問題鏈驅動下的融合式教學

數學問題鏈是根據教學內容及所蘊含的思維脈絡，立足學生認知水平而設計的具有系統性、層次性、結構化的問題序列。問題鏈教學可以激發學生的學習興趣，提供探索路徑，進而引發對數學知識的深入思考，領悟數學本質，促進思維進階。\"教師應圍繞教學目標設計不同類型的問題鏈，借助信息技術促進師生互動和學生思維發展。

以“置信區間”教學設計與實施為例。區間估計作為一種重要的估計總體參數方法，在高中統計類課程的教學中有顯著的特點：置信區間概念相對復雜，區間特征所涉及的統計概念比較抽象。因此，可以通過恰當的“問題鏈”引導學生建立相應的“邏輯鏈”，從問題引入到概念的解析，遞進式地推進知識的建構和思維的發展；通過相關軟件展示不同樣本均值對應的置信區間，可以為分析置信區間的各個特征量提供有力的支持。

1.問題設計的原則

第一，以學生為中心，研究真問題。作為課堂研究的發端，初始問題的提出一定是基于學生已有的知識基礎，因此，要做到問題簡練，直切主題。例如，問題1：如果想了解一個大超市雞蛋的平均質量，你會怎么辦？學生會想到計算雞蛋的平均質量。教師在計算器預設總體均值m和方差5g。利用隨機數命令可以生成10個隨機的結果，并求出一個樣本均值。重復執行命令，可得到多個不同的樣本均值。問題2：由以上結果怎么評估不同均值的準確性？教師可在計算器中預先生成250個隨機樣本均值，然后給出樣本均值點圖，引導學生聯想：對于一個正態總體 ，樣本數量是n的抽樣分布為 。接下來會用到抽樣分布去評價點估計。

第二，在問題子鏈中化解難點。概念形成中的難點可通過拆分在各個子鏈條中化簡。在分析的過程中，教師通過回顧鏈接，分析解決，最后才“非常自然”地導出這節課的核心概念。例如，問題3：從之前了解到的概率分布來分析，如有 95% 的可能性，樣本均值落在對應的哪個區間（xe（μ-2nμ+2n）？問題4：基于這個分析，在有對應概率的情況下，能不能給出樣本均值關于總體均值的“距離”的估計 ，進而給出總體均值估計的區間

第三，從定勢思維和易錯點設計問題。在不斷反問和分析錯誤的過程中，激發學生的好奇心和研究欲，學生通過自己的直接體驗和思考，打破思維定勢，攻克易錯點。例如，問題5：怎么描述這個區間表達的含義？學生非常容易表述為：有 95% 的可能性總體均值落在 = （50.9，57.1）這個區間里。教師可以直接反問：總體均值和所求出的區間都是確定的。這個數要么一定在，要么一定不在這個區間里，不會是一個概率問題。學生可以進一步討論，教師幫助分析，從而引出接下來關于置信水平的數值試驗和討論。

2.問題的推進

第一，對學生的回答要有充分的預設和思考。教師需要站在學生角度做好充分的預設，使問題本身的討論和思維發展的鏈條環環相扣，準確地達到目標。例如，在問題5的討論中，教師找到了一個“終極答案”，可以“一招制敵”。若沒有統一解答，就要去“各個擊破”。

第二，通過輔助問題搭建，助力問題討論。針對學生的困惑點，教師要巧妙地搭建一些“梯子問題”。例如，在置信水平的試驗討論中，教師可以有目的地引導學生總結網頁數值試驗現象： 具體出現的位置不確定，通過重復抽樣，能得到不同的區間。

問題6：仔細觀察到這些區間有什么異同？學生很容易發現區間分布的位置不同是由樣本均值決定的。同時，能從視覺上猜測區間的寬度是一樣的，進一步可借助置信區間的結構發現寬度是由置信水平決定，即區間的構造方法是一致的，區間的不同是由均值的隨機性決定的。問題7：總體均值都包含在區間里面嗎？學生發現有的區間包含總體均值，有的不包含。教師可提示學生觀察網頁上統計的包含總體均值的區間個數和比例變化。隨著區間數量的增加，這個比例基本穩定在 95% （即預先給定的概率）。整個過程從數值實驗的角度分析和暗含了置信水平的含義：在相同構造方法下，對應比例的區間能包含或是“捕捉”到總體均值。此預先給定的概率可以理解為捕捉率，我們把這個概率叫做置信水平。問題8：能不能更準確地解釋這個捕捉率？利用Desmos課件分享演示。學生通過觀察相同置信水平下的不同區間位置隨著樣本均值 Π_x^- 的連續變動的情況，得出只有當 出現在中心區域 ，對應區間才能包含總體均值，而 Π_x^- 出現在這個范圍內的概率就是給定的置信水平。

第三，問題設計要“層層遞進”。概念的建構需要由淺入深地思考和剖析。比如，在置信區間概念建構中，先解決“怎么給出估計”，進而思考“怎么評價估計”。對于已有概念和方法，在設計應用問題的時候也可遞進。例如，通過分析置信區間的其他參數，如置信水平或樣本數量的變化，多維度地理解概念，更深刻地揭示方法的實際意義和廣泛應用。

3.技術實施的建議

一是復雜數據的可視化。統計學科本是基于數據進行研究的學科，可借助計算工具處理大數據。TI圖形計算器有很多模塊化的統計函數和統計功能，能直觀地展示出大數據的統計結果。例如，問題1和問題2討論過程中，分別用到了隨機數函數和表格繪制點圖的功能。

二是統計數值試驗的必要性。為了提高課堂效率，可以讓學生在程序輔助下進行模擬試驗，直觀感受統計方法抽象的過程，便于理解概念。也鼓勵學生使用各類已開發的網頁小程序，還原試驗，快速獲取大量數據，如本節課中使用了對置信水平討論的網頁數值試驗。

三是設計和編寫要求。建議教師找到熟悉的程序平臺來設計和編寫相應的程序。比如，本節課置信區間理論的分析部分，為了實現對區間的連續性變化的分析，教師利用Desmos設計了正態分布曲線和對應的含參區間。■