生活中的不等式

不等式的發(fā)展歷程可以追溯到古代文明時期。在歐幾里得的《幾何原本》中，已經蘊含了類似不等式的關系，例如，三角形的兩邊之和大于第三邊。公元3世紀，中國數學家趙爽在注釋《周髀算經》時，對勾股定理相關的不等式進行了深人研究。到了17世紀，隨著函數概念的引人，數學家開始系統(tǒng)地運用不等式來描述變量間的關系，并用其刻畫函數值域的上下界等。隨著時間的推移，不等式不僅在純數學領域發(fā)揮著重要作用，還在應用數學、物理學、工程學等學科中得到廣泛應用。

不等關系在現實世界中普遍存在，一元一次不等式是刻畫現實世界中不等關系的重要模型。在日常生活和生產中，人們常常利用不等式（組）解決問題，如核定價格范圍、分析決策等。你能找到生活中的不等關系嗎？如何利用不等式解決實際問題呢？

我們能從電費計費規(guī)則表（表1）中讀出哪些信息呢？你能根據表中的信息寫出哪些不等式？

若某家庭在電費上的年預算是1500元，根據電費計費規(guī)則，你能估算該家庭年用電量最多為多少嗎？

觀察表1，設年度總用電量為 x 度，當 04800 的部分，每度電0.82元。若 x?2400 ，電價最多為1248元；若 x?4800 ，電價最多為2616元。因此，若某家庭在電費上的年預算是1500元，則用電量為 2400

表2是某同學家2024年的用電情況調查表，你能從中獲得哪些信息？觀察3月和7月的數據，你發(fā)現了什么？請你解釋一下原因。

觀察表2，我們發(fā)現，3月用電量405度大于7月用電量394度，但是3月電費210.6元卻小于7月電費217.48元，這與我們的生活認知相矛盾。3月份用電量較高但電費較少，這是為什么呢？我們計算發(fā)現，2、3、4、5、6月的電費都是0.52元度，7月以后都是0.57元/度，只有7月電費約為0.55元/度。因此，我們猜測在7月份中遇到了電費計費規(guī)則的第一階段到第二階段的“拐點”，從而導致電費較高。設第一檔用電量為 x 度，第二檔用電量為 （394-x） 度，則列出 0.52x+0.57×（394-x）=217.48 。求出方程的解之后，我們就能分析出：7月的用電量中的142度電屬于不超過2400度的部分，電價為0.52元/度；7月的用電量中的252度電屬于超過2400度但不超過4800度的部分，電價為0.57元/度。

從上述兩個表格中，我們可以清晰地認識到不等式在表示數值范圍和進行大小比較方面的重要作用。不僅如此，方程與不等式之間存在著緊密的內在聯系：方程主要用于求解具體的、確定的值，而不等式則擅長描繪變量間復雜的大小關系。在應對實際問題的過程中，我們常常需要將方程與不等式結合運用，以便更全面、準確地描述問題并找到相應的解決方案

除了按照總用電量分段計費，還有別的計費方式。你能從表3中讀出什么信息？

問題1：若某家庭月用電量為600度，請你幫忙選擇一個套餐，并說明理由

問題2：套餐內容不變，但月用電量數據未知，你能設計一個方案幫助市民選擇套餐嗎？

問題3：問題2與問題1有何不同之處？又該如何解決呢？

設峰時用電量為 x 度，則谷時用電量為（ （600-x） 度。選擇套餐一的費用為 0.55x+ 0.35×（600-x） ，選擇套餐二的費用為 600×0.52=312 元，通過比較大小選擇方案。

若 0.55x+0.35×（600-x）=312 ，此時 x=510 。說明峰時用電510度，谷時用電90度時，套餐一和套餐二價格相同，可任意選擇。

若 0.55x+0.35×（600-x）gt;312 ，此時 xgt;510 。說明峰時用電大于510度，谷時用電小于90度時，套餐二價格便宜，應選套餐二。

若 0.55x+0.35×（600-x）lt;312 ，此時 xlt;510 。說明峰時用電小于510度，谷時用電大于90度時，套餐一價格便宜，應選套餐一。

總用電量未知，峰時或谷時的用電量也未知，因此需要設兩個未知數。比如，設總用電量為 y 度，峰時用電量為 a 度，則谷時用電量為 （γ-a） 度，再使用上一個問題的方法列不等式討論即可。

表4是某同學的家庭一天所用電器的情況，結合今日所學，大家有何啟發(fā)？

相同時間內，功率越大，耗電越多，建議將功率較大的電器集中在谷時使用，如用電水壺燒水；平日里我們應記得隨手關燈，可以減少用電量總之不管是哪種計價方案，咱們都應節(jié)約用電。

不等式不僅是數學領域中的一個核心概念，其影響力還遠遠超出了純粹的數學范疇，廣泛滲透于現實生活及眾多學科之中。在數學領域內，不等式扮演著至關重要的角色，它不僅能夠協助我們界定方程的解的范圍，為探索方程的解提供寶貴的線索，還能夠精確地描繪圖形間的大小關系，為幾何研究提高精準度。此外，在概率論與統(tǒng)計學中，不等式更是成為估計概率分布和統(tǒng)計量邊界不可或缺的工具，為數據分析提供了堅實的理論基礎。

而在數學之外的廣闊天地里，不等式的應用同樣令人矚目。在經濟學領域，它成為分析收人分配公平性、成本控制有效性的有力武器，幫助我們更深刻地理解經濟現象背后的數學邏輯。物理學中，不等式巧妙地揭示了物理量之間的制約關系，如能量守恒定律中的不等式表達，為我們把握自然界的規(guī)律提供了獨特的視角。在生物學領域，不等式更是被廣泛應用于描述種群增長動態(tài)、生態(tài)平衡等復雜現象，為生態(tài)學研究提供了量化的分析手段。通過不等式的運用，我們能夠更加深入地理解現實世界中的復雜問題，為尋求解決方案提供有力的數學支撐。

（作者單位：江蘇省南京市金陵匯文學校）