基于粒子群優化算法的蔬菜類商品定價與補貨決策的研究

摘要：本項目研究的是生鮮商超中蔬菜類商品的定價和補貨的優化問題。項目根據某商超經銷的6個蔬菜品類在2020年7月1日—2023年6月30日的銷售流水明細與批發價格以及各商品近期的損耗率相關數據，基于ARIMA模型，粒子群優化算法，制定了生鮮商超中蔬菜類商品的定價方案和補貨方案，在最有效利用銷售場地的情況下，可使得生鮮商超中蔬菜類商品的銷售取得最大化利潤和最小化成本。

關鍵詞：ARIMA模型；粒子群優化算法；生鮮商品；訂貨與補價

1 項目背景及問題綜述

1.1 項目背景

我們在生活中進入生鮮商超時，不難發現蔬菜類商品的保鮮期相對較短，并且隨著銷售時間的增加，它們的品質與外觀都會逐漸變差。大部分蔬菜品種如果當日不能售出，隔日就無法再進行銷售。因此，商超為了吸引顧客，提高顧客黏性并提高收益，必須保證貨架商品的充足，每天都會根據商品的歷史銷售數據和顧客需求情況進行補貨。然而，由于蔬菜的種類繁多，產地各異，且商超進購蔬菜類商品的時間通常在凌晨3∶00—4∶00，而在此時商家并不清楚具體商品單品和進貨價格，因此，需要根據經驗和判斷做出當日各蔬菜品類及單品的補貨決策。

1.2 問題綜述

主要的問題如下：考慮商超以品類為單位做補貨計劃，請分析各蔬菜品類的銷售總量與成本加成定價的關系，并給出各蔬菜品類未來（2023年7月1—7日）的日補貨總量和定價策略，使得商超收益最大[1]。

2 數據預處理

為確保后續分析質量的準確性，便于建立模型，保證數據質量尤其重要。因此，本文在解決問題伊始先對數據進行預處理。通過對附件數據的觀察，發現并未存在異常值和缺失值——由于題目所給銷售類型為退貨的單品，其銷量為負值，本文將退貨按照正常值來處理，故不進行過度清洗；在計算一系列總銷量相關數據時，直接將退貨數據相加，即為真正銷量。接下來，本文借助MATLAB、Excel、SPSS等統計分析軟件對878 503條數據進行一系列分析處理。

3 模型假設

（1）假設日補貨量剛好滿足日銷量與日損耗量之和。

（2）假設商超提供的數據是真實的，沒有差錯。

（3）假設不存在通貨膨脹、通貨緊縮等經濟風險。

4 問題解決

4.1 成本加成比例系數

成本加成定價法是指在產品成本的基礎上加上按預定成本加成率計算的加成額以確定產品價格的一種方法[2]。也就是在產品成本上增加一部分盈利的方法。大多數企業是按成本利潤率來確定所加利潤的大小的。則：

其中，S銷售額為月平均銷售額，S利潤為月平均利潤。

根據觀察發現，所給散點圖中的數據點呈現較為分散的分布，數據點在坐標軸上的位置沒有明顯的聚集趨勢，而是散布在圖表的各個區域，表示圖中點的密度較低，無論在橫軸或縱軸上取不同的取值，點的位置都沒有明顯的規律可循。這種分散的點分布與低密度的特征表示兩個變量之間的關系可能比較弱。計算各品類月銷售總量與成本加成比例系數的皮爾遜相關系數，得出品類月總銷售量與其成本加成比例間線性相關程度較低。

因此，可以選擇計算這些比例的平均值作為成本加成定價比例的可靠估計值。根據計算，這個平均值為0.3612。

4.2 未來7 d銷量預測

鑒于商超銷售空間的有限性，若要實現更高的收益，必須對空間進行合理利用以滿足消費者的購物需求，一味地追求高收益，盲目制定補貨策略，會導致銷售空間不足或銷售空間過剩的情況發生，繼而造成更大的損失。因此，在確定未來一周的補貨總量時，本文首先基于2023年6月的日銷售數據對7月1—7日的銷售量進行預測。

ARIMA（自回歸積分滑動平均）模型通常表示為ARIMA（p，d，q），是一個經典的時間序列預測分析方法。這一方法由Box和Jenkins于1976年提出，其主要目標是預測時間序列數據的未來趨勢。ARIMA 模型的關鍵在于對時間序列數據進行差分處理，從而將非平穩序列轉化為平穩序列[3]。ARIMA模型結合了自回歸（AR）、差分（I）和移動平均（MA）成分，其具有靈活性，廣泛適應性，可解釋性好的特點，并且該模型理論基礎成熟，能夠適應多種時間序列模式，因此，本文選擇ARIMA模型進行預測。

以花菜類為例。我們使用ACF（自相關函數法）和PACF（偏自相關函數法）來確定模型階數，進而可以得到未來一周的預測數據。

通過歷史數據可以明顯觀察到，6月銷量呈現穩定性和周期性的特點，休息日的銷量高于工作日，這表明在休息日，消費者對商品的需求高于在工作日的需求水平。在休息日，人們通常有更多的時間去購物和準備食材，可作為商品的需求比工作日更高的原因之一。這種周期性變化有助于商超在補貨計劃和市場策略中更好地適應消費者需求的變化，從而提高銷售和利潤。

與此同時，我們也可以使用ARIMA模型預測出未來一周各品類蔬菜的批發價格。如表2所示。

4.3 定價策略

4.3.1 銷量與銷售價格的關系

銷量與銷售價格之間的關系通常通過需求定律來描述，即價格上升時，銷量下降；價格下降時，銷量上升。這種關系可以用需求曲線表示，曲線通常向下傾斜。

對各品類銷量與銷售價格散點圖使用最小二乘法進行線性擬合，得到各品類銷量與售價的表達式如下。

花葉類：y銷=-14.15x+26.27

花菜類：y銷=-3.055x+67.1

辣椒類：y銷=-3.033x+111.1

茄類：y銷=-1.464x+33.79

食用菌：y銷=--6.462x+125.4

水生根莖類：y銷=-4.507x+80.8

4.3.2 定價計算

（1）定價模型建立。首先，根據2023年6月的銷售量和批發價格，使用時間序列（ARIMA）的方法來預測7月1～7日的銷量和批發價格，根據假設，該銷量可以直接認為是補貨量和損耗量的總和。然后考慮打折等因素，以日補貨量和銷售定價為決策變量，商超收益最大為目標函數，建立優化模型。以此得到定價策略。

在計算時，我們要充分考慮到2023年6月各品類的最高最低銷量和定價，進行向上（向下）浮動20%，最低銷量和最低定價均大于0。

4.3.3 粒子群算法

粒子群優化算法（PSO）是一種模擬鳥類覓食行為的群體智能優化算法，通過模擬粒子在解空間中的移動和信息交流來尋找最優解。作為一種常見的優化算法，PSO算法通常適用于連續優化問題，并具有較好的全局搜索和收斂性能[4]。PSO算法的核心思想是粒子之間相互的合作和信息交流，通過不斷更新粒子的速度和位置來逐步靠近全局最優解。在尋優過程中，每個粒子代表一個解，在搜索過程中通過與其他粒子的交互，通過自身的個體和群體經驗進行位置的調整，這種合作與信息交流的機制使得粒子能夠共同探索解空間，并逐漸找到更優的解[5]。本題所涉及到的函數均為連續函數，因此，我們采用粒子群算法來計算各品類蔬菜定價，如表4所示。

5 數據優化

為進一步優化蔬菜類商品的定價與補貨決策，我們考慮多方面因素，提出相關數據的需求，例如季節性商品銷量數據、競爭對手數據、國家的相關政策、商品質量數據、天氣對于蔬菜類產品價格的影響，以及重要活動和節日中較多的數據。

6 模型分析

本文構建的 ARIMA 時間序列預測方法，可以捕捉各種時間序列模式，且其殘差對于正態分布的符合度高，擬合效果優良；在使用ARIMA模型時，天氣、節假日等無法避免的因素也可能會對銷量產生影響。PSO算法簡單、全局搜索能力強且易于并行化，但也存在易陷入局部最優、參數敏感和高維問題表現差等不足。使用時需根據具體問題調整參數，并結合其他優化策略以提高性能。

本文基于最優模型分析和評價了蔬菜類商品的定價和銷售問題，構建最優模型的思想適用范圍廣泛，我們可以考慮推廣到其他數據量大且尋找最優方案的銷售問題中，并加以完善，比如可以解決進購商品最優品類的選擇。

參考文獻

[1] 佚名.“2010高教社杯全國大學生數學建模競賽頒獎儀式”在廣東舉行[J].中國大學教學，2010（12）：9.

[2] 韓笑.高校創收活動定價模式研究[J].教育財會研究，2024，35（4）：31-37.

[3] 姜東，羅亞遠，金海波，等.基于ARIMA-LSTM-XGBoost組合模型對建筑物沉降量的預測[J].土木建筑工程信息技術，2025（3）：3.

[4] 段一凡，劉然，劉小杰，等.基于工藝理論與數據挖掘的鐵水提釩關鍵措施分析[J].鋼鐵，2024，59（3）：58-78.

[5] 張國浩，王彩玲，王洪偉，等.改進粒子群優化算法結合BP神經網絡模型的水體透射光譜總磷濃度預測研

究[J].光譜學與光譜分析，2025，45（2）：394-402.