一道模擬試題命制的心路歷程與考后思考

筆者擔任高三年級第一學期教學質(zhì)量調(diào)研數(shù)學試題的命制工作.本次考試共有14所高中參與聯(lián)考，試卷總分150分，考試平均分為89.87分，符合命題預(yù)設(shè)，難度適中.其中，第19題解析幾何壓軸題平均分為4.73分，該題符合《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》強調(diào)的“考查內(nèi)容應(yīng)圍繞數(shù)學內(nèi)容主線，聚焦學生對重要數(shù)學概念、定理、方法、思想的理解和應(yīng)用，強調(diào)基礎(chǔ)性、綜合性；注重數(shù)學本質(zhì)、通性通法，淡化技巧”要求．筆者現(xiàn)將第19題解析幾何的命制心路歷程與考后反思記錄如下，與同行探討交流.

試題呈現(xiàn)與解析

1.試題呈現(xiàn)

與y軸交于點E，F(xiàn)記直線 EA 與雙曲線C的另一個交點為 P ，直線 FA 與雙曲線C的另一個交點為Q.

（1）求雙曲線C的標準方程；（2）求證直線 AE 和直線 ?AF 斜率之積為定值；（3）判斷直線 PQ 與圓B的位置關(guān)系，并說明理由.

2.試題解析

解法1解點求解.

將點（-3，0）代人圓 B 的方程，得 ，所以-4y2=9，yy=-9.所以，kAE*kAP （20

（1）因為雙曲線C： ^{0，bgt;0）} 過點A （-2，0） ，其漸近線方程為 x±2y=0 ，所以 所以雙曲線C的方程為 （2）設(shè) F（0，y₁），E（0，y₂） ，則圓心 半徑 ，圓B的方程為

（3）FA 的斜率 =1，聯(lián)立方程

（x+2）得（1）

|x²-4y²=4

0，則

所以 1-yy0= y_Q=

所以 （204號

同理可得 所

已知雙曲線 c 0）過點 A（-2，0） ，其漸近線方程為 x±? 2y=0. 圓 B 過點 M（-3，0），N（3，0） 且以， 2y（1-y2）-2y（1-y2） 所以lpQ：y 即 所以PQ恒過點 由第（2）問知圓 ，即 x²+y²-（y₁+y₂）y-9=0. 將 代人圓B的方程，得 所以點T在圓B內(nèi).所以 PQ 與圓 B 相交.

解法2設(shè)點求解.

（1）（2）同解法1.

（3）設(shè)直線 PQ 的方程為 x=ty+m （m≠-2），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄） ，聯(lián)立方程 {x=ty+m，得（t2-4）2+2tmy+m2-4=0，t²-4≠0，Δ=（2tm）²-4（t²-4）（m²-4）gt; 因為kAE ，所以 ，，所（2以 （9t²+4）y₃y₄+9（m+2）t（y₃+y₄）+9（m+ 2）²=0 ，即 （m+2）（-32m-80）=0. 因為m≠-2，所以m=- ．所以PQ恒過點 由第（2）問知圓B 即 x²+y²-（y₁+y₂）y-9=0. （20將 代人圓B的方程，得25 9lt;0 ，所以點 T 在圓 B 內(nèi)， PQ 與圓 B 相交.

解法3齊次化求解.

（1）（2）同解法1.

（3）設(shè)直線PQ的方程為 m（x+2）+ ny=1，P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄） ：將雙曲線 c 的方程變形為 [（x+2）-2]²-4y²=4 ，即（x+2）²-4y²-4（x+2）[m（x+2）+ny]=0. 令 ，則 1-4k²-4（m+nk）=0 ，即4k²+4nk+4m-1=0，Δ=16n²-16（4m-1）gt; 0.因為 是上述方程的解，所以kAP·AQ= 中解得 m=-2 ，所以直線 PQ 的方程為-2（x+2）+ny=1. ，所以直線 PQ 恒過點 由第（2）問知圓B 即 x²+y²-（y₁+y₂）y-9=0. 將 代人圓B的方程，得 ，所以點T在圓B內(nèi)， PQ 與圓B相交.

試題源

1.教材溯源

圓錐曲線中斜率乘積恒定關(guān)系的探究與幾何應(yīng)用，揭示了圓錐曲線上動點與定點連線斜率乘積的內(nèi)在規(guī)律．這一研究成果不僅深化了對圓錐曲線幾何性質(zhì)的認知，更為解析幾何問題的解決提供了創(chuàng)新性視角，在現(xiàn)行數(shù)學教材中均有系統(tǒng)性呈現(xiàn)

在人教A版（2019）教材選擇性必修第一冊第108頁的例3，給出了一個軌跡（橢圓）定義，具體內(nèi)容如下：如圖（圖1），設(shè)點A，B兩點的坐標分別為（-5，0），（5，0）.直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是-4 ，求點M的軌跡方程.

分析：設(shè)點M的坐標為 （x，y） ，那么直線AM，BM的斜率就可用含 ^?x，y 的關(guān)系式分別表示.由直線AM，BM的斜率之積是 ，可得出 ^.x，y 之間的關(guān)系式，進而得到點M的軌跡方程.

人教A版（2019）教材選擇性必修第一冊第121頁的“探究\"欄目，給出了另一個軌跡（雙曲線）定義，具體內(nèi)容如下：“如圖（圖2），點A，B的坐標分別是（-5，0），（5，0）.直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是， ，試求點M的軌跡方程，并由點M的軌跡方程判斷軌跡的形狀，與3.1例3比較，你有什么發(fā)現(xiàn)？

圓錐曲線作為解析幾何的核心內(nèi)容，存在多種等價定義．其中，通過橢圓或雙曲線上任意一點與兩定點（非長軸端點）的斜率乘積為常數(shù)，可定義廣義圓錐曲線，該定義下的性質(zhì)與標準形式下的圓錐曲線性質(zhì)存在內(nèi)在一致性，此定義通常被稱為\"第三定義”圓錐曲線的第三定義以斜率乘積的恒定關(guān)系為紐帶，從代數(shù)對稱性的視角揭示圓錐曲線的共性特征，彌補了僅依賴幾何直觀的局限性；同時，它也為解析幾何問題的研究提供了高效工具，在證明幾何性質(zhì)、簡化復(fù)雜計算等方面展現(xiàn)出了獨特優(yōu)勢，進一步豐富和完善了圓錐曲線的理論體系.

2.高考真題

近年高考題中的相關(guān)解析幾何題目，許多定點問題本質(zhì)上是由斜率的和（積）為定值引發(fā)的.考生若借助圓錐曲線的等價定義與研究方法，巧妙運用斜率間的微妙關(guān)系，便能更容易找準解題方向.

真題1（2010年高考江蘇卷數(shù)學第18題）在平面直角坐標系 _xOy 中，如圖（圖3），已知橢圓 的左、右頂點為 ^?A，B. 右焦點為 F ，設(shè)過點 T（t m ）的直線 TA ，TB與橢圓分別交于點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂） ，其中 mgt;0，y₁gt;0 ，ylt;0.

（1）設(shè)動點 P 滿足 PF²-PB²=4 ，求點P的軌跡；（2）設(shè) ，求點T的坐標；（3）設(shè) ?=9 ，求證：直線MN必過 軸上的一定點（其坐標與 無關(guān)）.

真題2（2020年高考全國I卷理科數(shù)學第20題）已知A， B 分別為橢圓E：2=1（agt;1）的左、右頂點，G為E的上頂點， 為直線 _x=6 上的動點， PA 與 E 的另一個交點為 δ_C，PB 與E的另一個交點為 D_?

（1）求E的方程；

（2）證明：直線CD過定點.

真題3（2020年新高考全國I卷數(shù)學第22題）已知橢圓c：+2（agt;bgt;0）的離心率為√2 且過點A（2，1）

（1）求C的方程；

（2）點 M，N 在 c 上，且 AM⊥AN AD⊥MN，D 為垂足，證明：存在定點Q ，使得 |DQ| 為定值.

以上試題既實現(xiàn)知識覆蓋，又體現(xiàn)學科本質(zhì)，更注重思維品質(zhì)的甄別.筆者從中獲取啟發(fā)，特別是對解析幾何中“定點問題”與“動態(tài)軌跡”的相互轉(zhuǎn)化研究，為命題提供了豐富的樣例.

試題命制過程

1.命題立意

以高校人才選拔要求和《中國高考評價體系》提出的“一核、四層、四翼\"作為數(shù)學學科命題的準則與標尺，科學設(shè)計命題內(nèi)容.命題既要立足教材，注重基礎(chǔ)性；又要適當提升難度，注重綜合性，著重考查學生獨立思考以及運用所學知識分析問題、解決問題的能力.壓軸題需能夠有效區(qū)分優(yōu)秀學生，試題命制應(yīng)指向《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》提出的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)的考查[1]

2.命題過程

（1）情境選擇

平面解析幾何是中學數(shù)學的重要內(nèi)容，是考查考生學科素養(yǎng)的重要載體．高考對解析幾何的考查一般以課程學習情境與探索創(chuàng)新情境為主，注重對數(shù)學知識基礎(chǔ)性、綜合性和應(yīng)用性的考查，主要涉及圓、橢圓、拋物線、雙曲線的概念及幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及其綜合問題，著重考查考生的運算求解能力和邏輯思維能力．從近三年的高考試題來看，考查內(nèi)容覆蓋直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線，突出考查考生理性思維、數(shù)學應(yīng)用、數(shù)學探索等數(shù)學學科素養(yǎng).

這份試卷第7題考查拋物線的定義、圓的方程以及最值問題；第11題考查直線與橢圓的位置關(guān)系；第14題考查橢圓的離心率．結(jié)合試卷中解析幾何知識點的考查分布情況，以及提前制定的命題雙向多維細目表，解答題需要考查直線與雙曲線、直線與圓的位置關(guān)系以及定點定值等內(nèi)容，因此，考慮命制以雙曲線為載體，考查直線與雙曲線、直線與圓的位置關(guān)系，以及定點定值等綜合性較強的解析幾何題.

（2）模型構(gòu)建

經(jīng)過上述思考，初步構(gòu)思出三個數(shù)學模型：

模型1考查雙曲線方程、圓方程、漸近線方程以及定點問題.第一問考查利用待定系數(shù)法求解雙曲線方程；第二問考查直線與雙曲線、直線與圓的位置關(guān)系，以及定點問題.

模型2考查雙曲線方程、圓方程以及定點問題.第一問考查利用待定系數(shù)法求解雙曲線方程；第二問考查直線與雙曲線、直線與圓的位置關(guān)系，以及定點定值問題.

模型3考查雙曲線方程、圓方程以及定值定點問題.第一問考查利用待定系數(shù)法求解雙曲線方程；第二問考查斜率之積為定值的問題；第三問考查定點問題.

（3）試題命制

基于上述探索，擬定試題初稿如下：

第1稿經(jīng)過點A的雙曲線C： 的漸近線方程為 x±2y=0. 過點 M（-3，0），N（3，0） 的圓 B 與y軸相交于 ?_{E，F(xiàn)} 兩點， EA，F(xiàn)A 分別與雙曲線 c 相交于 P，Q 兩點.

（1）求雙曲線C的標準方程；

（2）求直線PQ經(jīng)過的定點.

試題命制后，我們需要探究其解答過程.第一問結(jié)合雙曲線的漸近線方程，能夠快速求出雙曲線的方程，屬于基礎(chǔ)題；第二問結(jié)合雙曲線的對稱性可知，直線PQ經(jīng)過的定點在 x 軸上，于是產(chǎn)生兩個解題思路.

思路1：設(shè) F（0，y₁），E（0，y₂）? $＼begin{array} { r } { ＼left＼{ ＼begin{array} { l l } { A E ＼mathbb { H } ＼mathbb { H } ＼mathbb { H } ＼mathbb { H } ＼mathbb { E } ， } ＼＼ { ＼displaystyle ＼frac { x ^ { 2 } } { 4 } - y ^ { 2 } = 1 } ＼end{array} ＼right. ＼Rightarrow ＼Big ＼{ ＼begin{array} { l l } { P ＼mathbb { H } ＼mathbb { H } ＼underline { { ＼times } } ＼mathbb { H } ＼mathbb { H } ＼mathbb { H } } ， } ＼＼ { Q ＼mathbb { H } ＼mathbb { H } ＼underline { { ＼times } } ＼mathbb { H } ＼mathbb { H } } ＼end{array} ＼Rightarrow P Q ＼end{array}$ AE的方程， 的方程 ? 定點.

思路2：設(shè) PQ_{：x=ty+n，}P（x₁，y₁） 定點.

第二問“求直線PQ經(jīng)過的定點”過于直白，思路簡單，很難“壓得住”學生．為增強試題區(qū)分度，筆者思考能否引入新的考查角度，隨即聯(lián)想到直線 PQ 經(jīng)過的定點 與題目中“動圓 B^′ 的位置關(guān)系．經(jīng)深入探究，發(fā)現(xiàn)定點 位于動圓 B 的內(nèi)部，基于此，對該題進行優(yōu)化，形成了第2稿.

第2稿已知雙曲線 c （agt;0，bgt;0） 過點A（-2，0），其漸近線方程為 x±2y=0 圓 B 過點 M（-3，0） ，N（3，0） ，且與 y 軸交于點 記直線EA 與雙曲線 C 的另一個交點為 P 直線 FA 與雙曲線C的另一個交點為Q.

（1）求雙曲線C的標準方程；

（2）判斷直線 PQ 與圓 B 的位置關(guān)系，并說明理由.

第2稿將第二問調(diào)整為“判斷直線 PQ 與圓 B 的位置關(guān)系\"后，該題的難度顯著提升了，要求學生具備更高水平的邏輯推理與數(shù)學運算素養(yǎng)，預(yù)計得分率會非常低.原本預(yù)設(shè)將該題置于第18題，但由于第2稿難度增大，故將其調(diào)整至第19題（新高考全國I卷共計19題），作為本試卷的壓軸題．然而，該題第一問與第二問之間的難度跨度較大，且第二問的解題思路較為狹窄，導(dǎo)致試題區(qū)分度欠佳，需要進一步調(diào)整．此外，第二問采用解點和設(shè)點的運算方式的難度過高，限制了學生獲取高分的可能性．基于上述情況，在第2稿的第一問與第二問之間需要增設(shè)問題，為學生鋪設(shè)臺階，降低思維跨度，提高得分率[2]基于此調(diào)整，形成了第3稿

第3稿即上文“試題呈現(xiàn)\"中的試題，將“求證直線AE和直線AF斜率之積為定值\"作為鋪墊.該題屬于解析幾何中常見的\"手電筒\"模型，主要求解已知斜率之和（積）的定點問題這類問題在解析幾何考試中出現(xiàn)的頻率極高，也是學生較為熟悉的題型．學生容易聯(lián)想到直線PQ經(jīng)過定點，并利用定點判斷直線PQ與圓 B 的位置關(guān)系，其解題思路自然流暢，有助于提高學生在該類題型上的得分率.

第3稿考查的必備知識是雙曲線的方程、直線與雙曲線的位置關(guān)系、圓的方程以及直線與圓的位置關(guān)系；考查化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想，旨在發(fā)展學生數(shù)學運算、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng).通過關(guān)聯(lián)熟悉知識點并綜合設(shè)置情境，突出試題的基礎(chǔ)性、綜合性和創(chuàng)新性.該題分值共計17分，全市平均分為4.73分，得分情況處于正常范圍.

命題過程的思考及解析幾何的教學建議

命題在考查基礎(chǔ)知識的同時，還要注重考查學生的基本方法和數(shù)學思維，更要注重數(shù)學思想方法的滲透與數(shù)學素養(yǎng)的發(fā)展．提前制定命題雙向多維細目表，命制試卷時，要堅持導(dǎo)向性、科學性、整體性、適度性和創(chuàng)新性的原則.

解析幾何作為聯(lián)結(jié)代數(shù)與幾何的橋梁，是高考數(shù)學的核心模塊，其試題常處于試卷壓軸位置，承擔著重要的選拔功能，命題需兼顧基礎(chǔ)性、綜合性與創(chuàng)新性．命題者需在有限條件下，平衡數(shù)學思想滲透、計算復(fù)雜度與思維深度之間的關(guān)系，

筆者依據(jù)《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》對幾何直觀、數(shù)學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)的要求，確定以雙曲線、圓、直線及其位置關(guān)系為命題載體，融合參數(shù)分析、代數(shù)變形與幾何特征挖掘作為考查方向．本文主要針對高三學生在解析幾何學習中的常見痛點展開研究，例如在將幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)語言時存在邏輯斷裂；面對多參數(shù)聯(lián)立方程組時處理能力不足；在解決動態(tài)問題時難以準確提取幾何特征，等等

為此，設(shè)計分層次問題鏈：基礎(chǔ)運算層面設(shè)置雙曲線標準方程求解問題；幾何轉(zhuǎn)化層面考查斜率之積相關(guān)內(nèi)容；創(chuàng)新探究層面要求學生判斷直線與圓的位置關(guān)系.預(yù)設(shè)難度梯度分別為0.65，0.35，0.15.通過從幾何與代數(shù)雙視角設(shè)置問題臺階，形成遞進式的梯度分布，既確保覆蓋必要的知識要點，又為學生高階思維的展現(xiàn)提供空間.這樣設(shè)計壓軸題并非刻意為難學生，而是使不同能力層級的學生在解題過程中都能獲得成就感.在自然區(qū)分學生思維能力層級的同時，通過過程賦分等具體策略，進一步彰顯考試的公平性與人文關(guān)懷.其中，第三問對位置關(guān)系的探究著重考查考生的思維水平，注重培養(yǎng)學生“多想少算\"的能力，引導(dǎo)學生減少煩瑣運算，優(yōu)化解題策略.此類命題設(shè)計充分體現(xiàn)了“能力立意\"的原則，著重增加思維深度，強調(diào)思維價值，避免陷入技巧堆砌的誤區(qū).

上述命題思路讓高考回歸教育測量的本質(zhì)價值，促使考試內(nèi)容與課程教學同頻共振．這也為數(shù)學教學帶來了諸多啟示：教學中應(yīng)深化概念理解，強化幾何性質(zhì)與代數(shù)表征的關(guān)聯(lián)教學；注重解題策略培養(yǎng)，訓練學生根據(jù)問題特征靈活選擇解題路徑；加強跨模塊知識整合，提升學生的數(shù)學綜合思維能力．具體到日常解析幾何教學，其一，要引導(dǎo)學生回歸教材，建構(gòu)完整的知識網(wǎng)絡(luò)，夯實基礎(chǔ)知識;其二，聚焦經(jīng)典問題，幫助學生熟練掌握數(shù)學作圖、數(shù)學運算等基本技能；其三，重視高考真題研究，讓學生掌握運用代數(shù)研究曲線的解析方法；其四，優(yōu)化訓練體系，著重培養(yǎng)學生的邏輯思維能力和運算求解能力，教師應(yīng)助力學生在主干知識掌握、數(shù)學學科本質(zhì)理解、數(shù)學思想方法領(lǐng)悟、數(shù)學應(yīng)用探究、創(chuàng)新思維形成以及數(shù)學素養(yǎng)養(yǎng)成等方面下足功夫.

考后思考

根據(jù)考后閱卷情況，第19題的反饋如下：

第一問，大多數(shù)考生回答正確；極少數(shù)考生將“ a=2b ”寫成了‘""，或?qū)㈦p曲線方程寫成了""的錯誤形式.

第二問，約四分之一的考生回答正確，其余考生存在兩種典型錯誤：一是計算錯誤；二是部分考生通過利用特殊值（位置）得到結(jié)果，但未進行規(guī)范的推理論證.

第三問，大部分考生沒有解題思路，不知從何下手.按照“解P，Q點，得直線PQ的方程，求PQ恒過的定點”的思路求解，運算量大，過程抽象，得分率低；而按照“設(shè)直線PQ的方程，利用第二問斜率之積為定值，求PQ恒過的定點\"的思路求解，運算量小，過程直觀，得分率高．然而，幾乎沒有考生能想到后一種思路！

本題分值分布為：第一問3分，第二問6分，第三問8分，共計17分．本次測試全市共有5900人參加，全市平均分為4.73分.其中，得分在9至11分的考生有1306人，得分在12至16.5分的考生有130人，獲得滿分的考生有58人.這一考試結(jié)果基本符合命題思路，即第一、第二問側(cè)重考查基礎(chǔ)性，第三問側(cè)重考查綜合性.但從考試結(jié)果也可以看出，能夠借助第二問設(shè)置的“斜率之積為定值\"這一臺階，進一步解決第三問的學生較少．這表明該題設(shè)置的臺階不夠清晰，為降低思維跨度，讓更多學生在第三問有解題思路，需要再次修改、調(diào)整和完善該題.

調(diào)整稿已知雙曲線C：""（agt;0，bgt;0） 過點A （-2，0） ，其漸近線方程為 x±2y=0 .圓 B 過點 M（-3，0） ，N（3，0） ，且與y軸交于點""記直線EA 與雙曲線 c 的另一個交點為 P 直線 FA 與雙曲線C的另一個交點為Q.

（1）求雙曲線C的標準方程；（2）設(shè)直線 AE 和直線 AF 的斜率分別為 k₁，k₂. （204① 求證： k₁k₂"為定值；② 判斷直線 PQ 與圓 B 的位置關(guān)系，并說明理由.

參考文獻：

[1］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2]劉臻．一道數(shù)學建模試題命制的心路歷程[J]．中學數(shù)學教學參考，2024（10）：64-66.