二次根式與勾股定理的奇妙碰撞

在數學的奇妙世界里，二次根式常用于化簡計算，勾股定理常用于求直角三角形的邊長，二者看似是兩個獨立的知識點，實則有著千絲萬縷的聯系。它們就像一對默契十足的搭檔，共同揭開了直角三角形中數與形的奧秘。著名的海倫-秦九韶公式就可以運用二次根式與勾股定理的知識來證明。

海倫-秦九韶公式：若一個三角形的三邊長分別為 a，b，c ，設 則這個三角形的面積 。

證明：如圖1，過點 A 作 AD⊥BC ，設 BD=x，AD=h ，則 CD=a-x 。

在 RtΔADB 和 RtΔADC 中，根據勾股定理，可得 c²-x²=b²-（a-x）² O化簡，可得

在 RtΔADB 中，根據勾股定理，可得

除此之外，在常規的幾何題中我們也會遇到二次根式與勾股定理這對好搭檔。

例題在矩形ABCD中， AB=a，BC=b，M 是 BC 的中點， DE⊥AM ，垂足為 E ，用含 a，b 的代數式表示 DE 的長。

解：根據題意，我們可以畫出圖形（如圖2）

： M 是 BC 的中點，

在 RtΔABM 中，根據勾股定理，可得

連接DM，則S△ADM

二次根式與勾股定理，一個是數的精確表達，一個是形的規律總結。它們的結合，讓我們既能用代數的方法解決幾何問題，又能用幾何圖形理解代數概念，真正實現了數學中“數”與“形\"的完美統一。這對“黃金搭檔\"不僅是數學學習的重要內容，更為我們探索現實世界提供了強大的工具。

教師點評

小作者通過海倫-秦九韶公式的證明和一道例題的計算，描述出二次根式和勾股定理之間相互依存、相輔相成的關系。勾股定理為二次根式提供了實際應用場景，讓二次根式有了更廣闊的用武之地；二次根式幫助勾股定理解決計算難題，讓幾何問題的答案更加準確和完整。

（指導教師：陳亞楠）