基于大單元整體教學的章收口課

章起始課已成為大單元整體教學研究舞臺上的名角，而章收口課卻鮮有人關注.如何將一章的講解有始有終，使整章內(nèi)容的講解落實大單元教學，完善整章知識的結構，落實新課堂改革，培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)，這一直是筆者思考的問題.對構建完整的知識結構、發(fā)展學生的核心素養(yǎng)、提升學生的思維能力而言，章收口課是不容忽視的一環(huán).本節(jié)課以“余角與補角”為例嘗試探究章收口課這種課型在大單元整體教學理念下的落實.

1教學過程

1.1環(huán)節(jié)1：情境探路，感知概念

生1：根據(jù)圖1中信息可以知道陽信在鄒平北偏西 10^° 的方向上.

生2：還可以說陽信在鄒平西偏北 80^° 的方向上.

師：你怎么想到的？

生2：因為 ∠AOE=90^° ，∠DOE=10^° ，所以可以求得 ∠AOD=90^°-10^°=80^°

師：奧，原來應用了這兩個角的和是 90^° ，你的抽象能力很強！這兩種說法都能表達出陽信在鄒平的具體方向.我們習慣上，先說南北再說東西即南（北）偏東（西）多少度.

師：那濱州在鄒平的什么方向？

生3：北偏東 20^° 師：說說你的理由.

生3：和上面的分析類似，因為 ∠BOE=90^° .∠BOC=70^° ，由 ∠BOC+∠COE=90^° ，可以得出∠COE=20^° ，所以得出濱州在鄒平的北偏東 20^° 方向上.

師：你的學習能力真強，這里也是兩個角的和是90^° 可見，“兩個角的和為 90^° ”這個模型在幾何中的應用很廣泛，為了方便應用，我們起個名字，如果兩個角的和等于 90^° （直角），就說這兩個角互為余角，簡稱“互余”，即其中一個角是另一個角的余角.

數(shù)學中有三種語言：文字語言、圖形語言和符號語言.（應用課件進行展示，試著讓學生自己表達符號語言.）

師：剛才我們發(fā)現(xiàn)“兩個角的和為 90^°? 在數(shù)學中的應用非常廣泛，你覺得還有哪個角度應用也很普遍，需要我們深入研究呢？

生 4：180^°

師：對，這個在八年級的數(shù)學學習中應用得更多.同樣地，如果兩個角的和等于 180^° ，就說這兩個角互為補角.（類比互余的三種語言得出互補的三種語言.）

余角和補角概念的三種語言如圖2所示.

如果兩個角的和等于90° 如果兩個角的和等于 180^° 5就說這兩個角互為余角，簡 就說這兩個角互為補角稱“互余”

因為 ∠1+∠2=90^° ， 如果 ∠3+∠4=180^°

所以∠1與∠2互余； 那么∠3與∠4互補；

（反過來）因為∠1和∠2 （反過來）因為∠3和∠4互補，互余，所以 ∠1+∠2=90^° 所以 ∠3+∠4=180^°

教學說明：借助情境，讓學生試著用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，自然引出方向角，通過兩種不同的表示方式，規(guī)范方向角的表述，并得出兩角和為 90^° 在生活中的廣泛應用，然后用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，歸納總結得出余角的概念，讓學生試著用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界，掌握余角概念的三種語言以及互相轉(zhuǎn)化.類比余角的概念學習補角的概念及三種語言.

1.2環(huán)節(jié)2：概念生長，探索性質(zhì)

情境一：如圖3，你還能再畫出∠DOE 其他的余角嗎？

學生嘗試作圖并進行展示，大部分同學利用直角都能畫出，但畫法不太一樣，有的同學只能畫出一種情況，有的同學在一個圖中能畫出多種情況.（圖4中∠3 這種情況不易想到，教師可作提醒“角可以是獨立的也可以放在三角形中”）

學生展示，教師歸納如圖4.

思考：（1）已知 ∠DOE= 10^°，∠1 與 ∠2，∠3 的大小有什么關系？

（2）若 ∠DOE=20^°，∠ 1與∠2，∠3 的大小有什么關系？

（3）猜想：若 ∠DOE 為大小為 x^° 的任意銳角， ∠1 與 ∠2，∠3 的大小有什么關系？

教學說明：通過畫出一個角的余角的多種情況，從形上讓學生直觀感知一個角的余角不止一個，可以位置不同；后面探索這些余角的數(shù)量關系，是從數(shù)的角度讓學生理解同一個角的余角都是相等的，此處更便于理解余角相等，通過具體的 10^°，20^° ，再到抽象的x^° ，引導學生探索發(fā)現(xiàn)數(shù)量關系.從形到數(shù)、從位置到數(shù)量，從特殊到一般歸納總結出結論——同角的余角相等.

情境二：如圖5，若 ∠1 與 ∠DOE 互余， ∠2 與∠D^′O^′E^′ 也互余，且 ∠1=∠2 ，則 ∠DOE 與 ∠D^′O^′E^′ 有什么數(shù)量關系？

師總結：同（等）角的余角相等一一余角的性質(zhì).

教學說明：通過同角的余角相等，思考并探索不同角的余角數(shù)量上的關系，借助幾何畫板讓學生直觀感受，試著引導學生發(fā)現(xiàn)不同角的數(shù)量關系影響著其余角的數(shù)量關系.從而引出等角的余角相等，試著讓學生進行初步的口頭上的推理，發(fā)展學生的推理能力.

情境三：類比余角的的性質(zhì)，試著說出補角的 性質(zhì).

教學說明：在概念的學習中，借助余角的學習得出補角的概念；在性質(zhì)的學習中，再次借助余角的學習得出補角的性質(zhì).體會數(shù)學的重要思想——類比.

1.3環(huán)節(jié)3：應用遷移，回歸生活

情境四：魏橋的老師們也來到了活動現(xiàn)場，活動結束后計劃去東營看海.魏橋恰好在 ∠AOC 的平分線上，東營恰好在 ∠BOC 的平分線上，如圖6.

（1）已知 ∠BOC=70^° ，求∠DOE .圖7中哪些角互為余角？哪些角互為補角？

（2）若 ∠BOC 等于 x^° ，那剛才的結論還成立嗎？

（3）如果活動結束后去淄博吃燒烤，你能確定淄博的位置嗎？

教學說明：問題（1）（2）讓學生再次回到實際中去，聯(lián)系生活，用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，并試著用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，運用知識，再次深化對余角概念和性質(zhì)的理解.從具體的 70^° 到抽象的 x^° ，再次讓學生體會一般到特殊的數(shù)學思想.問題（3）首尾呼應，通過以鄒平為原點構建坐標系，又回到方向角中，用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界，體會數(shù)學知識源于生活，又應用于生活.

1.4環(huán)節(jié)4：梳理分享，完善體系

（1）你學到了哪些知識？（2）你收獲了哪些數(shù)學思想？（3）你還想探究什么？

教學說明：引導學生及時回顧這節(jié)課中的知識部分和知識探究過程中的數(shù)學思想，幫助學生對研究問題的一般方法和路徑有一個整體、宏觀的把握.

教師以此節(jié)為引子引導學生回顧串聯(lián)起整章知識點，構建整章知識結構圖（如圖8），并以數(shù)學文化結尾.

立體圖形表示方法幾何圖形 品 直線、射線、線段 線段 中點余角和補角平面圖形表示方法角 角的度量、比較與計算 角平分線余角和補角 1 概念、判定、性質(zhì)、應用核心素養(yǎng) 幾何 推理模型觀念直觀 能力應用意識

教學說明：通過構建整章知識結構圖，帶領學生厘清本章的知識結構與脈絡，對整章課有更完整的把握.最后通過介紹數(shù)學巨著《幾何原本》以及數(shù)學家歐幾里得，引導學生感受數(shù)學文化的博大精深.對數(shù)學家的理解可以塑造學生的價值觀，對知識起源的認識可以讓學生了解知識形成的背景，提升學生對數(shù)學的學習興趣.

2教學反思

2.1情境引領，一個情境貫穿始終

這節(jié)課的設計從學生熟悉的生活情景（方向角）出發(fā)，激發(fā)學生的學習興趣和探究欲望，并在后面的學程中也沿用了這個情境，問題與情境緊密結合，從情境中生發(fā)系列化問題，最后再回到方向角，首尾呼應.一個情境貫穿始終，有利于使學生更側(cè)重對本位性知識的理解和關注，使數(shù)學課堂教學更直觀、有趣，有助于培養(yǎng)學生的抽象意識.

2.2類比引領，一個知識點發(fā)散多個知識點

類比不同于演繹推理和歸納，它是由特殊到特殊的推理.這節(jié)課在學習補角時，學生都可類比余角的概念和性質(zhì)生發(fā)出補角的概念和性質(zhì)，可見類比這一數(shù)學思想的價值.這節(jié)課不僅有相似觀念的類比，還有探究方法、知識結構、思維方式的類比.類比思想是新舊知識的紐帶和橋梁，有助于學生發(fā)散思維的培養(yǎng)，可以使學生的知識體系化、系統(tǒng)化、整體化.

2.3單元引領，一節(jié)收口課完善整章內(nèi)容

“余角與補角”不僅僅是“4.3角”最后一節(jié)的內(nèi)容，更是人教版七年級上冊數(shù)學第四章“幾何圖形初步\"最后一節(jié)的內(nèi)容，所以我們要縱覽全章內(nèi)容去思考、理解、整合這節(jié)課，站在一章內(nèi)容的肩膀上看收口課.在系統(tǒng)思維與整體觀念引領下構建最后一節(jié)的教學，在學習的過程中，聯(lián)系整章知識，注重知識的系統(tǒng)性，在結尾處引導學生構建整章知識思維導圖，讓最后一節(jié)再回歸到單元中去，完善單元內(nèi)容，同時明確該節(jié)的地位和意義.此外，還考慮到方法的一般性，不管是余角、補角還是以后要學習的其他幾何圖形，都應遵循概念一判定一性質(zhì)一應用的研究路徑，這在板書以及思維導圖中都有所體現(xiàn).這一節(jié)除完善整章知識結構外，還要鏈接后面的知識，認識余角并學習其性質(zhì)是研究七年級下冊求角以及八年級上冊全等三角形中的“一線三等角\"等相關知識的重要基礎.這樣前連后掛，體現(xiàn)了大單元整體化的新課堂教學理念，自然經(jīng)歷知識形成、發(fā)展、完善和拓展的過程，有效培養(yǎng)學生的數(shù)學思維以及適應終身發(fā)展需要的核心素養(yǎng).

2.4應用引領，從知識理解到實踐遷移

章收口課不應止步于知識總結，需為學生搭建應用橋梁.以“余角與補角”為例，可拓展“生活情境中的角度應用”，如建筑工人測量墻體傾斜角時，如何利用余角補角快速校驗；或設計“幾何綜合題小挑戰(zhàn)”，融入三角形內(nèi)角和等知識，讓學生用余角補角思路破解，倒逼知識串聯(lián).后續(xù)可拓展“三線八角”相關應用，如找平行線中余角、補角關系，或結合三角形內(nèi)角和，探究直角三角形兩銳角互余的延伸應用，讓知識應用更具挑戰(zhàn)性與系統(tǒng)性.

2.5整體引領，串聯(lián)單元脈絡，凸顯知識閉環(huán)

章收口課是大單元教學的“最后一塊拼圖”，要強化“單元知識的系統(tǒng)性回望”.整體教學對知識整合還可更深入，可梳理本單元與前后單元（如七年級角的基礎、八年級三角形角度關系）的關聯(lián)，在章收口課設置跨單元關聯(lián)應用，強化大單元知識網(wǎng)絡.另外，整體教學中對學生思維能力培養(yǎng)的連貫性需加強，從情境感知到知識應用，應設計階梯式思維任務，如從直觀找余角、補角，到推理證明角的關系，再到創(chuàng)新設計含余角、補角的幾何模型，逐步提升學生數(shù)學核心素養(yǎng).教學中需引導學生梳理：從章起始課對角度關系的好奇，到中間環(huán)節(jié)對余角和補角概念、性質(zhì)的探究，再到收口課用應用案例反哺知識理解，是否形成完整閉環(huán)？可通過“單元知識樹繪制”活動，促使學生自主標注各課時與余角、補角核心知識的關聯(lián)，暴露知識銜接漏洞.同時，要更刻意關聯(lián)單元知識（如八年級三角形外角與補角的呼應），提前埋下“知識生長點”，讓收口課真正成為單元學習的“加油站”而非“終點線”.