變與不變：圖象平移的奧秘

在研究函數圖象與性質時，我們常用數學軟件畫出已知函數的圖象，然后結合圖象進一步分析和解決問題。比如，有這樣一個問題：畫出函數表達式為 的圖象，并根據函數圖象的性質說出至少三個正確結論。

下面我們利用數學畫圖軟件畫出 的圖象，如圖1。

通過觀察，我們可以發現：（1）函數圖象是雙曲線；（2）函數圖象與 x 軸和 y 軸有公共點，分別是（-3，0）和（0，6）;（3）函數圖象與過（-1，0）且垂直于 x 軸的直線沒有公共點，與過（0，2）且平行于 x 軸的直線沒有公共點；（4）當 xgt;-1 或 xlt;-1 時， y 的值隨著x 的增大而減小。

通過對這個函數的圖象及性質的觀察和分析，我們會發現，它與我們剛剛學習的反比例函數的圖象及性質非常類似，就像是某個反比例函數的圖象長了一對隱形的翅膀“飛來\"的。如果這個反比例函數表達式為 0），經過變換以后可以得到 嗎？如果可以， k 的值是多少？又經過了怎樣的變換？下面，我們一起來研究。

函數 的右邊是一個相對復雜的分式，分子和分母都含有 x 。此時，我們可以運用“帶余除法”，將分式 轉化為類似于“帶分數\"形式的式子，比如， 進而，我們可以推測，函數 的圖象與函數 的圖象有關，而函數 的圖象又與函數 的圖象有關。為研究方便，我們可以用數學軟件分別再畫出 y= 和 的圖象，如圖2。

由圖2可以看出，函數 的圖象向左平移1個單位可得到函數 的圖象，再向上平移2個單位即可得到函數 的圖象。

其實，函數圖象在直角坐標系中的平移在數學中有這樣一句口訣：上加下減，左加右減。也就是說反比例函數 的圖象經過適當的變換，可以得到函數 為常數，且 k≠0 的圖象。即當 mgt;0，ngt;0 時，函數 的圖象先向左移動 m 個單位，再向上移動 n 個單位，即可得到函數 y= 的圖象。

那么，請大家思考：函數 的圖象是由函數 的圖象如何“飛來\"的呢？

（作者單位：江蘇省南京市鼓樓實驗中學）