同性通法為基，數(shù)學(xué)思想為魂

情境是高考試題命制的核心要素，它不僅是考查知識(shí)的手段，更是價(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力體現(xiàn)的載體與工具，是落實(shí)學(xué)生綜合素質(zhì)教育的有效途徑．當(dāng)前，新高考試題呈現(xiàn)出“無(wú)價(jià)值，不入題；無(wú)思維，不命題；無(wú)情境，不成題\"的典型特征．縱觀近幾年全國(guó)新高考試卷，情境化試題已成為新高考命題方式的核心要素.

本文以福建省三明市質(zhì)檢的一道創(chuàng)新壓軸題為例，通過(guò)對(duì)試題的剖析，培養(yǎng)學(xué)生在復(fù)雜情境下獨(dú)立思考的能力，夯實(shí)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能．引導(dǎo)學(xué)生從被動(dòng)參與轉(zhuǎn)向主動(dòng)探究，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，提升學(xué)習(xí)效率.經(jīng)歷這一過(guò)程后，學(xué)生能夠逐漸消除對(duì)新高考情境化試題的恐懼心理，在解答該類試題時(shí)做到“有法可依、有章可循”，增強(qiáng)高考應(yīng)試的自信心.

試題呈現(xiàn)

已知平面直角坐標(biāo)系 _xOy 中，有真命題;函數(shù) 圖象是雙曲線，漸近線分別為直線 y=mx 和y軸.例如雙曲線 的漸近線分別為 χ_x 軸和y軸，可將其圖象繞原點(diǎn) o 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 得到雙曲線 x²-y²=8 的圖象.

（1）求雙曲線 的離心率.

（2）已知曲線E： x²-y²=2 ，過(guò)E上一點(diǎn)P作切線分別交兩條漸近線于 ^?A，B 兩點(diǎn)，試探究 ΔAOB 面積是否為定值，若是，則求出該定值；若不是，則說(shuō)明理由.

的圖象為 T ，直線 ，過(guò) 的直線與 T 在第一象限交于 M，N 兩點(diǎn)，過(guò)M，N作I的垂線，垂足分別為 ^C，D ，直線MD，NC交于點(diǎn) H ，求△MNH面積的最小值.

解法探究

（1）由題意可知 的兩頂點(diǎn)為 （1，1），（-1，-1），故實(shí)軸長(zhǎng) ， 即 函數(shù) 的圖象繞原點(diǎn) 0順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 后，其漸近線為 y=±x ， 所以 c=2. 所以，雙曲線 y= 1的離心率e=√2. x

（3）已知函數(shù)

（2）思路一：把雙曲線 x²-y²=2 的圖象繞原點(diǎn) o 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 得到函數(shù) 的圖象，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的切線求解.

由題意可知，把雙曲線 x²-y²=2 的圖象繞原點(diǎn) o 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 得到函數(shù) 的圖象，其漸近線分別為 軸和y軸，此時(shí)設(shè) 則 P^′ 處的切線方程為 ，分別交兩條漸近線于 ，則 2x₀=2 ，即 ΔAOB 的面積為定值2.

思路二：直接分類討論雙曲線的切線求解.① 當(dāng)曲線 E 在點(diǎn)P處的切線的斜率不存在時(shí)，切線方程為 ，此時(shí) ΔAOB 的面積為2.

② 當(dāng)曲線 E 在點(diǎn)P處的切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為 y=kx+m. 聯(lián){y=kx+m，得（1-k2）x2-2kmx-m2-2=0，所以|11k2≠0， 化簡(jiǎn)得 m²=2k²-2，k²≠1

，由 得 所以， 因?yàn)樵c(diǎn) o 到直線 y=kx+m 的距離 所以S△AOB 所以 ΔAOB （204號(hào)的面積為定值2.（3）依題意可知，函數(shù)y=√3 V3的漸近線分別為y= -x和y軸，可計(jì)算得出實(shí)半軸長(zhǎng) .將函數(shù) 的圖象繞原點(diǎn)（204號(hào) o 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 可得曲線 T^′ ，其方程為 將點(diǎn) ，直線 ξ_l ： 繞原點(diǎn) o 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（204 ，得到點(diǎn) F^′（2，0） ，直線 l^′ ，過(guò)F^′（2，0） 的直線交曲線 T^′ 的右支于M^′，N^′ 兩點(diǎn)，設(shè) M^′（x₁，y₁），N^′（x₂，y₂） ，則

因?yàn)橹本€ M^′N^′ 的斜率不為0，所

以設(shè)直線 M^′N^′ 的方程為 x=my+2. 聯(lián)

立 得 （m²-3）y²+4my+1=0， （2，m2-3≠0， m2-3

則 且△gt;0， 1yy=m2-3因?yàn)?y₁y₂lt;0 ，所以 m²lt;3. 因?yàn)?k_N^′C^′=

，所以直線 N^′C^′ 的方程為 y-y₁= （20

令 y=0 ，可得 x=

由韋達(dá)定理可得

所 所以，直線 N^′C^′ 過(guò)定點(diǎn)

由圖象的對(duì)稱性可知， M^′D^′ 過(guò)定點(diǎn)

所以，直線 N^′C^′ 與直線 M^′D^′ 的交

點(diǎn)為 所以，S△M'NH

（204號(hào)當(dāng) m²=0 時(shí)， ΔM^′N^′H^′ 的面積取最

小值，最小值為√3

試題評(píng)析

該題以函數(shù)圖象與雙曲線的內(nèi)在聯(lián)系為背景，構(gòu)建了二者之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系模型，重點(diǎn)考查圓錐曲線的幾何性質(zhì)，以及定點(diǎn)、定值與最值等核心問(wèn)題．該題還著重考查學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用能力，同時(shí)對(duì)推理論證能力和運(yùn)算求解能力進(jìn)行了全面檢驗(yàn).作為一道情境化試題，它巧妙融合函數(shù)與解析幾何兩大知識(shí)板塊，設(shè)問(wèn)層次分明、難度梯度遞進(jìn)，對(duì)學(xué)生的思維深度與靈活性提出了較高要求.

該題第（1）問(wèn)較為基礎(chǔ)，主要考查簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的計(jì)算.第（2）問(wèn)是定值問(wèn)題的探究.若直接用圓錐曲線 E：x²-y²=2 的切線進(jìn)行處理，則需要引入兩個(gè)參數(shù)，通過(guò)相切的代數(shù)特征Δ=0 建立兩個(gè)參數(shù)的關(guān)系，再代入面積公式求得定值；若能借助題目條件中的轉(zhuǎn)化關(guān)系，將雙曲線 E：x²-y²=2 轉(zhuǎn)化為反比例函數(shù) 的圖象，從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積問(wèn)題，此時(shí)所得圖形是特殊的直角三角形，僅引入一個(gè)參數(shù)即可解決，大幅減少了計(jì)算量，提高了解題效率.第（3）問(wèn)涉及面積最值問(wèn)題，其關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)點(diǎn) H 為一個(gè)定點(diǎn).然而，若直接從函數(shù)y=√3 V3的圖象人手進(jìn)行研究，學(xué)生即便能依靠已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)點(diǎn) H 為一個(gè)定點(diǎn)，但由于該點(diǎn)的位置并不特殊，難以確定點(diǎn) H 的坐標(biāo)，因此無(wú)法構(gòu)造出面積的目標(biāo)函數(shù).此時(shí)，若能借助函數(shù)圖象與雙曲線的轉(zhuǎn)化關(guān)系，將函數(shù) 的圖象旋轉(zhuǎn)為雙曲線 ，則可以通過(guò)幾何直觀發(fā)現(xiàn)點(diǎn) H 是位于 軸上的一個(gè)定點(diǎn).加之直線MN過(guò) χ_x^′ 軸上的定點(diǎn)，所以 Δ MNH的面積就能用單一參數(shù)進(jìn)行表示，且表達(dá)形式常規(guī)簡(jiǎn)潔，求解函數(shù)最值就水到渠成了.

解題反思

本題若直接以圓錐曲線的形式呈現(xiàn)，會(huì)顯得較為常規(guī)和平淡．離心率、定點(diǎn)、定值、面積（最值）等內(nèi)容，既是重點(diǎn)知識(shí)，也是高頻考點(diǎn)，主要考查學(xué)生的“四基”“四能”和通性通法，這些正是解析幾何問(wèn)題的基石.本題別出心裁，以“四基\"“四能\"和通性通法為基礎(chǔ)，創(chuàng)設(shè)了函數(shù)與雙曲線的轉(zhuǎn)化關(guān)系這一探索創(chuàng)新情境，旨在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科進(jìn)行深入探究，著重考查學(xué)生的理性思維素養(yǎng)和數(shù)學(xué)探究素養(yǎng)．這種探索創(chuàng)新情境的設(shè)計(jì)可作為區(qū)分學(xué)生能力的有效手段，使得那些思維能力較強(qiáng)的學(xué)生通過(guò)努力能夠解決問(wèn)題，而那些僅僅依賴于機(jī)械刷題和題海戰(zhàn)術(shù)的學(xué)生則會(huì)發(fā)現(xiàn)難以應(yīng)對(duì).

在熟練掌握函數(shù)圖象及雙曲線相關(guān)性質(zhì)的前提下，突破本題的關(guān)鍵在于利用函數(shù)圖象與雙曲線的轉(zhuǎn)化關(guān)系，借助轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想，將未知化為已知、陌生化為熟悉、抽象化為具體.第（1）問(wèn)把求解與函數(shù)相關(guān)的離心率這一陌生、未知的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為求解雙曲線的離心率這一已知、熟悉的問(wèn)題;第（2）問(wèn)將雙曲線背景下復(fù)雜的面積問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象背景下相對(duì)簡(jiǎn)單的面積問(wèn)題，不僅大幅縮短了解題時(shí)間，還提升了解題效率，為學(xué)生解決此類問(wèn)題積累了基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；第（3）問(wèn)則把函數(shù)背景下抽象、難以求解的定點(diǎn)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為雙曲線背景下直觀、特殊的定點(diǎn)問(wèn)題，讓學(xué)生經(jīng)歷了從無(wú)從下手到順利求解且計(jì)算簡(jiǎn)便的過(guò)程，不僅拓寬了學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，還優(yōu)化了學(xué)生的思維過(guò)程.

策略分析

數(shù)學(xué)情境涵蓋課程學(xué)習(xí)情境、探索創(chuàng)新情境、生活實(shí)踐情境三大類，這三類問(wèn)題情境在高考數(shù)學(xué)中發(fā)揮著不同作用：課程學(xué)習(xí)情境作為檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的量尺，探索創(chuàng)新情境充當(dāng)區(qū)分甄選人才的手段，生活實(shí)踐情境則是拓展數(shù)學(xué)應(yīng)用的渠道．其中，課程學(xué)習(xí)情境與探索創(chuàng)新情境是考查學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)抽象能力的重要載體，旨在考查學(xué)生的理性思維素養(yǎng)與數(shù)學(xué)探究素養(yǎng)，為高校選拔人才提供依據(jù)；生活實(shí)踐情境注重與其他學(xué)科及社會(huì)實(shí)踐的關(guān)聯(lián)，是考查學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用素養(yǎng)、理性思維素養(yǎng)和數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)的關(guān)鍵載體．在日常課堂教學(xué)中，教師可從以下方面提升學(xué)生應(yīng)對(duì)情境化試題的能力：

1.構(gòu)建多維情境，強(qiáng)化問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)

情境的核心在于問(wèn)題，而問(wèn)題的核心是知識(shí).因此，教師在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)在概念引入、公式推導(dǎo)、定理應(yīng)用、運(yùn)算求解、邏輯推理等關(guān)鍵環(huán)節(jié)設(shè)置問(wèn)題情境，以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí).這種教學(xué)方式不僅能提升學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，還能促進(jìn)學(xué)生深入思考問(wèn)題，有效鍛煉學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

2.更新學(xué)科觀念，推動(dòng)學(xué)科交叉融合

如今，數(shù)學(xué)已不再“純粹”，它常以各類學(xué)科背景為載體考查學(xué)生的能力．學(xué)科融合是體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值和時(shí)代特征的必然趨勢(shì)．在教學(xué)中，教師應(yīng)有意識(shí)地進(jìn)行學(xué)科間知識(shí)的滲透，設(shè)計(jì)跨學(xué)科情境問(wèn)題，為學(xué)生提供自主探索與合作交流的機(jī)會(huì)，從而增強(qiáng)學(xué)生處理跨學(xué)科知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)與能力.

3.融合試題情境，深化數(shù)學(xué)應(yīng)用 意識(shí)

在試題中融入課程學(xué)習(xí)情境、探索創(chuàng)新情境、生活實(shí)踐情境，并對(duì)其進(jìn)行合理利用與改編，能夠拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)魅力，進(jìn)而深化數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)

4.創(chuàng)新問(wèn)題情境，培育數(shù)學(xué)思維品質(zhì)

創(chuàng)新試題形式，如通過(guò)創(chuàng)設(shè)綜合性、新穎性、復(fù)雜性的情境，增強(qiáng)試題的開(kāi)放性．教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用創(chuàng)造性、發(fā)散性思維分析和解決這些開(kāi)放性問(wèn)題，以此提升學(xué)生的探究能力與學(xué)習(xí)能力，培育學(xué)生的創(chuàng)新精神和數(shù)學(xué)思維品質(zhì).