同性通法為基，數學思想為魂

情境是高考試題命制的核心要素，它不僅是考查知識的手段，更是價值引領、素養導向、能力體現的載體與工具，是落實學生綜合素質教育的有效途徑．當前，新高考試題呈現出“無價值，不入題；無思維，不命題；無情境，不成題\"的典型特征．縱觀近幾年全國新高考試卷，情境化試題已成為新高考命題方式的核心要素.

本文以福建省三明市質檢的一道創新壓軸題為例，通過對試題的剖析，培養學生在復雜情境下獨立思考的能力，夯實學生的基礎知識與基本技能．引導學生從被動參與轉向主動探究，實現深度學習，提升學習效率.經歷這一過程后，學生能夠逐漸消除對新高考情境化試題的恐懼心理，在解答該類試題時做到“有法可依、有章可循”，增強高考應試的自信心.

試題呈現

已知平面直角坐標系 _xOy 中，有真命題;函數 圖象是雙曲線，漸近線分別為直線 y=mx 和y軸.例如雙曲線 的漸近線分別為 χ_x 軸和y軸，可將其圖象繞原點 o 順時針旋轉 得到雙曲線 x²-y²=8 的圖象.

（1）求雙曲線 的離心率.

（2）已知曲線E： x²-y²=2 ，過E上一點P作切線分別交兩條漸近線于 ^?A，B 兩點，試探究 ΔAOB 面積是否為定值，若是，則求出該定值；若不是，則說明理由.

的圖象為 T ，直線 ，過 的直線與 T 在第一象限交于 M，N 兩點，過M，N作I的垂線，垂足分別為 ^C，D ，直線MD，NC交于點 H ，求△MNH面積的最小值.

解法探究

（1）由題意可知 的兩頂點為 （1，1），（-1，-1），故實軸長 ， 即 函數 的圖象繞原點 0順時針旋轉 后，其漸近線為 y=±x ， 所以 c=2. 所以，雙曲線 y= 1的離心率e=√2. x

（3）已知函數

（2）思路一：把雙曲線 x²-y²=2 的圖象繞原點 o 逆時針旋轉 得到函數 的圖象，轉化為函數的切線求解.

由題意可知，把雙曲線 x²-y²=2 的圖象繞原點 o 逆時針旋轉 得到函數 的圖象，其漸近線分別為 軸和y軸，此時設 則 P^′ 處的切線方程為 ，分別交兩條漸近線于 ，則 2x₀=2 ，即 ΔAOB 的面積為定值2.

思路二：直接分類討論雙曲線的切線求解.① 當曲線 E 在點P處的切線的斜率不存在時，切線方程為 ，此時 ΔAOB 的面積為2.

② 當曲線 E 在點P處的切線的斜率存在時，設切線方程為 y=kx+m. 聯{y=kx+m，得（1-k2）x2-2kmx-m2-2=0，所以|11k2≠0， 化簡得 m²=2k²-2，k²≠1

，由 得 所以， 因為原點 o 到直線 y=kx+m 的距離 所以S△AOB 所以 ΔAOB （204號的面積為定值2.（3）依題意可知，函數y=√3 V3的漸近線分別為y= -x和y軸，可計算得出實半軸長 .將函數 的圖象繞原點（204號 o 順時針旋轉 可得曲線 T^′ ，其方程為 將點 ，直線 ξ_l ： 繞原點 o 順時針旋轉（204 ，得到點 F^′（2，0） ，直線 l^′ ，過F^′（2，0） 的直線交曲線 T^′ 的右支于M^′，N^′ 兩點，設 M^′（x₁，y₁），N^′（x₂，y₂） ，則

因為直線 M^′N^′ 的斜率不為0，所

以設直線 M^′N^′ 的方程為 x=my+2. 聯

立 得 （m²-3）y²+4my+1=0， （2，m2-3≠0， m2-3

則 且△gt;0， 1yy=m2-3因為 y₁y₂lt;0 ，所以 m²lt;3. 因為 k_N^′C^′=

，所以直線 N^′C^′ 的方程為 y-y₁= （20

令 y=0 ，可得 x=

由韋達定理可得

所 所以，直線 N^′C^′ 過定點

由圖象的對稱性可知， M^′D^′ 過定點

所以，直線 N^′C^′ 與直線 M^′D^′ 的交

點為 所以，S△M'NH

（204號當 m²=0 時， ΔM^′N^′H^′ 的面積取最

小值，最小值為√3

試題評析

該題以函數圖象與雙曲線的內在聯系為背景，構建了二者之間的轉化關系模型，重點考查圓錐曲線的幾何性質，以及定點、定值與最值等核心問題．該題還著重考查學生對數形結合、轉化與化歸、函數與方程等數學思想的運用能力，同時對推理論證能力和運算求解能力進行了全面檢驗.作為一道情境化試題，它巧妙融合函數與解析幾何兩大知識板塊，設問層次分明、難度梯度遞進，對學生的思維深度與靈活性提出了較高要求.

該題第（1）問較為基礎，主要考查簡單幾何性質的計算.第（2）問是定值問題的探究.若直接用圓錐曲線 E：x²-y²=2 的切線進行處理，則需要引入兩個參數，通過相切的代數特征Δ=0 建立兩個參數的關系，再代入面積公式求得定值；若能借助題目條件中的轉化關系，將雙曲線 E：x²-y²=2 轉化為反比例函數 的圖象，從而把問題轉化為函數切線與坐標軸所圍成的三角形的面積問題，此時所得圖形是特殊的直角三角形，僅引入一個參數即可解決，大幅減少了計算量，提高了解題效率.第（3）問涉及面積最值問題，其關鍵在于發現點 H 為一個定點.然而，若直接從函數y=√3 V3的圖象人手進行研究，學生即便能依靠已有知識和經驗發現點 H 為一個定點，但由于該點的位置并不特殊，難以確定點 H 的坐標，因此無法構造出面積的目標函數.此時，若能借助函數圖象與雙曲線的轉化關系，將函數 的圖象旋轉為雙曲線 ，則可以通過幾何直觀發現點 H 是位于 軸上的一個定點.加之直線MN過 χ_x^′ 軸上的定點，所以 Δ MNH的面積就能用單一參數進行表示，且表達形式常規簡潔，求解函數最值就水到渠成了.

解題反思

本題若直接以圓錐曲線的形式呈現，會顯得較為常規和平淡．離心率、定點、定值、面積（最值）等內容，既是重點知識，也是高頻考點，主要考查學生的“四基”“四能”和通性通法，這些正是解析幾何問題的基石.本題別出心裁，以“四基\"“四能\"和通性通法為基礎，創設了函數與雙曲線的轉化關系這一探索創新情境，旨在引導學生對數學學科進行深入探究，著重考查學生的理性思維素養和數學探究素養．這種探索創新情境的設計可作為區分學生能力的有效手段，使得那些思維能力較強的學生通過努力能夠解決問題，而那些僅僅依賴于機械刷題和題海戰術的學生則會發現難以應對.

在熟練掌握函數圖象及雙曲線相關性質的前提下，突破本題的關鍵在于利用函數圖象與雙曲線的轉化關系，借助轉化與化歸數學思想，將未知化為已知、陌生化為熟悉、抽象化為具體.第（1）問把求解與函數相關的離心率這一陌生、未知的問題，轉化為求解雙曲線的離心率這一已知、熟悉的問題;第（2）問將雙曲線背景下復雜的面積問題，轉化為函數圖象背景下相對簡單的面積問題，不僅大幅縮短了解題時間，還提升了解題效率，為學生解決此類問題積累了基本活動經驗；第（3）問則把函數背景下抽象、難以求解的定點問題，轉化為雙曲線背景下直觀、特殊的定點問題，讓學生經歷了從無從下手到順利求解且計算簡便的過程，不僅拓寬了學生的數學視野，還優化了學生的思維過程.

策略分析

數學情境涵蓋課程學習情境、探索創新情境、生活實踐情境三大類，這三類問題情境在高考數學中發揮著不同作用：課程學習情境作為檢驗學生數學基礎的量尺，探索創新情境充當區分甄選人才的手段，生活實踐情境則是拓展數學應用的渠道．其中，課程學習情境與探索創新情境是考查學生數學基礎和數學抽象能力的重要載體，旨在考查學生的理性思維素養與數學探究素養，為高校選拔人才提供依據；生活實踐情境注重與其他學科及社會實踐的關聯，是考查學生數學應用素養、理性思維素養和數學文化素養的關鍵載體．在日常課堂教學中，教師可從以下方面提升學生應對情境化試題的能力：

1.構建多維情境，強化問題驅動教學

情境的核心在于問題，而問題的核心是知識.因此，教師在教學過程中，應在概念引入、公式推導、定理應用、運算求解、邏輯推理等關鍵環節設置問題情境，以問題驅動學生學習.這種教學方式不僅能提升學生的問題意識，還能促進學生深入思考問題，有效鍛煉學生分析問題和解決問題的能力.

2.更新學科觀念，推動學科交叉融合

如今，數學已不再“純粹”，它常以各類學科背景為載體考查學生的能力．學科融合是體現數學應用價值和時代特征的必然趨勢．在教學中，教師應有意識地進行學科間知識的滲透，設計跨學科情境問題，為學生提供自主探索與合作交流的機會，從而增強學生處理跨學科知識的經驗與能力.

3.融合試題情境，深化數學應用 意識

在試題中融入課程學習情境、探索創新情境、生活實踐情境，并對其進行合理利用與改編，能夠拓寬學生的數學視野，讓學生感悟數學魅力，進而深化數學應用意識

4.創新問題情境，培育數學思維品質

創新試題形式，如通過創設綜合性、新穎性、復雜性的情境，增強試題的開放性．教師應鼓勵學生運用創造性、發散性思維分析和解決這些開放性問題，以此提升學生的探究能力與學習能力，培育學生的創新精神和數學思維品質.