數形共證不等式

我們都知道，天平是一種等臂杠桿。根據“動力 × 動力臂 阻力 × 阻力臂”，以及“動力臂=阻力臂\"可知，當天平平衡時，m物=m砝+m游o

我們來看一道有趣的數學題：有一架天平不精確，天平的兩臂長略有不同。我們把一個物體放在該天平的一個托盤里，在另一個托盤里放砝碼，使天平平衡，稱得物體質量為 a ;再作第二次測量，把物體換到天平的另一個托盤里，此時稱得物體的質量為b。兩次測量均未移動游碼。試用含 a，b 的代數式表示該物體的真實質量，并說明理由。

你的直覺是不是這樣：該物體的真實質量是a+b 下面我們來做驗證。

設天平的兩臂長分別為 L₁，L₂ ，物體實際質量為 m 。經過兩次測量，我們可以得到 L₁m=L₂a，L₂m=L₁b 。將兩式左右兩邊分別相乘，得 L₁L₂mm=L₁L₂ab 化簡，得 m²=ab 。所以 。由此可知，該物體的實際質量是 ，而不是a+b

通過查閱資料，我們還能得到一個結論：當 a，b 為正數時， O其中，當a=b時，a+b Vab;當a≠b時，a+b 。對于這個不等式，我們可以從數與形兩個角度說明。

從代數的角度思考

對于正數 ω_a，b ，因為 所以 。所以 ，所以 Vab。當a=b時，a+b= ；當 a≠b 時， 。

從圖形的角度思考

當 a≠b 時，如圖1所示，用陰影標出面積為 的圖形，則 ；如圖2所示，用陰影標出面積為 ab 的圖形。因為圖1陰影面積大于圖2陰影面積，所以 。開平方，得 。當 a=b 時，如圖3所示 。開平方，得 。綜上討論，當 a，b 為正數時， 。

同學們，請你挑戰下面的問題

若兩個正數 a，b 的算術平均數為 幾何平均數為 ，平方平均數為 你會巧妙地用畫圖方法證明 N?m?P 嗎？

（作者單位：江蘇省南京市鼓樓實驗中學）