剖析錯(cuò)誤根源 發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)

學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中難免會(huì)犯錯(cuò)，但“一錯(cuò)再錯(cuò)\"的情況是可以避免的.錯(cuò)誤的重復(fù)出現(xiàn)，往往與教學(xué)方法密切相關(guān).教師在學(xué)生初次犯錯(cuò)時(shí)，常常未深入剖析錯(cuò)誤根源，而是直接給出正確答案.在進(jìn)行錯(cuò)題講解時(shí)，部分教師可能因過于急躁，僅簡(jiǎn)單展示正確解題過程并布置練習(xí)題，致使學(xué)生對(duì)知識(shí)缺乏深入理解，記憶不牢固，影響了解題能力的提升.學(xué)生在課堂上疲于模仿教師的解題步驟，無暇深入思考并總結(jié)錯(cuò)誤原因，課后也難以找到有效的解決辦法．因此，教師應(yīng)當(dāng)重視學(xué)生的思維過程，引導(dǎo)學(xué)生探尋錯(cuò)誤的本質(zhì)原因，并運(yùn)用有效的糾錯(cuò)策略幫助學(xué)生突破思維瓶頸，從而提升思維能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展.本文借助兩個(gè)案例，闡述如何通過錯(cuò)題評(píng)析培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

案例呈現(xiàn)

例1已知函數(shù) ，點(diǎn)A Ψ（x₁，f（x₁）），B（x₁，f（x₁））， 是函數(shù)f（x） 圖象上不同的兩點(diǎn)，是否存在這樣的實(shí)數(shù) ，使得A， B 兩點(diǎn)所在直線的斜率大于 m？ 若存在，請(qǐng)求出 m 的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

在本案例的教學(xué)過程中，教師安排得出不同結(jié)果的兩位學(xué)生展示各自的解題過程

生1：設(shè) 012 ，由題意可得 gt;m，即f（x）-mxgt;f（x）-mx₁ .令 g（x）=f（x）-mx ，則 g（x） 在（0，+∞） 上單調(diào)遞增，所以 g^′（x）?0 在（0，+∞ ）上恒成立，所以 -1在（0，+∞） 上恒成立，解得 m?8.

（教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生觀察、思 考、探索）

有一個(gè)是錯(cuò)的，那么哪個(gè)是錯(cuò)的呢？錯(cuò)在哪里？ ψ_m 能否取到8呢？

生3：我和生1的結(jié)果是一樣的，但我不認(rèn)同他的解題過程，因?yàn)橛蒰（x） 在 （0，+∞） 上單調(diào)遞增直接得到g^′（x）?0 在 （0，+∞） 上恒成立不夠嚴(yán)謹(jǐn)，需要檢驗(yàn) g（x） 在 （0，+∞） 上的任意區(qū)間是否可能為常函數(shù).

生2：由題意可得 ，所以 m′（x₀） 恒成立. ?f^′（x）?3x²+ 6-1，解得mlt;8.x

師：生1與生2所求解的結(jié)果，至少

師：非常好，思維縝密，考慮得非常周到.我們?cè)趹?yīng)用化歸與轉(zhuǎn)化思想解決問題時(shí)，必須等價(jià)轉(zhuǎn)化.

師：對(duì)于生2的解題過程，你又有哪些發(fā)現(xiàn)？

生4： 和 f^′（x₀） 并不等價(jià)，前者表示曲線上兩點(diǎn)所在直線的斜率，而后者表示曲線上某點(diǎn)處的切線斜率.

師：很好，該題我們應(yīng)如何求解呢？

生5：可以先作出 的圖象，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行分析.

師：很好，請(qǐng)大家動(dòng)手畫一畫，利用數(shù)形結(jié)合思想繼續(xù)研究，看看你們有什么新的發(fā)現(xiàn)

為了便于觀察，教師調(diào)整了 x 軸與y軸長度單位的比例，如圖1所示.得到圖象后，教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生進(jìn)行分析.

生6：函數(shù) f（x） 在 （0，+∞） 上單調(diào)遞增.

生7： f^′（1）=8 是 f^′（x） 的最小值，且點(diǎn)（1，0）是切線斜率變化的分界點(diǎn)

生8：平移直線 y=8（x-1） ，斜率為8的直線與曲線僅有一個(gè)交點(diǎn)，因此，A，B兩點(diǎn)所在直線的斜率取不到8.

這樣通過生生、師生的有效互動(dòng)，“將錯(cuò)就錯(cuò)”，不僅找到了問題的癥結(jié)所在，更由此探尋到了正確的求解思路，求得切線的斜率范圍為 [8，+∞） ，A，B兩點(diǎn)所在直線的斜率范圍為（8，+∞ ），最終得到 |m?8

在上述教學(xué)過程中，教師沒有直接將自己的主觀意識(shí)強(qiáng)加給學(xué)生，而是從學(xué)生視角出發(fā)，通過適時(shí)的啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤、分析錯(cuò)誤、糾正錯(cuò)誤\"的完整過程．這不僅幫助學(xué)生精準(zhǔn)定位了問題，還成功突破了思維誤區(qū)，有效避免了“一錯(cuò)再錯(cuò)”“會(huì)而不對(duì)”等情況的發(fā)生，切實(shí)提升了學(xué)生分析與解決問題的能力.

例2已知函數(shù) 1）， a∈R，x∈[1，+∞），f（x）?0 恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

題目給出后，教師讓學(xué)生獨(dú)立求解．部分學(xué)生在解題過程中出現(xiàn)了思路中斷的情況，導(dǎo)致未能完成解答教師巡視時(shí)，挑選學(xué)生上臺(tái)展示解題過程.

生9：當(dāng) _x=1 時(shí)，不等式成立．當(dāng)xgt;1時(shí)，a≤x2nx 令g（x）

令h（x）=x2-1-2lnx（xgt;1），則h'（x）=2（x2-1）0，所以 h（x） 是 （1，+∞） 上的增函數(shù).又 h（x）gt;h（1）=0 ，所以 g^′（x）gt;0 ，即 g（x） 是 （1，+∞） 上的增函數(shù).我就分析到了這一步， g（x） 在 （1，+∞） 上單調(diào)遞增，但是最小值 g（1） 沒有意義.

師：導(dǎo)數(shù)的定義中蘊(yùn)含逼近的思想，運(yùn)用該思想你能求出函數(shù) g（x） 在_x=1 處的極限值嗎？ （教師適時(shí)啟發(fā)）如果用逼近的思想求極限值，當(dāng) 時(shí)， xnx應(yīng)如何變形呢？

學(xué)生積極思考、類比，很快就有了發(fā)現(xiàn).生10 時(shí)，分子逼近函數(shù) 在 ?=1 處的導(dǎo)數(shù)1，分母逼近函數(shù) y=x² 在 _x=1 處的導(dǎo)數(shù)2.由此可知，當(dāng) _x1 時(shí)， 所以， g（x） 在 處的極限值為 師：非常好，條理清晰，表達(dá)準(zhǔn)確．如圖2所示，事實(shí)上， _x=1 是函數(shù) x2nx的可去間斷點(diǎn).

師：該題的解題方法不唯一，課后請(qǐng)大家繼續(xù)交流、分析，將探討進(jìn)行到底.

例2涉及高等數(shù)學(xué)中函數(shù)極限、間斷點(diǎn)等相關(guān)知識(shí)，具有一定難度，在教學(xué)過程中，教師立足學(xué)生視角，精準(zhǔn)把握學(xué)生的學(xué)習(xí)困惑，引導(dǎo)學(xué)生回歸導(dǎo)數(shù)定義，使其深刻體會(huì)其中蘊(yùn)含的逼近思想.如此一來，既能鞏固導(dǎo)數(shù)定義，又能通過類比揭示問題本質(zhì)，優(yōu)化學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，進(jìn)而全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng).

教學(xué)思考

高中數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象性與復(fù)雜性逐步提升，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中難免遇到各類問題.在教學(xué)實(shí)踐中，教師不僅要尊重學(xué)生的錯(cuò)誤，更要以包容和引導(dǎo)的態(tài)度善待錯(cuò)誤，從學(xué)生的認(rèn)知視角深入剖析錯(cuò)誤、探尋根源、制定解決策略，以此提升教學(xué)成效，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)

在上述兩個(gè)教學(xué)案例中，面對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤，教師摒棄了急于糾正的做法，轉(zhuǎn)而采用啟發(fā)式教學(xué)，耐心引導(dǎo)學(xué)生通過獨(dú)立思考與合作探究相結(jié)合的方式，共同挖掘錯(cuò)誤成因，并站在學(xué)生的立場(chǎng)尋求解決方案．這一過程不僅深化了學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解，更顯著增強(qiáng)了他們的解題信心，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性，促進(jìn)學(xué)生思維的交流與碰撞

在錯(cuò)題評(píng)析環(huán)節(jié)，教師避免過度主導(dǎo)，而為學(xué)生創(chuàng)造自主分析錯(cuò)題的機(jī)會(huì)，促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)自身知識(shí)漏洞，找到有效的彌補(bǔ)方法，以此減少錯(cuò)誤的重復(fù)發(fā)生．此外，在教學(xué)過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效的歸納總結(jié)，要求學(xué)生建立錯(cuò)題集，并定期對(duì)錯(cuò)題進(jìn)行反思.同時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生嘗試整理或編寫變式題目，通過反復(fù)思考與練習(xí)，深化對(duì)知識(shí)、方法和數(shù)學(xué)思想的理解，提煉出更多解題思路，培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力，提高解題效率

綜上所述，錯(cuò)題的分析與整理是提升學(xué)生解題能力、增強(qiáng)解題信心、發(fā)展數(shù)學(xué)思維的關(guān)鍵路徑．教師作為課堂的組織者，應(yīng)當(dāng)以學(xué)生的視角為出發(fā)點(diǎn)，細(xì)致分析錯(cuò)誤成因，并著重引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤、剖析根源、糾正錯(cuò)誤、整理錯(cuò)題等完整環(huán)節(jié)通過多角度、全方位的分析，幫助學(xué)生精準(zhǔn)定位問題關(guān)鍵，構(gòu)建正確的解題思路，積累寶貴的解題經(jīng)驗(yàn)，有效避免“一錯(cuò)再錯(cuò)”，切實(shí)提高課堂教學(xué)質(zhì)量.