一道T8聯考題的解題反思

每年高考復習中都會有許許多多的各級模擬考試，其中不乏有非常優秀且具有高考復習價值的考題，如何發揮這些考題在復習中的教學價值應該是師生研究課題．下面，我們以2024年12月高三部分重點中學聯合檢測（T8聯考）18題解題反思為例來具體論述，供廣大師生參考.

一、考題呈現與解答

已知過 A（-1， 0） ， B（1， 0） 兩點的動拋物線的準線始終與圓 x²+y²=9 相切，該拋物線焦點 P 的軌跡是某圓錐曲線 E 的一部分.

（1）求曲線 E 的標準方程;

（2）已知點 C（-3， 0） ， D（2， 0） ，過點 D 的動直線與曲線 E 交于 M ， N 兩點，設 ΔCMN 的外心為Q ， o 為坐標原點，問：直線 oQ 與直線MN的斜率之積是否為定值，如果是定值，求出該定值；如果不是定值，說明理由.

解析：（1）設 ，由拋物線定義知 |AP|+ |BP| 等于 A 點與 B 點到拋物線準線的距離之和，而A 點與 B 點到拋物線準線的距離之和是原點 o 到拋物線準線的距離的2倍，根據圓與拋物線的準線相切，得原點 o （圓心）到拋物線準線的距離是3，所以∣AP∣+∣BP∣=6gt;∣AB∣ ，因此點 P 的軌跡是以 A ， B 兩點為焦點，定長為6的橢圓，所以曲線 E 的標準方程為

（2）動直線MN斜率不為0，所以可以設其直線

方程為 x=ty+2 ，代入曲線 E 方程消去 x 得 （8t²+9）y²

+32ty-40=0 設 N（x₂，y₂） ，則 y₁+y₂=

調 又CM中垂線方程為y-2

化簡得 同理得 CN ，中垂線方程為 設 ，所以 （2 于是，可知 y₁ ，y₂ 是方程 即 y²+16（y₀+tx₀）y+80x₀= （24號

0的兩個根，故 y₁+y₂=-16（y₀+tx₀） ， y₁y₂=80x₀ ．所 化簡得 ，故直線oQ 與直線 MN 的斜率之積為定值-5.

思考： ① 圓錐曲線中有許多定值問題，本題（2）得到的定值-5與點 C（-3， 0） ， D（2， 0） 橫坐標似乎有隱含關系，具體是否真有呢？我們可以大膽猜測小心求證．另外，如果點 C ， D 在 x 軸上變動是否直線OQ與直線MN的斜率之積仍是定值呢？ ② 本題（2）問解答過程中巧妙利用點坐標滿足方程得到坐標是方程根的解題技巧，該技巧在哪些問題解答中需要用到？如何具體用呢？這些都需要我們去探討.

二、考題進一步探究

1．定值探究

為了研究問題的普遍規律，我們探究一般情況

橢圓 對稱軸 x 軸上有兩個動點C（m， 0） ， D（n， 0） ，過點 D 的動直線與橢圓交于M ， N 兩點，設 ΔCMN 的外心為 Q ， o 為坐標原點，問：直線 oQ 與直線MN的斜率之積是否為定值？

設直線MN方程為 x=ty+n ，聯立橢圓方程消去 x 得 設 ，N（x，y2），所以 可以求得 CM 中垂線方程為 ，同理得 CN

中垂線方程為 ，所以△CMN的外心 滿足 （20因此 y₁ ， y₂ 是方程 即2 的兩個根，所以 于是，得等式

線MN 的斜率之積為定值+b； 直線 oP 與直線MN的斜率之積為定值+b 直線 oQ 與直線 oP 的斜率之積為直線 MN 的斜率的倒數平方.

評注：解析幾何問題的一個非常重要解答難點就是計算．上面性質1和性質2的全字母運算，顯然能夠幫助考生克服畏懼計算的心理，從而提高計算能力.

根據性質1和性質2，我們可以新編：

問題1．已知橢圓 的上頂點、左頂點分別為 A，B ，直線 y=x+2 與橢圓交于 M ， N 兩點，設△AMN的外心為 Q ，△BMN的外心為 P ， o 為坐標原點，則直線 oQ 與直線 oP 的斜率之比為

所以 m=a 時， 則 化簡得 故直線 oQ 與直線 MN 的斜率之積為定值 時， 則 化簡得 故直線 oQ 與直線MN的斜率之積為定值

解析：因為直線 oQ 與直線 MN 的斜率之積為定值 直線 oP 與直線 MN 的斜率之積為定值4 所以直線 oQ 與直線 oP 的斜率之比為

綜上所述，我們得到橢圓的一個性質：

圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的性質進行類比探究是一種自然思想，我們可以得到雙曲線中類似性質如下：

性質1：已知橢圓 的左、右頂點為 A，B ，過對稱軸 x 軸上定點 D（n， 0） 的動直線與橢圓交于 M ， N 兩點，設 ΔAMN 的外心為 Q ，△BMN的外心為 P ， o 為坐標原點，則直線 oQ 與直線 MN 的斜率之積為定值 ；直線 oP 與直線MN的斜率之積為定值-a； ；直線 oQ 與直線 oP 的斜率之積為直線MN的斜率的倒數平方.

性質3：已知雙曲線 實軸的左、右頂點為 A，B ，過對稱軸 x 軸上定點 D（n， 0） 的動直線與雙曲線交于 M ， N 兩點．設 ΔAMN 的外心為 Q ，△BMN的外心為 P ！， o 為坐標原點，則直線OQ 與直線MN 的斜率之積為定值+a； ；直線 oP 與直線 MN的斜率之積為定值-a； 直線 oQ 與直線 oP 的斜率之積為直線MN的斜率的倒數平方.

同理不難證明

結合性質1和性質3，我們可以新編

性質2：已知橢圓 的上、下頂點為A、 B ，過對稱軸 y 軸上定點 的動直線與橢圓交于 M ， N 兩點，設 ΔAMN 的外心為 Q △BMN的外心為 P ， o 為坐標原點，則直線 oQ 與直

問題2．已知橢圓 、雙曲線 的左頂點分別為 A，B ，直線 y=x+2 與橢圓交于 M 、， N 兩點，設 ΔAMN 的外心為 Q ，△BMN的外心為 P ， o 為坐標原點，則直線OQ與直線 oP 的斜率之比

為

解析：因為直線 oQ 與直線MN的斜率之積為定（24號 值 直線 oP 與直線 MN 的斜率之積為定值 所以直線 oQ 與直線 oP 的斜率之比為 （

評注：高考題必定會避開現有試題，但現有試題的各種延伸試題，特別是一些包含豐富數學思想并能考查考生數學素養的優秀試題的延伸試題一定會成為命題者的合理選擇，從這個角度講，通過深入研究優秀模擬題又有可能提前做到類似高考題．所以，對于優秀模擬題進行延伸研究非常必要.

2.利用點滿足方程解題

第（2）問解答中巧妙運用點滿足方程解題是不太常見的一種解題方法，因其少見性對大部分考生來說解題中運用都是有困難的，什么時候需要用？如何用？從T8聯考題中我們可以發現，圓錐曲線解答中用相同規律解題2次、即我們通常說“同理可得”類問題中可能會用到此方法；另外，代數類問題中能歸納成直線問題的可能也可用該方法.例如以下問題

例1．已知 為雙曲線 c . x²-y²=1 上的點，直線 l x₀x-y₀y=1 （1）判斷直線 ξ_l 和雙曲線 c 的位置關系，并說明理由；（2）若雙曲線 c 在 A ， B 兩點處的切線交于點 E （m， 1）（|M|lt;1） ， H 為線段 AB 的中點，過 H 作 c 的兩條切線，切點分別為 M ， N ，證明： M ， N ， E 三點共線.

解析：（1）直線 l 和雙曲線 c 相切，具體略

（2）設 ， ，則由（1）結論知

A 點處的切線方程為 x₁x-y₁y=1 ， B 點處的切線方程

為 x₂x-y₂y=1 ，根據雙曲線 c 在 A ， B 兩點處的切線

交于點 E 得方程組 所以可知 A ， B 兩點（20

都在直線 mx-y=1 上，于是得到直線 AB 方程為 mx-y

^°=1 ，代入雙曲線 c 方程化簡得 （1-m²）x²+2mx-2=0

因此，線段 AB 的中點 H 橫坐標為 故縱

坐標為 所以 記 ， ，則可得 M ， N 處的切線方程為 ， ，所以 于是知 M ， N 兩點都在直線 上，即直線 MN 方程為 ，又因為 E（m， 1） 滿足直線 MN 方程，所以可證 M ， N ， E 三點共線.

評注：本題中切點直線 MN 方程就是“同理”切點直線 AB 方程得到的，只不過因為 H 點坐標需要通過聯立直線 AB 方程和曲線 C 方程才能求得，故不能非常直觀地“同理可得”寫出來.

例2．（惠州 2025屆第二次調研第14題）若關于x 的方程 有實根，則 a²+b² 的最小值為

解析：設關于 x 的方程 的實根為 x₀ ，則 有實根 x₀ ，即 e，注意到目標表達式a2+b2為平方和結構，所以應該想到其幾何意義為距離平方，則在平面 aOb 上， a²+b² 表示原點（0，0）到直線 上任一點 的距離平方，其最短距離顯然是原點到直線的距離，即為 則 ，通過求導我們不難知道 g（t） 在 遞減，在 （1，+∞） 遞增，則 g（t） 的最小值為 ，故 a²+b² 的最小值為e2.

評注：通過變量轉換，將我們熟知的平面 xOy 轉換為平面 aOb ，則任意一點 均滿足方程 ax₀+ =e，這樣該方程就可以看成是關于a、b的直線方程，所以 a²+b² 就具有了點到直線的距離平方的幾何意義，后續解答就水到渠成了.

三、配套訓練

以下練習供學習本文鞏固之用.

練習．（2025屆江蘇鹽城市、南京市期末調研 17）已知點 F₁ 、 F₂ 分別為雙曲線 E bgt;0 ）的左、右焦點，點 F₁ 到雙曲線 E 的漸近線的距 離為 ，點 A 為雙曲線 E 的右頂點，且 AF₁= 2AF₂

（1）求雙曲線 E 的標準方程;

（2）若四邊形ABCD為矩形，其中 B ， D 在雙曲線上，求證：直線 BD 過定點.

參考答案：

（2）直線 BD 過定點

一般化研究：點 A 為雙曲線 E bgt;0 ）的右頂點，若四邊形 ABCD 為矩形，其中 B ， D 在雙曲線上，則直線 BD 過定點

解析：當直線 BD 斜率不存在時，設直線 BD 方程為 x=m ，則可以解得 由 AB⊥AD 得 解得

當直線 BD 斜率存在時，設直線 BD 方程為 y=kx+ ?_m ，代人雙曲線方程得 設 ， 當 時， （204號 則 y₁y₂= （202， （204號 則 AB⊥AD 得 ，化簡得 ，解得 m=-ak ，或 ak. 當 m=-ak 時，直線 BD 方程 y=kx- ak 過定點 A（a， 0） ，不符合；當 時，直線 BD 方程 過定點

綜上所述，直線 BD 過定點

模擬卷千千萬萬，用題海戰術是不可取的，我們也不可能有這么多精力．如何用好其中優秀模擬題，將試題的復習功能盡可能挖掘出來應該是我們要研究的課題，對試題進行一般化處理研究、類比研究、條件加強（或減弱）研究、四種問題關系研究、解題所用方法適用性研究等是常見途徑．在復習過程中，根據對解答反思的理解進行編題解答對提高復習效果更為有效.

【作者簡介：中學高級教師，在《數學通報》《中學數學教學參考》《數學通訊》《數學教學》、《廣東教育》（高中）等雜志發表文章多篇，其中人大復印全文轉載4篇】