數的運算的本質回歸

《義務教育數學課程標準（2022年版）》著重指出：“數的運算重點在于理解算理、掌握算法，數與運算之間有密切的關聯.”[1]“數與運算\"主題要求學生感悟數的運算以及不同運算之間的關系，體會數的運算在本質上的一致性，進而形成運算能力和推理意識.本文將結合具體的實例，闡述一致性視角下的數的運算的教學策略.

1把握本質，理解運算的意義

運算能力主要是指根據法則和運算律進行正確運算的能力.由此可見，明晰運算的對象和意義是運算能力的重要組成部分.在教學過程中，教師應基于學生的實際學情，精心設計旨在促進意義理解的教學活動，引導學生親身經歷算理和算法的探究過程，從而深入感悟數的運算以及不同運算之間的內在聯系.

以蘇教版《義務教育教科書數學一年級上冊》中“5以內的減法\"教學為例，這是學生首次接觸減法運算，深刻領悟減法的意義是教學的重中之重.在教學時，可以通過三個層次循序漸進地引導學生理解減法的意義，具體教學片段如下.

（1）在情境中抽取減法的概念

教師展示情境圖，讓學生看圖并用三句話講述數學故事.

師：能否用小方塊演示這個數學故事？

在學生操作后，教師邀請一位學生上臺演示.學生先擺出5個方塊，再用手遮住2塊.

師：遮住這兩個方塊代表什么意思？

生：表示走掉了2人.

師：走掉2人，就是要從5個中去掉2個，也可以用虛線框出來.通過看圖和擺方塊，我們清楚地看到從5人里去掉2人，還剩3人.像這樣從5個里去掉2個，求剩下幾個的過程，就是數學中的一種新運算一一減法，用式子表示為 5-2=3. 這里的短橫線是減號，它表示去掉的意思.

（2）在操作中深化減法的意義.

師：看，這是我們熟悉的數學好伙伴一數軸.想一想，在數軸上怎么表示 5-2=3 ，從幾開始.生：5開始.師：為什么？生：因為原來有5個.師：5開始，怎么移動？生：倒著移動.師：為什么是倒著移動？生：因為要去掉2個，所以要退回去.加上去才是往前移動.師：有道理.倒著移動幾個？生：倒著移動2個.師：一起數，5開始，4，3，到啦！從5開始倒著移動2個就是3.（3）在創編中建構減法的模型，師：你也能來講一講 5-2=3 的故事嗎？（學生分組創編故事后交流）師：小朋友們講了那么多數學故事，為什么都可以用 5-2=3 表示？

生：不管是什么故事，都是從5個里去掉2個，還剩3個.

運算本質的理解需植根于具體情境與具身操作.在這個教學案例中，教師巧妙地通過“情境抽取一操作深化一故事創編”三個層次的活動，引導學生逐步深入理解減法的意義.首先，借助生活場景引發學生對“去掉”的直觀感受，將學生的動作表征放大，把“遮方塊\"轉化為減法的動作原型，讓學生初步感知減法的含義.接著，利用數軸的移動動作，滲透逆向運算思維，將抽象的運算符號與具體的數量變化相對應，加深學生對減法運算本質的認識.最后，通過學生創編故事并思考背后的數學原理，幫助學生從具體情境中提煉出減法的數學模型，實現了從具體到抽象的思維跨越，完成了對減法意義的深度理解和建構.

2緊扣核心概念，感悟算理的一致性

計算教學的核心目標之一是讓學生感悟數的運算及運算之間的關系，體會運算本質的一致性，這就要求教師從整體上精準把握教學內容的本質，有機整合教學內容，合理調整教學順序，促進學生對知識的整體理解與掌握.“小數除法”是除法教學中的關鍵節點，學生在學習這部分內容時，需要突破整數除法的思維定式，邁向結果更加精確的小數除法，這對學生而言是一個不小的挑戰.事實上，縱觀小學階段的除法運算，從整數除法到小數除法，再到分數除法，雖然形式上有所不同，但內涵高度一致，其本質都是基于計數單位的均分.因此，在教學中，教師要引導學生充分感悟整數和小數除法運算的內在一致性.

例如，在教學蘇教版《義務教育教科書數學五年級上冊》中“小數除法”一課時，我校教師緊扣三個關鍵問題，引導學生循“問”入理，深度理解小數除法的算理，具體問題設計如下.

問題1 21÷5 在得到4的情況下，能不能繼續往下除？

師：按照二年級的除法計算經驗，算到余數1就可以了.站在五年級的視角再來看這兩題，不禁要想，還能不能繼續往下除？

學生嘗試計算 21÷5 ，通過交流發現都把余數1變成10再除，得出結果4.2.

問題2為什么把1變成10？

師：為什么要把這個余數1變成10？你能把你的想法在這些素材上畫一畫、分一分嗎？

學生通過交流發現，因為 1÷5 ，商不夠1，大家都想到把1變成10，就能繼續往下除了.

師：看來，大家的想法是一致的，當我們發現 1÷ 5不夠除的時候，都想到了把1平均分成10份，就是10個0.1.把1平均分成5份，每份就是2個0.1，得0.2.這么分一分，計數單位變小了，但是單位的個數就變多了，所以就可以繼續往下除.

學生完成豎式并說一說計算的道理.

問題321÷4在得到5的情況下，還能繼續往下除嗎？

師：我們能繼續用這樣的思路解決 21÷4 嗎？對比問題1與問題3，為什么兩道算式都是余1，第一個再分一次就分完了，第二個怎么再分了兩次呢？

師：又有余數，我們是怎么辦的？如果又余1個0.001呢？看來，有余數我們也能繼續往下除，不管是整數除法還是小數除法，都是在平均分，當大的單位不夠分時，就要把大的單位轉化為小的單位，再繼續分.

縱觀小學階段的數與運算，整數、分數、小數本質上是一個整體.從數形成與發展的角度而言，整數除法運算出現不夠除的情形，產生了分數，分數運算不方便，產生了小數；從數組成的角度而言，整數、分數、小數均是基于“計數單位\"建構的.[2據此，整個環節，教師緊扣運算本質，從學生已有的二年級除法計算經驗出發，通過三個層層遞進的問題，引導學生深度理解小數除法的算理.首先，引發學生的認知沖突，激發學生主動探索小數除法計算方法的興趣，突破整數除法余數概念的局限.接著，讓學生通過實際操作素材，直觀地理解改變計數單位實現繼續運算的本質.最后，深化拓展學生的思維，借助 21÷ 4的計算對比，使學生明確整數除法與小數除法在平均分本質上的一致性，幫助學生構建起完整的小數除法運算認知體系.整個設計將抽象的算法規則轉化為可視化的單位操作，使學生真正理解除法的本質是“計數單位的均分”，為分數除法的學習埋下伏筆.

3勾連融通，實現運算方法的自主內化

教師在教學中要重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系.因此，要站在整體、系統的高度把握教學內容，從數學知識結構和學生認知結構出發設計和組織教學，以完善和發展學生原有的認知結構，提高其數學認知結構的清晰性、穩定性和可利用性.

例如，“分數四則混合運算”是蘇教版《義務教育教科書數學六年級上冊》中的內容，也是小學階段四則混合運算教學的收官部分.在此之前，學生已經掌握了整數、小數四則混合運算以及分數的加減、乘除計算，并且熟悉常用的運算律.對于學生來說，遷移以往的經驗進行自主計算并非難事，關鍵在于讓他們不僅知道怎么做，更要明白為什么這樣做.在教學這部分內容時，可以采用以下教學策略.

（1）揭示課題，嘗試計算.教師直接出示一道分數四則混合運算題 ×16”，向學生說明，像這樣一道分數題中包含兩種或兩種以上運算的，就稱為分數四則混合運算.然后讓學生嘗試計算，在交流環節展示兩種算法：一是按照先算乘法，再算加法的順序進行計算；二是運用乘法分配律進行簡便計算.讓學生相互檢驗這兩種算法計算結果.

（2）多元解讀，理解算理的一致性.教師引導學生思考“兩種算法的計算結果一致，那么先看第一種方法，它的運算順序是先算乘法，再算加法，這樣的運算順序合理嗎”.你能否運用以前學過的知識來證明這種計算順序的合理性呢？學生通過自主操作和思考，從以下不同角度對這一運算順序的合理性進行了解釋： ① 轉化說明.將分數運算轉化為小數運算，得到了相同的結果. ② 借助事件說明.學生將這道混合運算編成一道實際問題，通過具體的情境內容來說明先算乘法再算加法的道理.

通過以上兩種不同方法的驗證，都證明了在進

行分數四則混合運算時我們應該先算乘法，再算加法.四則混合運算的運算順序其實和整數、小數四則混合運算的運算順序是一致的.

（3）聯通算法，理解算法的一致性.在整個教學過程中，教師通過“ ×16\"這一典型例題，引導學生從多元視角驗證運算方法的合理性.無論是將其轉化為實際問題、幾何模型還是小數計算，都能證明“先乘后加\"的運算順序與整數、小數運算順序的一致性，凸顯了數的運算一致性這一核心思想.然后，通過對比兩種算法，引導學生發現運算律在分數計算中的適用性.這種教學方式的精妙之處在于，以“多元表征互譯”為紐帶，將抽象的算理具象化，使學生從單純的直覺算法遷移轉變為對運算本質意義的深入建構.不僅有效提升了學生的運算能力，更在一步步的追問與思考中，深化了學生的推理意識與模型觀念，為學生今后的數學學習奠定了堅實的基礎.

4結語

在小學數學“數與運算\"教學中，教師應從把握運算意義、感悟運算一致性以及實現運算方法自主內化等方面入手，以一致性視角進行整體教學設計，幫助學生構建系統、完整的數學運算知識體系，提升學生的數學核心素養.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]鞏子坤，史寧中，張丹.義務教育數學課程標準修訂的新視角：數的概念與運算的一致性[J].課程·教材·教法，2022（6）：45—51+56.