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同性通法為基,數(shù)學(xué)思想為魂

2025-07-21 00:00:00黃金明
關(guān)鍵詞:雙曲線切線圖象

情境是高考試題命制的核心要素,它不僅是考查知識(shí)的手段,更是價(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力體現(xiàn)的載體與工具,是落實(shí)學(xué)生綜合素質(zhì)教育的有效途徑.當(dāng)前,新高考試題呈現(xiàn)出“無(wú)價(jià)值,不入題;無(wú)思維,不命題;無(wú)情境,不成題\"的典型特征.縱觀近幾年全國(guó)新高考試卷,情境化試題已成為新高考命題方式的核心要素.

本文以福建省三明市質(zhì)檢的一道創(chuàng)新壓軸題為例,通過(guò)對(duì)試題的剖析,培養(yǎng)學(xué)生在復(fù)雜情境下獨(dú)立思考的能力,夯實(shí)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能.引導(dǎo)學(xué)生從被動(dòng)參與轉(zhuǎn)向主動(dòng)探究,實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí),提升學(xué)習(xí)效率.經(jīng)歷這一過(guò)程后,學(xué)生能夠逐漸消除對(duì)新高考情境化試題的恐懼心理,在解答該類試題時(shí)做到“有法可依、有章可循”,增強(qiáng)高考應(yīng)試的自信心.

試題呈現(xiàn)

已知平面直角坐標(biāo)系 xOy 中,有真命題;函數(shù) 圖象是雙曲線,漸近線分別為直線 y=mx 和y軸.例如雙曲線 的漸近線分別為 χx 軸和y軸,可將其圖象繞原點(diǎn) o 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 得到雙曲線 x2-y2=8 的圖象.

(1)求雙曲線 的離心率.

(2)已知曲線E: x2-y2=2 ,過(guò)E上一點(diǎn)P作切線分別交兩條漸近線于 ?A,B 兩點(diǎn),試探究 ΔAOB 面積是否為定值,若是,則求出該定值;若不是,則說(shuō)明理由.

的圖象為 T ,直線 ,過(guò) 的直線與 T 在第一象限交于 M,N 兩點(diǎn),過(guò)M,N作I的垂線,垂足分別為 C,D ,直線MD,NC交于點(diǎn) H ,求△MNH面積的最小值.

解法探究

(1)由題意可知 的兩頂點(diǎn)為 (1,1),(-1,-1),故實(shí)軸長(zhǎng) , 即 函數(shù) 的圖象繞原點(diǎn) 0順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 后,其漸近線為 y=±x , 所以 c=2. 所以,雙曲線 y= 1的離心率e=√2. x

(3)已知函數(shù)

(2)思路一:把雙曲線 x2-y2=2 的圖象繞原點(diǎn) o 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 得到函數(shù) 的圖象,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的切線求解.

圖1

由題意可知,把雙曲線 x2-y2=2 的圖象繞原點(diǎn) o 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 得到函數(shù) 的圖象,其漸近線分別為 軸和y軸,此時(shí)設(shè) 則 P 處的切線方程為 ,分別交兩條漸近線于 ,則 2x0=2 ,即 ΔAOB 的面積為定值2.

思路二:直接分類討論雙曲線的切線求解.① 當(dāng)曲線 E 在點(diǎn)P處的切線的斜率不存在時(shí),切線方程為 ,此時(shí) ΔAOB 的面積為2.

圖2

② 當(dāng)曲線 E 在點(diǎn)P處的切線的斜率存在時(shí),設(shè)切線方程為 y=kx+m. 聯(lián){y=kx+m,得(1-k2)x2-2kmx-m2-2=0,所以|11k2≠0, 化簡(jiǎn)得 m2=2k2-2,k2≠1

,由 所以, 因?yàn)樵c(diǎn) o 到直線 y=kx+m 的距離 所以S△AOB 所以 ΔAOB (204號(hào)的面積為定值2.(3)依題意可知,函數(shù)y=√3 V3的漸近線分別為y= -x和y軸,可計(jì)算得出實(shí)半軸長(zhǎng) .將函數(shù) 的圖象繞原點(diǎn)(204號(hào) o 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 可得曲線 T ,其方程為 將點(diǎn) ,直線 ξl 繞原點(diǎn) o 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(204 ,得到點(diǎn) F(2,0) ,直線 l ,過(guò)F(2,0) 的直線交曲線 T 的右支于M,N 兩點(diǎn),設(shè) M(x1,y1),N(x2,y2) ,則

圖3

因?yàn)橹本€ MN 的斜率不為0,所

以設(shè)直線 MN 的方程為 x=my+2. 聯(lián)

得 (m2-3)y2+4my+1=0, (2,m2-3≠0, m2-3

則 且△gt;0, 1yy=m2-3因?yàn)?y1y2lt;0 ,所以 m2lt;3. 因?yàn)?kNC=

,所以直線 NC 的方程為 y-y1= (20

令 y=0 ,可得 x=

由韋達(dá)定理可得

所以,直線 NC 過(guò)定點(diǎn)

由圖象的對(duì)稱性可知, MD 過(guò)定點(diǎn)

所以,直線 NC 與直線 MD 的交

點(diǎn)為 所以,S△M'NH

(204號(hào)當(dāng) m2=0 時(shí), ΔMNH 的面積取最

小值,最小值為√3

試題評(píng)析

該題以函數(shù)圖象與雙曲線的內(nèi)在聯(lián)系為背景,構(gòu)建了二者之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系模型,重點(diǎn)考查圓錐曲線的幾何性質(zhì),以及定點(diǎn)、定值與最值等核心問(wèn)題.該題還著重考查學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用能力,同時(shí)對(duì)推理論證能力和運(yùn)算求解能力進(jìn)行了全面檢驗(yàn).作為一道情境化試題,它巧妙融合函數(shù)與解析幾何兩大知識(shí)板塊,設(shè)問(wèn)層次分明、難度梯度遞進(jìn),對(duì)學(xué)生的思維深度與靈活性提出了較高要求.

該題第(1)問(wèn)較為基礎(chǔ),主要考查簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的計(jì)算.第(2)問(wèn)是定值問(wèn)題的探究.若直接用圓錐曲線 E:x2-y2=2 的切線進(jìn)行處理,則需要引入兩個(gè)參數(shù),通過(guò)相切的代數(shù)特征Δ=0 建立兩個(gè)參數(shù)的關(guān)系,再代入面積公式求得定值;若能借助題目條件中的轉(zhuǎn)化關(guān)系,將雙曲線 E:x2-y2=2 轉(zhuǎn)化為反比例函數(shù) 的圖象,從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積問(wèn)題,此時(shí)所得圖形是特殊的直角三角形,僅引入一個(gè)參數(shù)即可解決,大幅減少了計(jì)算量,提高了解題效率.第(3)問(wèn)涉及面積最值問(wèn)題,其關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)點(diǎn) H 為一個(gè)定點(diǎn).然而,若直接從函數(shù)y=√3 V3的圖象人手進(jìn)行研究,學(xué)生即便能依靠已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)點(diǎn) H 為一個(gè)定點(diǎn),但由于該點(diǎn)的位置并不特殊,難以確定點(diǎn) H 的坐標(biāo),因此無(wú)法構(gòu)造出面積的目標(biāo)函數(shù).此時(shí),若能借助函數(shù)圖象與雙曲線的轉(zhuǎn)化關(guān)系,將函數(shù) 的圖象旋轉(zhuǎn)為雙曲線 ,則可以通過(guò)幾何直觀發(fā)現(xiàn)點(diǎn) H 是位于 軸上的一個(gè)定點(diǎn).加之直線MN過(guò) χx 軸上的定點(diǎn),所以 Δ MNH的面積就能用單一參數(shù)進(jìn)行表示,且表達(dá)形式常規(guī)簡(jiǎn)潔,求解函數(shù)最值就水到渠成了.

解題反思

本題若直接以圓錐曲線的形式呈現(xiàn),會(huì)顯得較為常規(guī)和平淡.離心率、定點(diǎn)、定值、面積(最值)等內(nèi)容,既是重點(diǎn)知識(shí),也是高頻考點(diǎn),主要考查學(xué)生的“四基”“四能”和通性通法,這些正是解析幾何問(wèn)題的基石.本題別出心裁,以“四基\"“四能\"和通性通法為基礎(chǔ),創(chuàng)設(shè)了函數(shù)與雙曲線的轉(zhuǎn)化關(guān)系這一探索創(chuàng)新情境,旨在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科進(jìn)行深入探究,著重考查學(xué)生的理性思維素養(yǎng)和數(shù)學(xué)探究素養(yǎng).這種探索創(chuàng)新情境的設(shè)計(jì)可作為區(qū)分學(xué)生能力的有效手段,使得那些思維能力較強(qiáng)的學(xué)生通過(guò)努力能夠解決問(wèn)題,而那些僅僅依賴于機(jī)械刷題和題海戰(zhàn)術(shù)的學(xué)生則會(huì)發(fā)現(xiàn)難以應(yīng)對(duì).

在熟練掌握函數(shù)圖象及雙曲線相關(guān)性質(zhì)的前提下,突破本題的關(guān)鍵在于利用函數(shù)圖象與雙曲線的轉(zhuǎn)化關(guān)系,借助轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想,將未知化為已知、陌生化為熟悉、抽象化為具體.第(1)問(wèn)把求解與函數(shù)相關(guān)的離心率這一陌生、未知的問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為求解雙曲線的離心率這一已知、熟悉的問(wèn)題;第(2)問(wèn)將雙曲線背景下復(fù)雜的面積問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象背景下相對(duì)簡(jiǎn)單的面積問(wèn)題,不僅大幅縮短了解題時(shí)間,還提升了解題效率,為學(xué)生解決此類問(wèn)題積累了基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);第(3)問(wèn)則把函數(shù)背景下抽象、難以求解的定點(diǎn)問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為雙曲線背景下直觀、特殊的定點(diǎn)問(wèn)題,讓學(xué)生經(jīng)歷了從無(wú)從下手到順利求解且計(jì)算簡(jiǎn)便的過(guò)程,不僅拓寬了學(xué)生的數(shù)學(xué)視野,還優(yōu)化了學(xué)生的思維過(guò)程.

策略分析

數(shù)學(xué)情境涵蓋課程學(xué)習(xí)情境、探索創(chuàng)新情境、生活實(shí)踐情境三大類,這三類問(wèn)題情境在高考數(shù)學(xué)中發(fā)揮著不同作用:課程學(xué)習(xí)情境作為檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的量尺,探索創(chuàng)新情境充當(dāng)區(qū)分甄選人才的手段,生活實(shí)踐情境則是拓展數(shù)學(xué)應(yīng)用的渠道.其中,課程學(xué)習(xí)情境與探索創(chuàng)新情境是考查學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)抽象能力的重要載體,旨在考查學(xué)生的理性思維素養(yǎng)與數(shù)學(xué)探究素養(yǎng),為高校選拔人才提供依據(jù);生活實(shí)踐情境注重與其他學(xué)科及社會(huì)實(shí)踐的關(guān)聯(lián),是考查學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用素養(yǎng)、理性思維素養(yǎng)和數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)的關(guān)鍵載體.在日常課堂教學(xué)中,教師可從以下方面提升學(xué)生應(yīng)對(duì)情境化試題的能力:

1.構(gòu)建多維情境,強(qiáng)化問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)

情境的核心在于問(wèn)題,而問(wèn)題的核心是知識(shí).因此,教師在教學(xué)過(guò)程中,應(yīng)在概念引入、公式推導(dǎo)、定理應(yīng)用、運(yùn)算求解、邏輯推理等關(guān)鍵環(huán)節(jié)設(shè)置問(wèn)題情境,以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí).這種教學(xué)方式不僅能提升學(xué)生的問(wèn)題意識(shí),還能促進(jìn)學(xué)生深入思考問(wèn)題,有效鍛煉學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

2.更新學(xué)科觀念,推動(dòng)學(xué)科交叉融合

如今,數(shù)學(xué)已不再“純粹”,它常以各類學(xué)科背景為載體考查學(xué)生的能力.學(xué)科融合是體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值和時(shí)代特征的必然趨勢(shì).在教學(xué)中,教師應(yīng)有意識(shí)地進(jìn)行學(xué)科間知識(shí)的滲透,設(shè)計(jì)跨學(xué)科情境問(wèn)題,為學(xué)生提供自主探索與合作交流的機(jī)會(huì),從而增強(qiáng)學(xué)生處理跨學(xué)科知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)與能力.

3.融合試題情境,深化數(shù)學(xué)應(yīng)用 意識(shí)

在試題中融入課程學(xué)習(xí)情境、探索創(chuàng)新情境、生活實(shí)踐情境,并對(duì)其進(jìn)行合理利用與改編,能夠拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)視野,讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)魅力,進(jìn)而深化數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)

4.創(chuàng)新問(wèn)題情境,培育數(shù)學(xué)思維品質(zhì)

創(chuàng)新試題形式,如通過(guò)創(chuàng)設(shè)綜合性、新穎性、復(fù)雜性的情境,增強(qiáng)試題的開(kāi)放性.教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用創(chuàng)造性、發(fā)散性思維分析和解決這些開(kāi)放性問(wèn)題,以此提升學(xué)生的探究能力與學(xué)習(xí)能力,培育學(xué)生的創(chuàng)新精神和數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

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