來我們討論偽距離 ρ（A，D（Γ）） 與 ω -相容度的關(guān)系．

定義4.7 設(shè) Γ?Φ，A∈Φ 定義偽距離

（iv）若 ω（Γ）=0 ，則由（20）式知 k（Γ）=1 根 據(jù)命題4.3，此時(shí)Γ是不相容的．證畢.

ρ（A，D（Γ））=inf{ρ（A，B）|B∈D（Γ）}

命題4.8設(shè) Γ 是 Φ 中的邏輯理論．任意 εgt; 0，若 ρ（A，D（Γ））lt;ε 則 ω（Γ）=0 或

（i） ω（Γ）=1 當(dāng)且僅當(dāng) Γ 是完全相容的；

（ii）若 則 Γ 是相容的；

（ii）若 則 Γ 是相容且全發(fā)散的；

（iv）若 ω（Γ）=0 則 Γ 是不相容的.

證明 （i）設(shè) Γ 是完全相容的．則 Γ 都是由定理組成的. ?A，B∈D（Γ） ，有 ρ（A，B）=0 ，從而根據(jù)（6）式得 d（Γ）=0 由（20）式知 ω（Γ）=1 反之，若 ω（Γ）=1 則 因?yàn)?（1+ k（Γ））gt;0 ，所以有 d（Γ）=0 ，即 D（Γ） 中都是定理，于是 Γ 是完全相容的.

（ii）設(shè) Γ 是相容的.由命題4.3知 k（Γ）=0 此時(shí) ，因而 稱 ω（Γ） 為 Γ 的 ω -相容度.

證明由（21）式和定理3.1可得

（iii）設(shè) Γ 是相容且全發(fā)散的．則 k（Γ）=0 且d（Γ）=1 此時(shí)由（20）式得 1

又因?yàn)?ρ（A，D（Γ））lt;ε ，所以有 1-d（Γ）?ε 根據(jù)（20）式，若 ω（Γ）≠0 ，即 k（Γ）=0 ，有

證畢.

根據(jù)以上內(nèi)容，可以證明以下 η -相容度與 ω 相容度的關(guān)系：

定理4.9設(shè) Γ 是 Φ 中的邏輯理論.則

η（Γ）=ω（Γ）

證明結(jié)合（6）式與（20）式，要證 η（Γ）= ω（Γ） 成立只需證明

即證 i（Γ）=k（Γ） 根據(jù)定理4.1和（19）式，我們需要證明

由（19）式，有

我們需要證明

當(dāng) C={A₁，A₂，…，A_n} 為有限理論時(shí)，?A∈D（Γ） ，由 ）及

當(dāng) C={A₁，A₂，…，A_n，…} 為無窮理論時(shí)，?n∈N，A₁∧A₂∧…∧A_n∈D（Γ） 令

Y_n=τ（A₁ΛA₂Λ…ΛA_n）.

則數(shù)列 {Y_n} 單調(diào)遞減且有界，從而數(shù)列 {Y_n} 的極限 存在．因此，

{τ（C）|C∈D（Γ）}=

根據(jù)定理3.1，只需證明

又因?yàn)?Γ 推演出的結(jié)論有

inf{τ（A₁∧…∧A_n）|A_i∈D（Γ），n∈N}=

{τ（C）|C∈D（Γ）}，

故（27）式成立.證畢.

根據(jù)命題4.11，易得 η -相容度與 θ -相容度之間的如下關(guān)系：

定理4.12 設(shè) Γ 是 Φ 中的邏輯理論.則

特別地，當(dāng) Γ 為相容理論時(shí)有 θ（Γ） ，即 θ（Γ）=2η（Γ）-1 ，當(dāng)Γ為完全相容理論時(shí)有 η（Γ）=θ（Γ）=1 ，當(dāng) Γ 為不相容理論時(shí)有η（Γ）=θ（Γ）=0

{[lim_n∞τ（A₁Λ…ΛA_n）]∣dle|A₁，…，A_n∈Γ，n∈N}

由（24）式與（25）式可得（23）式，即 i（Γ）=k（Γ） 成立，從而（22）式成立.證畢.

接下來我們提出相容度的另一種新的刻畫形式—0-相容度，并論證 η -相容度與 θ. 相容度間的關(guān)系．

定義4.10 設(shè) Γ 是 Φ 中的邏輯理論．令

θ（Γ）=1-

稱 θ（Γ） 為理論 Γ 的 θ -相容度.

命題4.11設(shè)1是 Φ 中的邏輯理論．則

θ（Γ）=1-d（Γ）

證明因?yàn)? ，有

證明 根據(jù)（8）式和（27）式可得兩個(gè)相容度之間的關(guān)系．由命題2.10可知：當(dāng)1為相容理論時(shí)i（Γ）=0 ，此時(shí)有 ；當(dāng) Γ 為完全相容理論時(shí)，即 Γ 全由定理組成時(shí)有 η（Γ）= θ（Γ）=1 ；當(dāng)T為不相容理論時(shí) i（Γ）=1 ，即 Γ 中含有矛盾式．根據(jù)（26）式， θ（Γ）=0 ，故 η（Γ）= θ（Γ）=0 .證畢.

例4.13設(shè) A₁，A₂，A₃ 是不同的一元謂詞符號(hào).令

我們來計(jì)算 的 η? 相容度， ω 相容度和 θ -相容度.

解令

將上式化為前束范式，有

該式邏輯等價(jià)于

又可以邏輯等價(jià)于 （?x₁）（?x₂）（?x₃）（A（x₁） ΛA（x₂）ΛA（x₃）） 由公理（ K1^* ），有 τ（α）=

由（19）式可計(jì)算得 k（Γ）=0 根據(jù)命題4.3，理論 Γ 是相容的.再根據(jù)（14）式可計(jì)算出 d（Γ）= 故

即

由式（26），

即

因?yàn)槔碚?Γ 是相容的，所以由命題2.10可知i（Γ）=0 .根據(jù)定理4.12，有

即 美

注綜合以上例題的結(jié)果，比較可知，當(dāng)個(gè)體域?yàn)橛邢藜也怀霈F(xiàn)相同原子公式的 N 個(gè)文字的合取的完全閉包時(shí)，有 θ（Q） ），其中 Q 表示原子公式.

5結(jié)論

本文在文獻(xiàn)[26]的基礎(chǔ)上研究了一階邏輯中基于公理化真度的發(fā)散度和相容度，給出了發(fā)散度的兩種等價(jià)形式，提出了一階邏輯公式的 ω -相容度和 θ. -相容度的概念并討論其性質(zhì)及與 η 相容度的關(guān)系，這些研究為不確定性推理提供了新的工具和方法，豐富了真度理論.在今后的研究中，基于發(fā)散度及兩種相容度，我們將進(jìn)一步研究一階度量空間及近似推理.

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（責(zé)任編輯：周興旺）