關注整體關聯，促成深度學習

面向當下的高中生，如何落實《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（下文簡稱新課標）所強調的課時目標？又如何讓學生在數學知識學習與運用過程中實現數學學科核心素養的全面發展？這考驗著每一位高中數學教師的智慧.筆者研讀新課標，并結合自身實踐經驗，形成初步認識：無論是基于應試的知識學習與運用需求，還是基于實現新課標中數學學科核心素養發展的目標，都必須堅持以學生為中心，讓學生的思維在數學學習中真正活躍起來，保證其數學思維具備應有的深度與廣度，從而將學生從淺層學習引向深度學習.

建構主義理論指出，學習并非知識由教師到學生的簡單轉移或傳遞，而是學生主動建構自身知識經驗的過程.在實際教學中，教師應合理創設問題情境，引導學生梳理知識與知識之間的關系，提高學生對知識的掌握程度，幫助學生形成完整的知識體系，從而促成深度學習[1．由此可見，讓學生在數學學習中獲得深度學習體驗，不僅能使數學知識的建構過程更高效，還能幫助學生在構建數學知識及其關系的過程中完善認知體系.這意味著高中數學教學應當關注知識的整體關聯，以促進學生的深度學習.

下文將以“函數的基本性質的拓廣探索”為例，探討如何通過構建有效的探究活動，幫助學生全面把握數學知識間的關系，建立完整的數學知識網絡，提升學習能力，培養數學學科核心素養.

案例呈現

案例（人教A版數學必修第一冊第87頁第13題）我們知道，函數 ?y=f（x） 的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是 ?y=f（x） 為奇函數，有同學發現可以將其推廣為：函數 y= f（x） 的圖象關于點 P（a，b） 成中心對稱圖形的充要條件是函數 y=f（x+a）-b 為奇函數.類比上述推廣結論，寫出“函數 ?y=f（x） 的圖象關于y軸成軸對稱圖形的充要條件是函數 ?-f（x） 為偶函數\"的一個推廣結論[2].

上述案例將函數圖象關于坐標原點的對稱推廣至關于點 P（a，b） 的對稱，學生自然會產生疑問：這個推廣結論是否成立？由此引導學生自然而然地進入探究狀態，有效激發學生的探究欲望.

案例分析

1.創設問題情境，促進知識自然生成

問題1函數 ?y=f（x） 的圖象關于 軸對稱有什么特征？

生1：函數 ?y=f（x） 的圖象關于 y 軸對稱的特征是 γ=f（x） 為偶函數，滿足f（-x）=f（x）

問題2函數 -γ=f（x） 的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形有什么特征？

生 2：y=f（x） 是奇函數，滿足 f（-x）= -f（x） ：

設計意圖通過創設問題情境引導學生回顧舊知，為新問題的探究做鋪墊.

問題3圖1是函數 f（x）=x³+x 圖象的一部分，請根據函數的奇偶性將其圖象補充完整.

問題4如圖2所示，已知 f（x） 是奇函數， g（x） 是偶函數，請根據函數的奇偶性將其圖象補充完整

（學生獨立完成，教師展示結果.）

設計意圖通過動手操作讓學生理解函數的對稱性，加深對函數奇偶性的理解，構建知識間的整體關聯，發展學生直觀想象素養.

問題5如何證明 y=f（x） 是奇函數的充要條件是其圖象關于坐標原點對稱？

（該問題較為抽象，教師引導學生從充分性和必要性兩個方面進行證明.）

充分性：設 P（a，b） 是函數 -y=f（x） 圖象上的任意一點，則 b=f（a） .因為函數 y=f（x） 的圖象關于坐標原點對稱，所以其圖象過點 （-a，-b） ，即 -b= f（-a） ，則 f（-a）=-f（a） ，所以，對于任意 都有 f（-x）=-f（x）

必要性：記點 P（a，b） 關于坐標原點對稱的點為 Q（-a，-b） .設 P（a，b） 是函數 ?_I=f（x） 圖象上的任意一點，則b=f（a） ，因為函數 -γ=f（x） 是奇函數，所以 f（-x）=-f（x），f（-a）=-f（a） ，即f（-a）=-b ，點 Q（-a，-b） 在函數 ?y=f（x） 的圖象上．所以，函數 y=f（x） 的圖象關于坐標原點對稱.

設計意圖引導學生經歷充要條件的證明過程，一方面培養學生的說理能力，另一方面讓學生感受數學的嚴謹性，提升其邏輯推理素養．在該教學環節中，讓學生分析函數奇偶性的充要條件，既能拓展學生的思維廣度，又能挖掘其思維深度．學生可先憑借數學直覺進行淺層學習，再借助嚴謹的邏輯推理進入深度學習．如此一來，學生不僅能認識到問題5的價值，還能在解決問題的過程中，對充分性與必要性形成更深刻的理解，這正是深度學習的價值體現.

2.探尋新舊知識間的聯系，類比分析促生長

在面對具有挑戰性的問題時，教師既不急于講授，也不急于放手讓學生獨立探究，而是立足教學實際，通過創設恰當的問題情境，為學生的思維搭建“梯子”如此一來，既能讓學生體會問題產生的自然性，又能使其感受到問題解決的規律性，從而自然而然地進入學習狀態，有效提升參與課堂的積極性與主動性．在具體教學過程中，教師應著重引導學生探尋新舊知識間的聯系，讓學生通過類比分析，實現知識的遷移與能力的提升.

問題6若函數 y=f（x） 的圖象關于點 P（a，b） 成中心對稱圖形，設A（x₀，y₀） 是函數 y=f（x） 圖象上的一點，且點 A 與點 B_. 關于點 P（a，b） 對稱，試問點 B 是否在函數 γ=f（x） 的圖象上？結合以上條件，你還有什么發現？

（教師組織學生分組交流，隨后讓其分享自己的思考過程．）

生3：因為A （x₀，y₀） 在函數 y=f（x） 的圖象上，所以 ?_y0=f（x0） ．根據對稱性易得點 B 的坐標為 （2a-x₀，2b-y₀） ，點B 在函數 -I（x） 的圖象上，所以f （2a- x₀）=2b-y₀ ，即 f（2a-x₀）+f（x₀）=2b 所以，若函數 ?_y=f（x） 的圖象關于點P（a，b） 成中心對稱圖形，則 f（2a-x）+ f（x）=2b

師：很好.若想使函數 y=f（x） 圖象的對稱中心 ?P（a，b） 變成坐標原點，我們可以怎么做呢？

生4：可以平移.

師：如何平移？

生4：將點 P（a，b）（agt;0，bgt;0） 向左平移 Ψ_a 個單位，再向下平移 ?b 個單位即為 O（0，0） ．對應地，將函數圖象按照以上步驟平移，可得 y=f（x+a）-b ，此時 y=f（x+a）- 6為奇函數.

師：非常好，這樣我們就從“形”的角度出發，通過平移證明了案例中學生提出的推廣結論.如果讓你從“數\"的角度出發，又該如何證明呢？

（學生積極思考，有了前面問題的鋪墊，學生結合奇函數的定義給出了證明，證明過程略.）

師：結合以上探究過程，請寫出你的推廣結論，并闡述得出該結論的理由.

學生與前面結論相類比，得到如下結論：函數 -I（x） 的圖象關于直線x=a 成軸對稱圖形的充要條件是 y= f（x+a） 為偶函數.證明過程如下：若函數 ?y=f（x+a） 是偶函數，則 f（-x+a）= f（x+a） ，這表明函數 ?y=f（x） 的圖象關于 x=a 對稱；反過來，若函數 -I（x） 的圖象關于 x=a 對稱，則 f（-x+a）=f（x+ ，所以 y=f（x+a） 是偶函數.由此可知，以上命題的推廣是正確的.

設計意圖在此過程中，教師通過啟發學生進行類比猜想與探究，引導學生充分體會數學知識的內在聯系，激發學生的探究欲望，提升其自主探究能力．此外，在探究活動中，教師依據學生的認知規律，合理創設問題情境，引導學生主動分析和解決問題，以此夯實“四基”，提升數學能力與素養．需要強調的是，數學學習過程中的猜想與探究至關重要．猜想往往決定學生的探究方向，而探究過程則體現學生的數學學習品質.根據教學實踐經驗，學生在數學探究過程中能夠綜合運用數學知識，將原本相對孤立的數學概念與規律相銜接，使數學知識在思維中形成有機聯系，呈現整體化狀態．顯然，當這種狀態達成時，學生所經歷的數學學習過程便是深度學習過程.

3.深入類比，生成數學結論

問題7回顧以上探究過程，你還能得到其他結論嗎？

生5：受平移變換啟發，我得到如下兩個結論： ① 將函數 y=f（x） 向左平移 a（agt;0） 個單位得到函數 y=f（x+a） ② 若想得到函數 ?y=f（x+a）+b（agt;0，bgt; 0）的圖象，可以將函數 -γ=f（x） 向左平移 σ_α 個單位，向上平移 ?b 個單位.

生6：若 y=f（x+a） 為偶函數，則函數 ?=f（x） 圖象的對稱軸為 ，且滿足f（x）=f（2a-x）

生7：若 y=f（x+a）-b 為奇函數，則函數 ?_I=f（x） 的對稱中心為 （a，b） ，且滿足 f（2a-x）+f（x）=2b.

設計意圖引導學生歸納、推廣上述結論，構建數學知識的內在聯系，形成知識鏈．通過這一過程，幫助學生理解數學本質，提升數學抽象、邏輯推理與歸納概括等核心素養.

4.靈活應用，完善認知結構

應用是檢測學生對知識掌握的熟練程度、完善其認知結構的必經之路.在課堂教學中，教師應結合教學內容和學生基本學情，精心設計練習題，引導學生在實踐應用中實現知識的內化與能力的提升.

問題8對于定義在R上的函數y=f（x） ，有下列三個命題：

① 函數 y=f（1+x） 的圖象與函數y=f（1-x） 的圖象關于直線 _x=1 對稱.

② 若 y=f（x） 是奇函數，則 y=f（x- 1）的圖象關于點（1，0）對稱;

③ 對于任意 x∈R ，有 f（x+1）= f（x-1） ，則 y=f（x） 的圖象關于直線 _x=1 對稱.

其中正確命題的序號是

（問題提出后，教師預留時間讓學生獨立思考，隨后展示學生的思考過程.）

師：命題 ① 正確嗎？

生8：不正確．將函數 γ=f（x） 的圖象向左平移1個單位，可得函數 ?y= f（x+1） 的圖象；將函數 -I（-x） 的圖象向右平移1個單位，可得函數 y=f（1- Ψ_x） 的圖象.又 f（x） 與 f（-x） 關于 y 軸對稱，所以 y=f（1+x） 的圖象與 y=f（1-x） 的圖象關于y軸對稱.

師：命題 ② 正確嗎？

生9：正確.因為y= f（x） 是奇函數，所以（0，0）是函數 -γ=f（x） 的圖象的對稱中心.將函數 -I（x） 的圖象向右平移一個單位，可得函數 ?y=f（x-1） 的圖象，函數 y=f（x） 的圖象的對稱中心（0，0）也會向右平移一個單位，所以函數 y=f（x-1） 的圖象關于點（1，0）對稱.

師：命題 ③ 呢？

生10：對于任意 χ_x∈R ，有 f（x+1）= f（x-1） ，則 f（x）=f（x+2） ，所以 y=f（x） 是以2為周期的函數，故該命題錯誤.

設計意圖教師通過給出相似命題，引導學生進行思考辨析，從而加深學生對相關結論的理解，培養其思維的嚴謹性，提升分析和解決問題的能力.

以上問題解決后，教師布置了一些相關練習，因篇幅有限，此處不再逐一展示.通過對知識的靈活運用，有助于培養學生的理性思維，提升學生的學習能力，發展學生的數學學科核心素養.

教學思考

好的教學不僅要讓學生掌握數學知識與技能，更重要的是讓學生看到知識背后蘊含的思想，理解數學的本質.為實現這一目標，教師不應直接將概念、結論、公式等灌輸給學生，而是要創設合適的教學情境，讓學生在情境中理解數學知識的本質，掌握數學研究的方法，培養良好的思維習慣，從而發展數學素養.

面對新課標提出的教學要求，一名合格的高中數學教師既要關注學生的考試需求，也要重視學生的可持續發展，因此需要設計出能同時滿足這兩個目標的教學過程.相比之下，引導學生關注數學知識的整體關聯，從而促使學生進入深度學習狀態，已成為核心素養背景下高中數學教師的教學取向.建立這一取向，要求教師在理解新課標的基礎上，尤其是深刻理解數學學科核心素養及其發展途徑，形成對深度學習的理念認同，并將其落實到具體教學實踐中．如此，才能讓學生在深度學習過程中促進知識的整體關聯，為數學學科核心素養的發展奠定基礎

總之，在高中數學教學中，教師應以促進學生發展為目標，設計不同層次的問題，引導學生多角度分析和解決問題，有效引導學生經歷知識的形成過程，通過結構化知識學習幫助學生建構整體知識框架，使學生學會學習，提升數學能力與素養.

參考文獻：

[1」郭建理.基于深度學習的高中數學課堂教學問題設計[J].中小學課堂教學研究，2021（12）：57-60.

[2」周曉豐.以“問題”為抓手，挖掘數學探究活動的深層價值[J].中小學數學（高中版），2023（12）：38-40.