通過“微元累積法”的應(yīng)用提升科學(xué)思維素養(yǎng)

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2025）6-0064-5

在物理教學(xué)中，培育學(xué)生的科學(xué)思維素養(yǎng)是落實學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵點。在眾多提升科學(xué)思維素養(yǎng)的方法中，微元累積法以其獨特的優(yōu)勢受到物理教師的重視。微元累積法是一種基于對微小單元的分析，通過逐步積累最終得出針對整體結(jié)果的思維方法，這種方法強調(diào)從細微處著手，通過積累達到質(zhì)變的效果。本文旨在探討微元累積法在物理教學(xué)實踐中的應(yīng)用及其對提升學(xué)生科學(xué)思維素養(yǎng)的作用，首先舉例說明微元累積法的適用情境，進而提煉使用微元累積法的一般程序，再通過不同類型、不同維度問題的具體解決來討論微元累積法的使用策略以及對提升學(xué)生科學(xué)思維素養(yǎng)的意義。

1 微元累積法的適用情境

例1從地面上以初速度 v₀ 豎直向上拋出一質(zhì)量為 m 的小球，若運動過程中受到的空氣阻力與其速率成正比，小球運動的速率隨時間的變化規(guī)律如圖1所示，以拋出時作為初始時刻，t₁ 時刻到達最高點，之后再落回地面，落地時速率為 v₁ ，且落地前小球已經(jīng)做勻速運動。求：

（1）空氣阻力與速率的比值 k ： （2）小球從拋出到落地過程中克服空氣阻力 所做的功 W_f

（3）小球上升的最大高度 H 。

解析學(xué)生常見解答：

（1）因落地前小球已做勻速直線運動，由平衡條件得 mg=kv₁ ，即 （2）對從拋出到落地的全過程應(yīng)用動能定理，可得 -mv，即W （3）學(xué)生解答1：上升階段小球做初速度為 ?_v0 、末速度為0的直線運動，由運動學(xué)規(guī)律可得 H=

學(xué)生解答2：由于上升和下落階段位移大小相等，因此上升階段克服阻力做功為全程的一半，對上升過程應(yīng)用動能定理有 mv。，解得H=

學(xué)生對第（1）（2）問的解答是正確的。第（3）問學(xué)生解答1中所采用的運動學(xué)方法是多數(shù)學(xué)生的首選方法。但需要注意的是，始、末速度的平均值等于全程速度的平均值只適用于勻變速直線運動，因此本題中用 作為平均速度來求解是錯誤的。學(xué)生解答2中所采用的動能定理也是求解位移的重要方法，但是由于本題中阻力與速率成正比，上升和下降階段克服阻力做功并不相等，因此用 來表示上升階段克服阻力做功是錯誤的。

在例題1所描述的情境中，當物理量隨時間（或空間）的變化規(guī)律較為復(fù)雜，無法直接對全程應(yīng)用公式求解，也無法取平均值求解時，可優(yōu)先考慮采用微元累積法。

2 微元累積法的一般程序

微元累積法是物理學(xué)中的一種重要方法，是微積分思想在中學(xué)階段的雛形。微元累積法包括微元和累積兩個過程。微元通常是將研究過程按時間（或空間）分割成無數(shù)個微元，認為每個微元內(nèi)研究的物理量不變，或者是將研究對象分割成無數(shù)個微元，讓物理公式可以直接適用于每個微元，這樣就把復(fù)雜的、物理規(guī)律無法直接適用的過程或研究對象轉(zhuǎn)化為簡單的、物理規(guī)律可直接適用的微元。累積就是在寫出針對微元的物理表達式的基礎(chǔ)上，對表達式進行累積疊加，得到針對全過程或者整體的結(jié)果。微元累積法使用的一般程序如圖2所示。

3 微元累積法的基礎(chǔ)應(yīng)用

3.1 物理量對時間的累積

例1第（3）問解析流程如圖3所示。

通過本題不難發(fā)現(xiàn)，對于非勻變速直線運動，很難用運動學(xué)公式求解位移，但是基于題意可以找到瞬時加速度和瞬時速度的關(guān)系，再依據(jù)加速度對時間的累積是速度的變化量，速度對時間的累積是位移，就能順利求解。這樣的分析能夠激活學(xué)生從累積的角度對兩個物理量進行關(guān)聯(lián)的思維意識，進而認識到物理量對時間的累積結(jié)果往往對應(yīng)了另一個物理量。例如，力對時間的累積結(jié)果是沖量，電流對時間的累積結(jié)果是電荷量，而且矢量對時間累積所得的物理量也是矢量，標量對時間累積所得的物理量也是標量。

粗糙程度處處相同的水平桌面上有一長為 L 的輕質(zhì)細桿，一端可繞豎直光滑軸 o 轉(zhuǎn)動，另一端與質(zhì)量為 m 的小木塊相連。木塊以與細桿垂直方向的初速度 v₀ 開始運動，并恰好能完成一個完整的圓周運動。求在運動過程中，木塊所受摩擦力的大小。

3.2 物理量對空間的累積

例2（改編自2021年山東卷）如圖4所示，解析解析流程如圖5所示。

本題中木塊做圓周運動，與速度方向始終相反的摩擦力是一個變力，因此無法用恒力做功的公式 W=Fx 求解摩擦力做功。只有把全過程分割成無數(shù)個小微元，將每個微元視為恒力作用下的直線運動，才可以對微元過程列出動能定理，進而累積求解。這樣的應(yīng)用可以讓學(xué)生認識到物理量對空間的累積結(jié)果，也可以對應(yīng)另一個物理量，而且這種處理方法實際上跟化曲為直的思維方法異曲同工。

例3在 x 軸上的 o 點有一固定的正點電荷，其沿 x 軸正方向的電場強度 E 隨 x 的關(guān)系如圖6所示， x 軸正方向為電場強度的正方向，且x₁，x₂ 之間以及 x₂、x₃ 之間的圖線與 x 軸所圍的面積相同，試分析 x₁，x₂ 之間的電勢差 U₁₂ 與 x₂、x₃ 之間的電勢差 U₂₃ 的關(guān)系。

解析解析流程如圖7所示。

將 x 軸無限分割為 對微元應(yīng)用勻強電場 累積： 兩區(qū)域間圖像U 與 E 的關(guān)系得：

微元 Δx ，在微元內(nèi) ΣΔU 即兩位置間的電勢 與 x 軸所圍面ΔU=EΔx

場強 E 認為不變 差，可用圖9中的陰影區(qū) 積相同，可得：ΔU 可用圖8的陰影區(qū) 域來表示 U₁₂=U₂₃ 域來表示

在中學(xué)階段，可以把累積的過程轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)圖像與坐標軸所圍的“面積\"問題。例如， v-t 圖像與坐標軸所圍面積表示位移， F-x 圖像與坐標軸所圍面積表示做功等。通過此類問題，可以引導(dǎo)學(xué)生意識到“面積”起到了連接數(shù)學(xué)和物理問題的橋梁作用，也能讓學(xué)生初步體會到累積的方法實際上就是積分思想的雛形。

4 微元累積法的拓展應(yīng)用

4.1 從線元累積向面元累積的拓展

例4電通量是表征電場分布情況的物理量，它與磁通量的定義類似，與穿過一個面的電場線的數(shù)目成正比，符號為 ?_?Eo 已知在電場強度為 E 的勻強電場中，有一與電場方向垂直的面積為 s 的平面，則通過這個面的電通量 ?_E=E?S_c 現(xiàn)有如圖10所示的點電荷產(chǎn)生電場的電場線和等勢面分布。已知點電荷的電荷量為 Q ，靜電力常量為k，等勢面 S₁，S₂ 到點電荷的距離分別為 求：

（1）通過等勢面 S₁ （球面）的電通量；

（2）穿過兩等勢面 S₁，S₂ 單位面積的電場線數(shù)目之比

解析（1）如圖11所示，將等勢面 S₁ 分割成無數(shù)小面元，每個小面元 ΔS 處的電場強度可視

為均勻，其大小 kQ，方向垂直面元向外，則r₁ （20

通過面元的電通量 Δ?_ε=E1?ΔS ，累積得

（20

（2）由第（1）問的推導(dǎo)不難發(fā)現(xiàn)，等勢面 S₁ 單位面積上的電通量在數(shù)值上等于該等勢面處的電場強度 E₁ ，此結(jié)論也適用于等勢面 S_2° 又由于穿過一個面的電場線的數(shù)目與電通量成正比，因此穿過等勢面 S₁，S₂ 單位面積上的電場線數(shù)目之比就是兩等勢面處的電場強度大小之比，可得 （20號

本題是以電通量為創(chuàng)新背景的自編題，通過對本題的討論，可以讓學(xué)生很好地體會基于面積分割的物理量對空間的累積方法，實現(xiàn)從線元累積向面元累積的跨越，甚至可以進一步引發(fā)學(xué)生對基于體元累積的思考。本題還可以鞏固已學(xué)的磁通量概念，加深通量概念和場線數(shù)目關(guān)聯(lián)的理解，對培養(yǎng)學(xué)生的推理論證素養(yǎng)有所幫助。

4.2 從單向累積向分量累積的拓展

例5（改編自2023年6月浙江卷）利用磁場實現(xiàn)離子偏轉(zhuǎn)是科學(xué)儀器中廣泛應(yīng)用的技術(shù)。如圖12所示， _xOy 平面（紙面）的第一象限內(nèi)有足夠長且寬度均為 L. 邊界均平行于 x 軸的區(qū)域I和區(qū)域Ⅱ，其中區(qū)域I存在磁感應(yīng)強度大小為B₁ 的勻強磁場，區(qū)域Ⅱ存在磁感應(yīng)強度大小為 B₂ 的勻強磁場，方向均垂直紙面向里，區(qū)域 I 的下邊界與 x 軸重合。位于（0，3L）處的離子源能釋放出質(zhì)量為 m 、電荷量為 q 、速度方向與 x 軸夾角為 60^° 的正離子束，沿紙面射向磁場區(qū)域。不計離子的重力及離子間的相互作用，并忽略磁場的邊界效應(yīng)。

（1）求離子不會進入?yún)^(qū)域 I 的最大速率 v₁

（2）若 B₂=2B₁ ，求能到達 處的離子的最小速率 v₂ 。

解析（1）如圖13所示，離子不進入?yún)^(qū)域Ⅱ的臨界情況是其軌跡與區(qū)域I和區(qū)域 I 的邊界相切。將離子在區(qū)域I磁場中的運動無限分割為時間微元 Δt ，極短時間 Δt 內(nèi)速度可認為不變。設(shè)某微元速度的 y 方向分量為 v_y ，則洛倫茲力的 x 方向分量為 F_x=qB₁v_y 。對微元過程應(yīng)用 x 方向動量定理有 qB₁v_yΔt=mΔv_x ，對粒子從進入?yún)^(qū)域I到速度剛好和區(qū)域I、區(qū)域 I 邊界相切的過程進行累積有 即qBL=m（v1-vcos60°），解得 v=2qBL

（2）能到達 處的臨界情況是到達此處時離子的速度方向與 x 軸平行，利用第（1）問的分析方法對離子從進入?yún)^(qū)域Ⅰ到速度方向剛好與 x 軸平行的過程列出 x 方向動量定理的累積式 ，解得 v₂= 3

動量定理的微元累積是近幾年頻繁出現(xiàn)在浙江選考壓軸題中的解題方法。一種應(yīng)用就是本例中基于帶電粒子在磁場中的運動過程分析，寫出分動量定理的微元表達式再進行累積，這種方法巧妙地把粒子在某個方向的動量變化和垂直該方向的位移進行聯(lián)系，實現(xiàn)了從單向累積向分量累積的拓展。另一種常見的應(yīng)用就是在電磁感應(yīng)問題中對導(dǎo)體棒寫出動量定理的微元表達式，累積后求解電荷量、速度、位移等物理量。

5 對圖線所圍面積表示累積結(jié)果的探討5.1 不是所有圖線與坐標軸所圍面積都表示累積結(jié)果

例6通過實驗所得到的某個小燈泡的 U-I 圖像如圖14所示，圖中陰影區(qū)域的面積表示功率嗎？

解析由于 P=UI ，受到面積表示乘積這一“經(jīng)驗\"的影響，很容易誤認為陰影區(qū)域面積表示功率，但事實并非如此。我們在圖像中找到某一點，該點對應(yīng)的橫、縱坐標分別是 I₀ 和 U₀ ，此時小燈泡的功率為 P₀=U₀I_0° 功率是狀態(tài)量，是某一狀態(tài)電壓和電流的乘積，而不是某一過程電壓隨電流的積累。

因此，必須要明確，只有圖像的其中一個坐標是時間、位移等過程量，所圍面積才可能表示累積結(jié)果。

5.2 不是圖線與任一坐標軸所圍面積都有意義

例7一個做直線運動的質(zhì)點的 v-t 圖像如圖15所示，圖中的陰影面積（圖像與縱坐標所圍面積）表示對應(yīng)時間內(nèi)的位移嗎？

解析圖像與 v 軸所圍的面積對應(yīng)的是將速度變化過程無限分割，認為在每一段極小的速度變化中，時間這個物理量保持不變，再將時間

對速度進行微元累積，這個累積顯然是荒謬的。

因此，必須要明確，在圖像中圖線與表示時空的物理量 （t，x，V） 的坐標軸圍成的面積才表示累積結(jié)果。

6結(jié)論

微元累積法是解決物理問題的一種非常有效的方法，特別是在涉及一些連續(xù)非均勻變化的物理量時，可以將復(fù)雜的過程分割為許多微小的易于處理的簡單過程，針對微元寫出適用的物理規(guī)律之后再進行累加，就能較為方便地得到問題的答案，這對促進學(xué)生個體認知結(jié)構(gòu)的完善、提高解決問題的能力具有重要意義。

微元累積法作為一種基于細微、逐步積累的問題解決方法，它強調(diào)了化繁為簡、循序漸進、整合優(yōu)化的思維方式，它引導(dǎo)學(xué)生在面對復(fù)雜問題時不畏繁雜、抽絲剝繭，找到解決問題的切入點，找到解決問題的適用規(guī)律。這一過程不僅鍛煉了學(xué)生思維的敏銳性和靈活性，也促進了問題解決的多樣化思維。因此，在教學(xué)實踐中不斷地滲透“微元累積法”，不僅能促進問題的解決，更能持久深人地發(fā)展學(xué)生的科學(xué)思維素養(yǎng)，這對于學(xué)生未來的學(xué)術(shù)研究和職業(yè)發(fā)展都有積極作用。

參考文獻：

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[3]張航宇.在科學(xué)方法運用過程中發(fā)展學(xué)生的思維[J].數(shù)理化解題研究，2023（18）：71-73.

（欄目編輯 蔣小平）