有趣的數(shù)與形 雙曲線中的“不變”密碼

“總路程一定時，速度和時間成反比”，小學(xué)時，老師用這個例子帶我們初識反比例關(guān)系。當(dāng)時我心中始終縈繞著一個問題：既然速度和時間成反比例關(guān)系，那我們怎么能更直觀地看出它們之間的變化規(guī)律呢？直到初中深入學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的相關(guān)知識后，我才在數(shù)與形的交融中找到了答案，更發(fā)現(xiàn)了隱藏其中的“不變\"奧秘。

反比例函數(shù)圖象是兩條與坐標(biāo)軸永不相交的曲線，且始終關(guān)于原點對稱，我們稱其為雙曲線。若點 A 在反比例函數(shù) 為常數(shù)，且 k≠0 ）上，過點 A 作坐標(biāo)軸的垂線，所圍矩形面積恒等于。也就是說，無論點 A 如何移動，原點、點 A 和點 A 與坐標(biāo)軸的垂足圍成的三角形面積始終不變，恒等于 如圖1。“不變\"的奧秘就藏在其中！

在一次練習(xí)中，我遇到這樣一題：如圖2，已知點A在反比例函數(shù) y= K的圖象上，點 B 在 x 軸的正半軸上，X且 ΔOAB 是面積為2的等邊三角形，求這個反比例函數(shù)的表達(dá)式。

我聯(lián)想到“面積不變性”，于是，設(shè)點 A 的坐標(biāo)為 ，過點 A 作 OB 的垂線，交 x 軸于點 C ，如圖3。因為ΔOAB 是等邊三角形，所以點 C 是 OB 的中點。所以 ∣k∣=2 。又由圖3可看出反比例函數(shù) 的圖象在第四象限，所以 klt;0 ，即 k=-2 ，則該函數(shù)表達(dá)式為 。抓住“不變”的幾何關(guān)系，便能破解復(fù)雜圖形中的數(shù)學(xué)密碼。

那不變的只有面積嗎？我繼續(xù)思考，又有了一些新的發(fā)現(xiàn)：

平行關(guān)系不變：如圖4，反比例函數(shù) 交矩形OACB于點 M 和點 N ，連接MN和 AB，MN 始終平行 AB

全等關(guān)系不變：如圖5，延長 MN 交x 軸、 y 軸于點 Q 和點 P ，則 ΔPBM? ΔNAQ

比例關(guān)系不變：如圖6，連接 oM ）OC，ON ，由于 S_ΔOBM=S_ΔOAN ，所以 S_Δocu= 。所以 B M / M C"= A N/"N C "。

這次探索讓我深刻體會到，數(shù)學(xué)既是變化的藝術(shù)，也是守恒的哲學(xué)。……