二次根式的“根”深蒂固

二次根式是初中代數(shù)的重要內(nèi)容。隨著本章學(xué)習(xí)的深人，同學(xué)們已經(jīng)可以理清二次根式、最簡二次根式以及同類二次根式的概念，并深入理解它們的本質(zhì)。二次根式的雙重非負性的運用將成為我們解決問題的“隱形助手”。下面我們通過幾道經(jīng)典例題，一起突破這些難點問題

難點突破1：已知 ，求 x，y 的值。

此問題要求兩個未知數(shù)的值，但是題目的條件中只有一個方程，這樣的方程往往具有特殊性。通過觀察，我們發(fā)現(xiàn)等式的左邊是兩個二次根式的和，由于二次根式的結(jié)果是非負數(shù)，而兩個非負數(shù)的和等于0，那么這兩個數(shù)均等于0，即 得到 解這個二元一次方程組，得 x=2，y=-1 。

變式：若 為實數(shù)，且 ，求 （20 的值。

從條件中發(fā)現(xiàn) x 和 y 是具有數(shù)量關(guān)系的，按照一般思路可以將所求的代數(shù)式中的 y 用 x 來表示，再進行化簡求值。但是條件里 x 和 y 的數(shù)量關(guān)系較復(fù)雜，如果直接代入化簡，計算量大且有難度，因此考慮尋找 x 和 y 的數(shù)量關(guān)系中的特殊性

觀察發(fā)現(xiàn)，數(shù)量關(guān)系中含有兩個二次根式，被開方數(shù)都是含有 x 的代數(shù)式，且 _1-4x 和 4x-1 這兩個代數(shù)式互為相反數(shù)。根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)，可得 ，再根據(jù) x 和 y 的數(shù)量關(guān)系求得 最后代人求值。

小結(jié)：在遇到“代數(shù)式中含有二次根式\"的求值問題時，解決策略就是發(fā)掘其中的隱含條件 一二次根式的雙重非負性，即二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù)，二次根式結(jié)果也是非負數(shù)

難點突破2：若 ，求a 的取值范圍。

根據(jù)已知條件，我們不難得到 ，而去絕對值符號的關(guān)鍵在于判斷絕對值符號內(nèi)的數(shù)的正負性，正數(shù)的絕對值是它本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值還是0。由此我們可以得出 a-1?0 ，即 a?1 O

面對這類問題，同學(xué)們還可以嘗試另一種解法。

根據(jù) _1-a 是二次根式 的結(jié)果，直接得出 1-a≥0 ，解不等式得a?1 。

小結(jié)：在遇到類似的問題時，我們可以從二次根式的非負性角度去思考，能更快求得問題的答案。

難點突破3：將二次根式化簡為最簡二次根式時，我們都知道去尋找被開方數(shù)中的“平方”部分，那么你會化簡 嗎？

根據(jù)一般思路，我們依然要去尋找被開方數(shù)中的“平方\"部分。那么，我們該如何拆分 -a³ 呢？我們該如何處理這個“-\"號呢？在這類問題中，符號處理不正確往往是同學(xué)們最容易出現(xiàn)的問題。其實方法很簡單，就是讓“-\"號\"遠離\"平方部分，也就是將 -a³ 變形成 a²（-a） 。

把\"-\"號和單獨的 a 放在一起，則 。在這里，同學(xué)們要注意二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)，但不代表被開方數(shù)不能含有“-\"號，因此這里 a?0 ，最終的化簡結(jié)果為 。

小結(jié)：化簡被開方數(shù)含有負號的二次根式時，技巧就是在拆分出平方部分時，將負號與平方部分拆開，分別處理。

同學(xué)們，在突破上述三個難點的過程中，我們都緊緊扣住二次根式的雙重非負性來解決問題。因此，在本章的學(xué)習(xí)過程中，同學(xué)們要靈活應(yīng)用“雙重非負性\"這個關(guān)鍵知識點，發(fā)掘問題中的隱含條件，快速通關(guān)！

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區(qū)城西教育集團三水初中校區(qū)）