齒輪傳動(dòng)變位系數(shù)選擇的封閉線圖限制條件修正研究

中圖分類(lèi)號(hào)：TH122 DOI：10.16578/j.issn.1004.2539.2025.06.012

0 引言

齒輪傳動(dòng)具有傳動(dòng)平穩(wěn)可靠、傳動(dòng)效率高、傳動(dòng)比恒定、結(jié)構(gòu)緊湊、使用壽命長(zhǎng)等特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于各種機(jī)械裝置中。隨著科技的發(fā)展和創(chuàng)新，齒輪傳動(dòng)技術(shù)也在不斷進(jìn)步。新材料、新工藝和新設(shè)計(jì)方法的應(yīng)用將進(jìn)一步提升齒輪傳動(dòng)的性能和效率。同時(shí)，智能化和自動(dòng)化的趨勢(shì)將推動(dòng)齒輪傳動(dòng)與其他系統(tǒng)的集成，實(shí)現(xiàn)更高級(jí)別的控制和優(yōu)化。

在齒輪傳動(dòng)裝置中，變位齒輪的應(yīng)用非常廣泛。而正確地選擇變位系數(shù)（包括選定一對(duì)嚙合齒輪的變位系數(shù)之和 x_Σ 以及將 x_Σ 適當(dāng)?shù)胤峙錇辇X輪1的變位系數(shù) x₁ 和齒輪2的變位系數(shù) x₂ 是設(shè)計(jì)變位齒輪的關(guān)鍵[2]8-14。選擇變位系數(shù)的方法有很多，例如，利用經(jīng)驗(yàn)公式、封閉線圖、線圖（表格）等選擇變位系數(shù)。利用封閉線圖有可能綜合考慮各種性能指標(biāo)，較合理地選擇變位系數(shù)[2J8-14。對(duì)齒輪根切機(jī)制的研究表明，根切過(guò)程中各根切點(diǎn)（標(biāo)準(zhǔn)齒條型插刀基本齒廓與被加工齒輪已經(jīng)加工好的漸開(kāi)線齒廓的交點(diǎn)[3]154）的位置在不斷變化，根切半徑（根切點(diǎn)到齒輪回轉(zhuǎn)中心的距離）從根切開(kāi)始時(shí)的最小值，逐漸增大到最大根切半徑 r_gmax 。過(guò)了最大根切半徑 r_gmax 這一位置以后，標(biāo)準(zhǔn)齒條型插刀基本齒廓與被加工齒輪漸開(kāi)線齒廓就會(huì)分離。所以，對(duì)于根切齒輪而言，如圖1所示，最大根切半徑 r_gmax 不等于 B₂ 點(diǎn)的半徑 ，而是等于 O₁B₂^′（B₂^′ 為被加工齒輪齒廓漸開(kāi)線起始點(diǎn)，由齒輪加工而定）。以模數(shù) m=20mm 、齒數(shù) z=10 、變位系數(shù) x=-0.5 的正常直齒圓柱齒輪為例， ，而 □

漸開(kāi)線齒輪變位系數(shù)選擇的封閉線圖中一般有13條限制曲線，所有限制曲線都是按對(duì)應(yīng)的限制條件繪制而成的[3]156。而修正前限制條件中計(jì)算最大根切半徑時(shí)，是按圖1所示的 O₁B₂ 確定的。因?yàn)樽畲蟾邪霃?r_gmax 不等于 ，變位系數(shù)選擇的封閉線圖出現(xiàn)誤差，影響到變位系數(shù)選擇的范圍及準(zhǔn)確性。如圖2所示，可供正確選擇變位系數(shù)的陰影部分在修正前的封閉線圖中被丟掉了。具體來(lái)說(shuō)，變位系數(shù)的選擇范圍受限可能意味著工程師在優(yōu)化齒輪傳動(dòng)性能時(shí)面臨更多的限制。例如，在某些情況下，可能需要通過(guò)調(diào)整變位系數(shù)來(lái)改善齒輪的嚙合特性，實(shí)現(xiàn)等強(qiáng)度、等磨損，減小齒輪的應(yīng)力集中等。但如果選擇范圍受限，這些優(yōu)化措施可能無(wú)法實(shí)現(xiàn)。另外，變位系數(shù)選擇和分配的準(zhǔn)確性對(duì)齒輪傳動(dòng)的穩(wěn)定性、可靠性和壽命都有重要影響。如果變位系數(shù)的選擇和分配不準(zhǔn)確，齒輪在傳動(dòng)過(guò)程中可能出現(xiàn)振動(dòng)、噪聲、過(guò)度磨損等問(wèn)題，從而影響整個(gè)傳動(dòng)系統(tǒng)的性能。

曲線 ① ——修正后根切至齒輪1漸開(kāi)線齒廓工作段起始點(diǎn)的限制曲線和齒輪1齒根處不發(fā)生過(guò)渡曲線干涉的限制曲線；曲線 ② 修正前根切至齒輪1漸開(kāi)線齒廓工作段起始點(diǎn)的限制曲線；曲線 ③ 一修正后根切至齒輪2漸開(kāi)線齒廓工作段起始點(diǎn)的限制曲線和齒輪2齒根處不發(fā)生過(guò)渡曲線干涉的限制曲線；曲線 ④ —修正前根切至齒輪2漸開(kāi)線齒廓工作段起始點(diǎn)的限制曲線。

1修正前的限制條件、限制曲線、封閉線圖

圖3為修正前齒數(shù) z₁=25 ！ z₂=38 的變位系數(shù)選擇的封閉線圖。從圖3可以看出，齒輪傳動(dòng)變位系數(shù)選擇的封閉線圖（封閉線圖形狀與配對(duì)齒數(shù) z₁ ： z₂ 有關(guān)，不同的配對(duì)齒數(shù)，封閉線圖的形狀截然不同）一般是由根切至齒輪1齒廓工作段起始點(diǎn)的限制曲線（齒輪1齒根處不發(fā)生過(guò)渡曲線干涉的限制曲線） |AB| 段、齒輪2齒根處不發(fā)生過(guò)渡曲線干涉的限制曲線 BC 和 IA 段、重合度等于1的限制曲線 CD 段、齒輪1齒根處不發(fā)生過(guò)渡曲線干涉的限制曲線 DF 和HI段、根切至齒輪2齒廓工作段起始點(diǎn)的限制曲線（齒輪2齒根處不發(fā)生過(guò)渡曲線干涉的限制曲線） FG 段、齒輪1齒頂厚度等于0的限制曲線 GH 段等8段曲線圍成。設(shè)計(jì)齒數(shù) z₁= 25、 z₂=38 的變位齒輪傳動(dòng)時(shí)，兩齒輪的變位系數(shù)可以在這8段曲線圍成的封閉線圖的范圍內(nèi)選取。

在這8段曲線上分別選取I＼～VⅢ的8個(gè)點(diǎn)，并確定各點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo) ，將坐標(biāo)代人每一條限制曲線給定的限制條件計(jì)算式，計(jì)算結(jié)果如下所述。

1.1 AB 段曲線上I點(diǎn)的計(jì)算值

AB 段曲線既是根切至齒輪1齒廓工作段起始點(diǎn)的限制曲線，也是齒輪1齒根處不發(fā)生過(guò)渡曲線干涉的限制曲線。 AB 段曲線上I點(diǎn)的坐標(biāo)為（-0.54522，0.20042）。

1.1.1計(jì)算根切至齒輪1齒廓工作段起始點(diǎn)的 B₁ 、C₁ 值

根切至齒輪1齒廓工作段起始點(diǎn)的限制條件計(jì)算式為

式中， z₁ 為齒輪1的齒數(shù)； z₂ 為齒輪2的齒數(shù)； α 為分度圓壓力角，標(biāo)準(zhǔn)齒輪 α=20^° ； α^′ 為嚙合角， （^°） ：α_a2 為齒輪2齒頂圓壓力角， （^°） ； h_a^? 為齒頂高系數(shù)，正常齒的 h_a^*=1 ； x₁ 為齒輪1的變位系數(shù)。

用VB.NET語(yǔ)言編寫(xiě)“根切至齒輪1齒廓工作段起始點(diǎn)的 B₁ 、 C₁ 值”子程序塊（其他限制條件計(jì)算式類(lèi)同），如圖4所示。

將I點(diǎn)的坐標(biāo)（-0.54522，0.20042）代入式（1）、式（2）或者輸入子程序塊（編制程序時(shí)，設(shè)定的精確度為0.001）窗口進(jìn)行計(jì)算，得出 B₁=11.748 69 、C₁=11.74866 。 B₁≈C₁ ，說(shuō)明I點(diǎn)是根切至齒輪1齒廓工作段起始點(diǎn)的極限點(diǎn)之一。

1.1.2計(jì)算齒輪1齒根處不發(fā)生過(guò)渡曲線干涉的 E₁ 、 F₁ 值

齒輪1齒根處不發(fā)生過(guò)渡曲線干涉的限制條件計(jì)算式為

將I點(diǎn)的坐標(biāo)（-0.54522，0.20042）代入式（3）、式（4）進(jìn)行計(jì)算，得出 E_?1=0.020 77 、 F₁= -0.02066 。可見(jiàn) E₁≠F₁ ，說(shuō)明I點(diǎn)不是齒輪1齒根處不發(fā)生過(guò)渡曲線干涉的極限點(diǎn)。

相嚙合兩齒廓的接觸點(diǎn)與齒廓工作段的起始點(diǎn)重合時(shí)，為干涉的極限情況[4213，也就是說(shuō)，曲線 AB 既是根切至齒輪1齒廓工作段起始點(diǎn)的限制曲線，也是齒輪1齒根處不發(fā)生過(guò)渡曲線干涉的限制曲線。所以，I點(diǎn)的坐標(biāo)除了應(yīng)滿足 B₁≈C₁ 外，也應(yīng)滿足 E₁≈ F₁ 。實(shí)際計(jì)算結(jié)果顯示 E₁≠F₁ ，這是修正前封閉線圖出現(xiàn)的錯(cuò)誤之一。

1.2計(jì)算 BC 和 IA 段曲線上Ⅱ、V點(diǎn)的 E₂ 、 F₂ 值

BC 和 IA 段曲線是齒輪2齒根處不發(fā)生過(guò)渡曲線干涉的限制曲線， BC 段曲線上Ⅱ點(diǎn)的坐標(biāo)為（-0.20222，1.33342）， IA 段曲線上Ⅲ點(diǎn)的坐標(biāo)為（-0.39022，-0.21158）。

齒輪2齒根處不發(fā)生過(guò)渡曲線干涉的限制條件計(jì)算式為

式中， α_al 為齒輪1齒頂圓壓力角， （^°） ； x₂ 為齒輪2的變位系數(shù)。

1.2.1計(jì)算Ⅱ點(diǎn)的 E₂ 、 F₂ 值

將Ⅱ點(diǎn)的坐標(biāo)（-0.20222，1.33342）代入式（5）、式（6）進(jìn)行計(jì)算，得出 E_?2=0.41857 、 F₂= 0.41857 。可見(jiàn) E₂≈F₂ ，說(shuō)明 I 點(diǎn)是齒輪2齒根處不發(fā)生過(guò)渡曲線干涉的極限點(diǎn)之一。

1.2.2 計(jì)算V點(diǎn)的 E₂ ， F₂ 值

將VⅢ點(diǎn)的坐標(biāo)（-0.39022，-0.21158）代入式（5）、式（6）進(jìn)行計(jì)算，得出 E₂=0. 165?58 、 F₂= 0.16556 。可見(jiàn) E₂≈F₂ ，說(shuō)明V點(diǎn)是齒輪2齒根處不發(fā)生過(guò)渡曲線干涉的極限點(diǎn)之一。

1.3 CD 段曲線上Ⅲ點(diǎn)的計(jì)算值

CD 段曲線是重合度等于1的限制曲線，Ⅲ點(diǎn)的坐標(biāo)為（1.21278，1.47242）。

重合度等于1時(shí)的限制條件計(jì)算式為 （7）

將Ⅲ點(diǎn)的坐標(biāo)（1.21278，1.47242）代入式（7）進(jìn)行計(jì)算，得出 ε_a=1.000 00 。這說(shuō)明Ⅲ點(diǎn)是重合度等于1時(shí)的極限點(diǎn)之一。

1.4計(jì)算 DF 和 HI 段曲線上 IV 、VII點(diǎn)的 E₁ 1 F₁ 值

DF和 HI 段曲線是齒輪1齒根處不發(fā)生過(guò)渡曲線干涉的限制曲線， DF 段曲線上 IV 點(diǎn)的坐標(biāo)為（1.17778，-0.20158）， HI 段曲線上VII點(diǎn)的坐標(biāo)為（0.22978，-0.60958）。

1.4.1計(jì)算V點(diǎn)的 E₁ 、 F₁ 值

將V點(diǎn)的坐標(biāo)（1.17778，-0.20158）代入式（3）式（4）進(jìn)行計(jì)算，得出 E₁=0.408 23 、 F₁=0.408 22 □可見(jiàn) E₁≈F₁ ，說(shuō)明 IV 點(diǎn)是齒輪1齒根處不發(fā)生過(guò)渡曲線干涉的極限點(diǎn)之一。

1.4.2計(jì)算VI點(diǎn)的 E₁ 、 F₁ 值

將VI點(diǎn)的坐標(biāo)（0.22978，-0.60958）代入式（3）、式（4）進(jìn)行計(jì)算，得出 E₁=0. 172 25 、 F₁= 0.17225。可見(jiàn) E₁≈F₁ ，說(shuō)明VII點(diǎn)是齒輪1齒根處不發(fā)生過(guò)渡曲線干涉的極限點(diǎn)之一。

1.5FG段曲線上V點(diǎn)的計(jì)算值

FG段曲線既是根切至齒輪2齒廓工作段起始點(diǎn)的限制曲線，也是齒輪2齒根處不發(fā)生過(guò)渡曲線干涉的限制曲線。 FG 段曲線上V點(diǎn)的坐標(biāo)為（1.19178，-1.526 58）。

1.5.1計(jì)算根切至齒輪2齒廓工作段起始點(diǎn)的 B₂ ）C₂ 值

根切至齒輪2齒廓工作段起始點(diǎn)的限制條件計(jì)算式為

將 ΔV 點(diǎn)的坐標(biāo)（1.19178，-1.52658）代入式（8）、式（9）進(jìn)行計(jì)算，得出 B₂=17.876 32 、 C₂=17.876 27 。B₂≈C₂ ，說(shuō)明 ΔV 點(diǎn)是根切至齒輪2齒廓工作段起始點(diǎn)的極限點(diǎn)之一。

1.5.2計(jì)算齒輪2齒根處不發(fā)生過(guò)渡曲線干涉的 E₂ 、 F₂ 值

將 ΔV 點(diǎn)的坐標(biāo)（1.19178，-1.52658）代入式（5）、式（6）進(jìn)行計(jì)算，得出 E_?2=0.04984 、 F₂= -0.04978 。 E₂≠F₂ ，說(shuō)明V點(diǎn)不是齒輪2齒根處不發(fā)生過(guò)渡曲線干涉的極限點(diǎn)。如前所述，這也是修正前封閉線圖出現(xiàn)的錯(cuò)誤之一。

1.6GH段曲線上VI點(diǎn)的計(jì)算值

GH段曲線是齒輪1齒頂厚度等于0的限制曲線，GH段曲線上VI點(diǎn)的坐標(biāo)為（1.45078，-1.38958）。

齒輪1齒頂厚度等于0的限制條件計(jì)算式為

式中， s₁ 為齒輪1的分度圓齒厚， mm . r_al 為齒輪1的齒頂圓半徑， mm 。

將V點(diǎn)的坐標(biāo)（1.45078，-1.38958）代入式（10）進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果 s_al=0. 000 96 。這說(shuō)明V點(diǎn)是齒輪1齒頂厚度等于0的極限點(diǎn)之一。

1.7 驗(yàn)算結(jié)論

在張展主編的《漸開(kāi)線變位齒輪傳動(dòng)》中的235幅封閉線圖中隨機(jī)抽取25幅，對(duì)限制曲線上的極限值進(jìn)行驗(yàn)算，發(fā)現(xiàn) AB 段曲線上I點(diǎn)處的 E₁≠F₁ ， FG 段曲線上V點(diǎn)處的 E₂≠F₂ 。而理論上應(yīng)該是相等的，這說(shuō)明限制條件計(jì)算式有誤，需要對(duì)封閉線圖中根切至齒輪1、2齒廓工作段起始點(diǎn)限制條件和齒輪1、2齒根處不發(fā)生過(guò)渡曲線干涉的限制條件進(jìn)行修正。

2修正前限制條件及計(jì)算式出錯(cuò)原因分析

2.1修正前根切至齒輪齒廓工作段起始點(diǎn)的限制條件計(jì)算式推導(dǎo)和極限限制條件

如圖5所示，以相嚙合的一對(duì)漸開(kāi)線直齒圓柱齒輪傳動(dòng)中的齒輪1為例分析。齒輪嚙合過(guò)程中，每一對(duì)齒進(jìn)入嚙合瞬時(shí)，是由主動(dòng)齒輪（齒輪1）的齒根部分撥動(dòng)從動(dòng)齒輪（齒輪2）的齒頂。進(jìn)入嚙合瞬時(shí)的第1個(gè)接觸點(diǎn)應(yīng)為從動(dòng)齒輪齒頂圓與嚙合線的交點(diǎn)（ ?_B2 點(diǎn)）。每一對(duì)齒退出嚙合瞬時(shí)，是由主動(dòng)齒輪（齒輪1）的齒頂撥動(dòng)從動(dòng)齒輪（齒輪2）的齒根部分。退出嚙合瞬時(shí)的最后1個(gè)接觸點(diǎn)應(yīng)為主動(dòng)齒輪齒頂圓與嚙合線的交點(diǎn) （B₁） 點(diǎn)）。所以，進(jìn)入嚙合瞬時(shí)的第1個(gè)接觸點(diǎn)，即主動(dòng)齒輪1齒廓工作段起始點(diǎn)（由齒輪嚙合傳動(dòng)而定），為 B₂ 點(diǎn)，該點(diǎn)在齒輪1漸開(kāi)線齒廓上的位置可以用該點(diǎn)的半徑 O₁B₂ 表示。

在 ΔO₂N₂B₂ 和 ΔO₂N₂C 中，

0.5mz₂cosα（tanα_a2-tanα^′）

主動(dòng)齒輪1的節(jié)圓半徑為

整理得出

圖6所示為用標(biāo)準(zhǔn)齒條型插刀加工的漸開(kāi)線齒輪（已產(chǎn)生根切），修正前是以 O₁B₂^′ 為最大根切半徑（標(biāo)準(zhǔn)齒條型插刀基本齒廓與被加工齒輪的漸開(kāi)線齒廓到達(dá)Ⅲ位置時(shí)，兩齒廓分離）。在ΔO₁KB₂^′ 中，

令圖5中的 ，圖6中的 ，則得到根切至齒輪1齒廓工作段起始點(diǎn)的計(jì)算式為

根切點(diǎn)與齒廓工作段的起始點(diǎn)重合時(shí)，為合理根切的極限情況[4]213。根切至齒輪1齒廓工作段起始點(diǎn)的極限限制條件是 B₁=C₁ 。用相同的方法也可以推導(dǎo)出相嚙合一對(duì)齒輪中的齒輪2的限制條件計(jì)算式及極限限制條件。

2.2修正前不產(chǎn)生齒根過(guò)渡曲線干涉的限制條件計(jì)算式推導(dǎo)和極限限制條件

當(dāng)一齒輪的齒頂與另一齒輪根部的過(guò)渡曲線接觸時(shí)，不能保證傳動(dòng)比為常數(shù)，此種情況稱為過(guò)渡曲線干涉[2]8-14

如圖5所示，以相嚙合的一對(duì)漸開(kāi)線直齒圓柱齒輪傳動(dòng)中的齒輪1為例分析。 B₂ 為齒輪1齒廓工作段起始點(diǎn)（由齒輪嚙合傳動(dòng)而定）， 為齒廓工作段起始點(diǎn) B₂ 至嚙合線與齒輪1基圓的切點(diǎn) N_?1 的距離。圖7所示為用標(biāo)準(zhǔn)齒條型插刀加工的漸開(kāi)線齒輪。 B₂^′ 點(diǎn)為齒廓漸開(kāi)線的起始點(diǎn)（由齒輪加工而定）， 為齒廓漸開(kāi)線起始點(diǎn) B₂^′ 至嚙合線與齒輪1基圓的切點(diǎn) N₁^′ 的距離。為了避免齒根過(guò)渡曲線干涉發(fā)生，要求 點(diǎn)在實(shí)際嚙合線 B₁B₂ 以外，不會(huì)發(fā)生過(guò)渡曲線干涉； B₂ 點(diǎn)與 B₂^′ 點(diǎn)重合時(shí)，即為過(guò)渡曲線干涉的極限情況），即可保證在齒輪1齒廓（包括齒根過(guò)渡曲線部分和漸開(kāi)線部分5）工作段起始點(diǎn) B₂ 處的半徑大于齒廓漸開(kāi)線的起始點(diǎn) B₂^′ 處的半徑，也就是 ，如圖8所示。

在圖5中有

在圖7中有

相嚙合兩齒輪齒廓的接觸點(diǎn)與齒廓工作段的起始點(diǎn)重合時(shí)，為干涉的極限情況[4213。令 ， ，齒輪1未根切時(shí)不產(chǎn)生齒根過(guò)渡曲線干涉的極限限制條件是 E₁=F₁ 。因?yàn)?E₁ 、 F₁ 中都含有r_bl ，所以，只比較括號(hào)內(nèi)的值即可。用相同的方法也可以推導(dǎo)出相嚙合一對(duì)齒輪中齒輪2的限制條件計(jì)算式和極限限制條件。

但是，當(dāng) x₁1min （根切）時(shí)， B₂ 點(diǎn)在 N₁^′ 點(diǎn)之外，已經(jīng)不能用 E_?1=F_?1 來(lái)保證不產(chǎn)生齒根過(guò)渡曲線干涉了。

2.3最大根切半徑的提出及驗(yàn)證

張偉等[3]156提出了最大根切半徑的概念。過(guò)了產(chǎn)生最大根切半徑這一位置以后，標(biāo)準(zhǔn)齒條型插刀基本齒廓與被加工齒輪漸開(kāi)線齒廓就會(huì)分離，齒廓漸開(kāi)線起始點(diǎn)位置實(shí)際上取決于刀具的齒頂線與嚙合線的交點(diǎn) B₂ 的位置，這一描述是錯(cuò)誤的。

委托國(guó)家齒輪產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)檢測(cè)中心按照給定齒輪參數(shù)加工出齒輪樣品并進(jìn)行檢測(cè)，相對(duì)誤差值在 -0.01%～-0.44% ，如表1所示。從而驗(yàn)證了計(jì)算機(jī)模擬計(jì)算出的最大根切半徑 r_gmax 是正確的。

2.4 出錯(cuò)原因分析

不產(chǎn)生齒根過(guò)渡曲線干涉的限制條件計(jì)算式和極限限制條件，當(dāng) x₁‰ （不根切）時(shí)是正確的。但是，根切至齒輪齒廓工作段起始點(diǎn)的限制條件計(jì)算式和極限限制條件以及 x₁1min （根切）時(shí)，不產(chǎn)生齒根過(guò)渡曲線干涉的限制條件計(jì)算式和極限限制條件是錯(cuò)誤的。綜前所述，不根切時(shí)齒廓漸開(kāi)線起始點(diǎn)是標(biāo)準(zhǔn)齒條型插刀的齒頂線（去掉齒頂圓弧部分）與嚙合線的交點(diǎn) B₂（B₂ 點(diǎn)在最大理論嚙合線長(zhǎng)度 N₁N₂ 范圍內(nèi)）。但是，產(chǎn)生根切時(shí)，齒廓漸開(kāi)線起始點(diǎn)應(yīng)該是最大根切半徑 r_gmax 與嚙合線的交點(diǎn) B₂^′（ 。由此可見(jiàn)，出錯(cuò)的原因是齒輪發(fā)生根切時(shí)，確定齒廓工作段起始點(diǎn)的位置不正確。

3對(duì)限制條件計(jì)算式進(jìn)行修正

3.1對(duì)根切至齒輪1齒廓工作段起始點(diǎn)的限制條件計(jì)算式進(jìn)行修正

關(guān)于“根切至齒輪齒廓工作段起始點(diǎn)”這一問(wèn)題，首先研究的是根切后的齒輪，所以齒廓工作段起始點(diǎn)就應(yīng)該是最大根切半徑 r_gmax1 與齒輪漸開(kāi)線齒廓的交點(diǎn) B₂^′ ，如圖9所示。

由圖1可知，C，=O，B=rgmax10

根切至齒輪1齒廓工作段起始點(diǎn)的限制條件計(jì)算式為

同理，根切至齒輪2齒廓工作段起始點(diǎn)的限制條件計(jì)算式為

修正前、后根切至齒輪齒廓工作段起始點(diǎn)的限制曲線對(duì)比，如圖2和圖10所示。可見(jiàn)，修正后變位系數(shù)的選擇范圍比修正前變大了。

3.2對(duì) x₁1min （根切）時(shí)不產(chǎn)生齒根過(guò)渡曲線干涉的限制條件計(jì)算式進(jìn)行修正

如圖9所示，最大根切半徑 r_gmax1 與嚙合線的交點(diǎn)為 B₂^′ 點(diǎn)。從圖9可以看出， B₂^′ 點(diǎn)為齒廓漸開(kāi)線起始點(diǎn)，按圖1中的直角三角形 ΔO₁N₁^′B₂^′ ，則可以推導(dǎo)出

令 ，所以，根切時(shí)不產(chǎn)生齒根過(guò)渡曲線干涉的極限限制條件是 E₁=F₁^′

曲線 ① ——修正后根切至齒輪1漸開(kāi)線齒廓工作段起始點(diǎn)的限制曲線和齒輪1齒根處不發(fā)生過(guò)渡曲線干涉的限制曲線；曲線 ② —修正前根切至齒輪1漸開(kāi)線齒廓工作段起始點(diǎn)的限制曲線；曲線 ③ 修正后根切至齒輪2漸開(kāi)線齒廓工作段起始點(diǎn)的限制曲線和齒輪2齒根處不發(fā)生過(guò)渡曲線干涉的限制曲線；曲線 ④ —修正前根切至齒輪2漸開(kāi)線齒廓工作段起始點(diǎn)的限制曲線。

由此得到，齒輪1不產(chǎn)生齒根過(guò)渡曲線干涉的限制條件計(jì)算式為

當(dāng) x₁gtrsimx_lmin （不根切）時(shí)

當(dāng) x₁lmin （根切）時(shí)

同理，齒輪2不產(chǎn)生齒根過(guò)渡曲線干涉的限制條件計(jì)算式為

當(dāng) x₂≥x_2min （不根切）時(shí)

當(dāng) x₂2min （根切）時(shí)

3.3檢驗(yàn)修正后封閉線圖上根切至齒廓工作段起始點(diǎn)的限制曲線和不產(chǎn)生齒根過(guò)渡曲線干涉的限制曲線上的計(jì)算值

圖11所示為修正后的變位系數(shù)選擇的封閉線圖。表2所示為限制曲線上的計(jì)算值。

從表2可以看出，在 AB 段曲線和 FG 段曲線上，B₁=C₁ ， E₁=F₁^′ 和 B₂=C₂ 、 E₂=F₂₀^′ 可以得出，在 AB 段，根切至齒輪1齒廓工作段起始點(diǎn)的限制曲線和齒輪1齒根處不發(fā)生過(guò)渡曲線干涉的限制曲線是重合的；同理，在FG段，根切至齒輪2齒廓工作段起始點(diǎn)的限制曲線和齒輪2齒根處不發(fā)生過(guò)渡曲線干涉的限制曲線是重合的。這也就論證了“相嚙合兩齒廓的接觸點(diǎn)與齒廓工作段的起始點(diǎn)重合時(shí)，為干涉的極限情況”[4]213的觀點(diǎn)是正確的，也證明了修正前封閉線圖上根切至齒廓工作段起始點(diǎn)的限制曲線和不發(fā)生齒根過(guò)渡曲線干涉的限制曲線是錯(cuò)誤的，同時(shí)也說(shuō)明了對(duì)封閉線圖限制條件進(jìn)行修正的必要性。

注：曲線1——根切至齒輪1齒廓工作段起始點(diǎn)的限制曲線；曲線2——齒輪1齒根處不發(fā)生過(guò)渡曲線干涉的限制曲線；曲線3—根切至齒輪2齒廓工作段起始點(diǎn)的限制曲線；曲線4——齒輪2齒根處不發(fā)生過(guò)渡曲線干涉的限制曲線。

4結(jié)論

經(jīng)過(guò)計(jì)算機(jī)編程、計(jì)算以及模擬分析，深入探討了齒輪變位系數(shù)選擇過(guò)程中封閉線圖上根切至齒廓工作段起始點(diǎn)的限制曲線和不發(fā)生齒根過(guò)渡曲線干涉的限制曲線所存在的錯(cuò)誤。為驗(yàn)證這一發(fā)現(xiàn)，進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證。結(jié)果顯示，錯(cuò)誤的根源在于齒輪加工過(guò)程中齒廓漸開(kāi)線起始點(diǎn)位置的確定存在偏差。當(dāng) x≥x_min （不發(fā)生根切）時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)齒條型插刀齒頂線（去掉齒頂圓弧部分）與嚙合線會(huì)在 B₂ 點(diǎn)相交，此時(shí)的齒廓漸開(kāi)線起始點(diǎn)應(yīng)確定為以齒輪回轉(zhuǎn)中心為圓心、以回轉(zhuǎn)中心到 B₂ 點(diǎn)的距離為半徑所繪制的圓與齒輪齒廓漸開(kāi)線的交點(diǎn)。相反，當(dāng) xmin （發(fā)生根切）時(shí)，齒廓漸開(kāi)線的起始點(diǎn)則應(yīng)為最大根切半徑與齒輪漸開(kāi)線齒廓的交點(diǎn)。基于這一發(fā)現(xiàn)，推導(dǎo)出了準(zhǔn)確的限制條件計(jì)算式，確保了齒輪傳動(dòng)變位系數(shù)選擇的封閉線圖能夠精確繪制。這一研究為變位齒輪設(shè)計(jì)時(shí)能夠采用封閉線圖正確選擇變位系數(shù)、優(yōu)化齒輪傳動(dòng)性能、改善嚙合特性、近似實(shí)現(xiàn)等強(qiáng)度等提供了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)和技術(shù)支撐。

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Research on the correction of enclosed line diagram limiting conditions for theselection of geartransmission modification coefficients

ZHANG Wei'HOU Xiaochen2 HOU Keqing3 （1.Information Engineering Department，Changzhi VocationalandTechnical Collge，Changzhi O460l1，China） （2.Huaxin Gas Group Shanxi Natural Gas Co.，Ltd.， Taiyuan O30o32， China） 3.Mechanicalamp;ElectricalEngineeringDepartment，Changzhi VocationalandTechnicalCollge，ChangzhiO46oChina）

Abstract：[Objective]Todeterminethemodificationcoeffcient usingawell-definedandcomprehensiveenclosed line diagrammethd，theaimistooptiizethetransmissionperformaneofmodifiedgears，mprovemeshingcharacteristicseduce structuraldimensions，andapproximatelyfulfilldesignrequirementssuchasequalstrength.[Methods]Averificationwas conductedonthelimitvaluesof235enclosedlinediagramsonthelimitingcurveinInvoluteModifiedGearTransmissionedited byZhangZhan.Duringthisprocess，itwasdiscoveredthattheoriginalenclosedlinediagramhaderors indeterminingthe starting point positionof theinvolute profileworking sectionwhen setting certain limitingconditions.Inresponseto this technicalchalenge，the problem of determining the starting point positionof the involuteprofileworking section was succesfullysolved，andtheorrespondingcalculationformulaforthelimitingconditionswasderived.Onthisbasis，the “EnclosedDiagram Software for Gear Modification Coefficient Selection V2.0”was developed using VB.NETlanguage. [Results]The vector enlosed line diagramwas accurately drawn onthe AutoCADplatform，and necessarycorections were made to the original erroneous enclosed line diagram.

Keywords：Enclosed line diagram;Starting pointof tooth profileworkingsegment;Maximumundercutradius;Limiting condition