猜想·驗證·拓展

數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于邏輯推理，邏輯的力量讓數(shù)學(xué)成為嚴(yán)密、可靠的知識體系。邏輯的美，不在于復(fù)雜，而在于它能通過簡單的規(guī)則，推導(dǎo)出深刻的結(jié)論。

七橋問題

在18世紀(jì)，歐洲有一座名叫哥尼斯堡的美麗小鎮(zhèn)，一條大河穿過小鎮(zhèn)中央，沖擊出兩座小島。人們想去島上瞧一瞧，于是修建了七座橋。忽然有一天，有人提出一個問題：如何不重復(fù)、不遺漏地走過所有的橋？這個問題在當(dāng)?shù)亓鱾鏖_來，但是沒有一個人能回答，

18世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家歐拉聽說哥尼斯堡七橋問題無人可解，因而產(chǎn)生了很大的興趣。他把自己關(guān)在屋子里，在紙上嘗試?yán)L制著各種可能的路徑，然而沒有一條路可以不重復(fù)、不遺漏地通過所有的橋。歐拉陷人了沉思，難道天下真的有無解的問題？他看著紙上復(fù)雜的地圖，忽然想到，也許可以先從地圖著手，拋去現(xiàn)實因素試著將它抽象成一個簡單的數(shù)學(xué)模型。順著歐拉的思路，我們來重新考慮這個問題。

事實上，兩岸的陸地與河中的小島都是橋的連接點，它們的大小和形狀與問題沒有關(guān)聯(lián)，因此可以抽象成4個點 A，B，C，D ;七座橋是7條必須經(jīng)過的路線，它們的長短和曲直與問題的解決也沒有關(guān)聯(lián)，因此可以用任意曲線來表示。如圖1，地圖就被抽象成以下圖形。

驗證猜想

現(xiàn)在我們的任務(wù)就是尋找一條路徑，可以不重復(fù)、不遺漏地經(jīng)過所有的邊

什么是路徑呢？歐拉是這么思考的：路，就是從起點開始，經(jīng)過邊再經(jīng)過點，依次循環(huán)，最終到達(dá)終點。如果我們從某一點出發(fā)，畫出了一個圖形，而到某一點停止，那么，中間經(jīng)過的每一個點，總有一條進(jìn)去的邊和一條出來的邊。即除了起點和終點外，這幅圖上的每一個點都應(yīng)該與偶數(shù)條邊相連接。當(dāng)起點和終點重合時，起點也應(yīng)該與偶數(shù)條邊相連接；當(dāng)起點和終點不重合時，那么起點和終點分別與奇數(shù)條邊相連接。

總結(jié)一下，如果要找到一條路徑，可以不重復(fù)、不遺漏地經(jīng)過所有的邊，只可能是以下兩種情況：

第一種：圖中所有點都連通著，所有點都與偶數(shù)條邊相連接；

第二種：圖中所有點都連通著，只有兩個點與奇數(shù)條邊相連接，其余點都與偶數(shù)條邊相連接。

回到圖1，圖中共有4個點 A，B，C，D ，其中點A、點 B 和點 D 分別與3條邊相連，點 C 與5條邊相連，不符合上述任意一種情況。難怪人們一直找不到合適的路線，原來壓根就不存在。

你能嘗試用剛剛總結(jié)的規(guī)律，為哥尼斯堡重新修建幾座橋，讓人們能夠不重復(fù)、不遺漏地走過所有橋嗎？

哈密頓回路問題

在現(xiàn)實生活中，我們還常常遇到這種情況：在一個旅游勝地，想要不走回頭路地逛遍所有景點。這類問題就是哈密頓回路問題。七橋問題中強(qiáng)調(diào)的是不重復(fù)、不遺漏地經(jīng)過所有邊，而哈密頓回路問題是不重復(fù)、不遺漏地經(jīng)過所有的點。

（1）你能畫出圖1中的哈密頓回路嗎？

（2）你能找到圖2中的哈密頓回路嗎？

（3）你能圍繞身邊的事例提出類似的問題嗎？

四色定理

前面我們主要研究的是點和線的關(guān)系，如果拓展到平面中，就出現(xiàn)了這樣一個問題：使用幾種顏色，就可以將世界地圖上各個相鄰的國家用不同的顏色區(qū)分開？這是由英國數(shù)學(xué)家古德里提出的問題，許多數(shù)學(xué)家嘗試求解都徒勞無功。

直到1879年，一位叫肯普的律師提出了“四色定理”，即任何一個平面地圖都可以只用4種顏色進(jìn)行著色，使得相鄰的區(qū)域（即擁有共同邊界的區(qū)域，而非僅接觸于一點）顏色不同。肯普認(rèn)為：對于任意一個國家，與之相鄰的國家個數(shù)可以是 1、2、3… 如圖3，將國家之間的相鄰關(guān)系用數(shù)學(xué)中的圖形表示出來，并依次用最少的顏色填色后，可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律：雖然與藍(lán)色國家接壤的國家數(shù)在增多，但我們總能用少于4種的顏色完成填涂。

他通過將完整的地圖拆分成小區(qū)塊的方式，歸納得出整幅地圖都只需要4種顏色就能完成涂色。

這種用不完全歸納法證明定理的方式顯然不太嚴(yán)謹(jǐn)，在他之后還有數(shù)學(xué)家不斷嘗試新的證明方式。

要讓一個命題不成立，只需要舉出一條反例就行。反之，如果命題成立，就需要對所有可能的情況都進(jìn)行驗證。所以在20世紀(jì)中期，有數(shù)學(xué)家通過計算機(jī)收集了億萬幅地圖，驗證四色定理的正確性。但是這樣的驗證方式仍然存在漏洞，畢竟我們無法確定驗證世界上所有的地圖。從此，四色定理與哥德巴赫猜想、費馬大定理并稱為“近代三大數(shù)學(xué)難題”。

（作者單位：江蘇省南京市第二十九中學(xué)初中部）