有趣的數與形 雙曲線中的“不變”密碼

“總路程一定時，速度和時間成反比”，小學時，老師用這個例子帶我們初識反比例關系。當時我心中始終縈繞著一個問題：既然速度和時間成反比例關系，那我們怎么能更直觀地看出它們之間的變化規律呢？直到初中深入學習了反比例函數的相關知識后，我才在數與形的交融中找到了答案，更發現了隱藏其中的“不變\"奧秘。

反比例函數圖象是兩條與坐標軸永不相交的曲線，且始終關于原點對稱，我們稱其為雙曲線。若點 A 在反比例函數 為常數，且 k≠0 ）上，過點 A 作坐標軸的垂線，所圍矩形面積恒等于。也就是說，無論點 A 如何移動，原點、點 A 和點 A 與坐標軸的垂足圍成的三角形面積始終不變，恒等于 如圖1。“不變\"的奧秘就藏在其中！

在一次練習中，我遇到這樣一題：如圖2，已知點A在反比例函數 y= K的圖象上，點 B 在 x 軸的正半軸上，X且 ΔOAB 是面積為2的等邊三角形，求這個反比例函數的表達式。

我聯想到“面積不變性”，于是，設點 A 的坐標為 ，過點 A 作 OB 的垂線，交 x 軸于點 C ，如圖3。因為ΔOAB 是等邊三角形，所以點 C 是 OB 的中點。所以 ∣k∣=2 。又由圖3可看出反比例函數 的圖象在第四象限，所以 klt;0 ，即 k=-2 ，則該函數表達式為 。抓住“不變”的幾何關系，便能破解復雜圖形中的數學密碼。

那不變的只有面積嗎？我繼續思考，又有了一些新的發現：

平行關系不變：如圖4，反比例函數 交矩形OACB于點 M 和點 N ，連接MN和 AB，MN 始終平行 AB

全等關系不變：如圖5，延長 MN 交x 軸、 y 軸于點 Q 和點 P ，則 ΔPBM? ΔNAQ

比例關系不變：如圖6，連接 oM ）OC，ON ，由于 S_ΔOBM=S_ΔOAN ，所以 S_Δocu= 。所以 B M / M C"= A N/"N C "。

這次探索讓我深刻體會到，數學既是變化的藝術，也是守恒的哲學。反比例函數中，變量 x 與 y 此消彼長，但它們的乘積 k 始終如一；雙曲線分支無限延伸，卻始終聽從漸近線的指引。這種“變中守常\"的智慧，不正是數學的魅力嗎？

教師點評

小作者以“不變”破題，從數學視角深入思考了反比例函數圖象的魅力，盡顯數形結合之智；深入剖析圖象特性，邏輯嚴謹，鉆研精神可嘉。愿大家能像小作者一樣，保持對數學的熱愛，深入探索數學的奧秘，勇攀數學高峰！

（指導教師：黃馨）