在前后貫通中學習二次根式

2025-07-11 00:00:00洪清

初中生世界·八年級 2025年8期

第12章二次根式

領銜人：石建華（正高級教師）

組稿團隊：江蘇省泰州市石建華初中數學名師工作室

二次根式是初中數學“數與代數”板塊的關鍵內容，是對實數、平方根等知識的進一步拓展，為后續學習一元二次方程、二次函數等內容奠定堅實的理論基礎，做好充足的技能準備。

我們以舊知為起點，借助知識間的內在聯系，分別從核心概念、基本性質、運算法則、實際應用這四個方面全方位解讀“二次根式\"的學習內容，助力同學們順利接受新知，逐步搭建學習框架。（如圖1）

舊知回顧

二次根式、整式、分式都屬于代數式，它們都是由數和表示數的字母組成的經有限次加、減、乘、除、乘方和開方等代數運算所得到的式子，是代數式的不同表現形式。

在深人學習二次根式之前，我們先回顧與之緊密相關的算術平方根的定義。“如果 x²=a（a?0），那么 x 叫作 a 的平方根，正數 a 的正的平方根記作，負的平方根記作。我們把正數 a 的正的平方根，叫作 a 的算術平方根”，特別的，“0的平方根也叫作0的算術平方根，即。非負數 a 的算術平方根本身就是一個二次根式，二次根式包含算術平方根的形式，算術平方根是二次根式在“求非負數的平方根\"這一具體情境下的應用。

新知解析

核心概念

二次根式。一般地，式子 0）叫作二次根式， a 叫作被開方數。

“算術平方根\"和“二次根式\"存在一定的差異。算術平方根立足算術基礎，針對確切的數值。如 7²=49 ，所以49的算術平方根是7；二次根式則是代數領域的重要表達，在式子 0）中，被開方數 a 從單一數值拓展到含變量的代數式，如等

最簡二次根式。一般地，化簡二次根式就是使二次根式：（1）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式；（2）被開方數中不含分母；（3）分母中不含根號。這樣化簡后得到的二次根式叫作最簡二次根式。

這三個條件不是孤立存在的，而是共同構成最簡二次根式的完整定義。化簡二次根式的過程，是對數學表達式進行標準化處理的過程，不僅使表達式更加簡潔美觀，更重要的是為后續的運算、比較等提供統一的標準和便利。

同類二次根式。經過化簡后，被開方數相同的二次根式是同類二次根式。

“同類項\"和“同類二次根式\"之間有相似的形式聯系。同類項要求所含字母相同，且相同字母的指數也相同，如 3x²y 與 -5x²y ;同類二次根式則要求化簡后被開方數完全相同，如與。它們都強調\"主體部分\"必須完全一致，即同類項關注變量部分，而同類二次根式關注被開方數部分，

基本性質

二次根式是非負數 a 的算術平方根，它的存在依賴于“ Γ_a?0?Γ 這一前提條件，因此具備“雙重非負性”：一方面，被開方數 a 本身必須是非負數，即 a?0 ;另一方面，在滿足被開方數 a 非負的情況下，二次根式的值也是非負的，即

根據算術平方根定義，是 a 的算術平方根，可得出 0）。通過計算與與，能得到這一結論。對 a 的正負性進行探究，便可得出當且僅當 a?0 時，。這一探究運用了分類討論的數學思想。

運算法則

1.二次根式的乘除

學習有理數加法運算律、乘法運算律、除法法則等內容時，先進行特殊的、具體的數的運算，然后觀察、猜想、歸納得出一般適用的結論，再借助已學知識進行嚴格的證明。二次根式的乘法運算法則、除法運算法則的探究遵循了這種方法。

計算：與與，觀察、歸納、猜想，得出 O一般地，當 a≥0，b≥0 時，。由此可見，與都是 ab 的算術平方根，從而。

計算：和和觀察、歸納、猜想，得出。仿照前面的方法，不難證明此結論

2.二次根式的加減

學習整式加減時，“同類項\"才能合并，類比之下，什么樣的二次根式才能合并呢？只有同類二次根式！即“經過化簡后，被開方數相同的二次根式”。“經過化簡”，既是同類二次根式判斷的過程需要，也是同類二次根式合并時的需要。如，計算化簡后可知，四個二次根式是同類二次根式，像合并同類項一樣，系數相加減作為結果的系數，二次根號及被開方數不變，則原式（ 1 - 6 + 5 + 1/"5"根號下 5 "=根號下 5/"5 "。