應用迭代WLS-TCS算法的空間超冗余機械臂動力學參數辨識研究

中圖分類號：TP241 DOI：10.16578/j.issn.1004.2539.2025.06.001

0 引言

隨著人類太空探索的逐步深入，空間機械臂已在空間各領域得到了廣泛應用，尤其為空間站維護、月球與深空探測、在軌作業等航天任務提供了重要的支撐[。為了滿足高剛度、高精度運動控制任務要求，需要建立空間機械臂準確的動力學參數模型。同時，空間超冗余機械臂的臂桿長、關節數目多而結構基頻比較低，是典型的剛柔耦合非線性系統，動力學耦合問題十分突出，需要獲取準確的動力學參數來提高整體的控制品質。考慮重力的影響，其地面運動基頻一般較低，動力學參數辨識通常需要在軌進行。在軌辨識需要消耗大量的試驗成本和時間，同時，空間機械臂的在軌動力學參數辨識多研究抓捕目標后的系統動力學參數辨識，該過程需要對機械臂本體的動力學參數有一定的先驗知識[2]。對此，在空間機械臂的動力學參數辨識中，需要先進行地面參數辨識研究，從而為在軌辨識提供數據支撐。辨識得到的動力學參數有助于機械臂地面控制策略的研究，為后續在軌部署提供重要的參考[3]。

目前，針對機械臂動力學地面參數辨識的方法有解體測量法、CAD測量法和試驗辨識法4。由于前兩種方法較為煩瑣，操作困難，且存在裝配誤差等問題，實際應用中常采用試驗辨識法。試驗辨識法的原理是控制機械臂沿特定激勵軌跡運動，然后采集其位置和力矩信號，通過最小二乘法獲得期望的模型參數。在設計中，良好的優化軌跡不僅要能充分發揮機械臂的動力學特性，而且要能有效降低測量過程中可能受到的噪聲干擾。SWEVERS等提出將傅里葉級數作為激勵軌跡。該方法一經提出便受到學者的廣泛關注，并被普遍應用于參數辨識中。張飛提出在大型空間機械臂上采用改進的遞推最小二乘法，并考慮基于誤差的遺忘因子模型進行在線參數辨識，各個參數能夠收斂到相對穩定值。CHU等采用混合免疫算法遞歸最小二乘和仿射投影符號算法，對改進的識別方程進行解碼，以確保穩定的識別性能。ZHANG等8提出一種魯棒自適應的空間機械臂軌跡跟蹤方法，在濾波器中引入輔助變量，提高了空間機械臂軌跡跟蹤精度。NAVEEN等為了估計最小參數，提出一種基于關節速度方向組合的新型關節軌跡規劃和優化技術，并在12自由度機械臂上得到了有效性證明。陳鋼等[0]為提高表取機械臂末端絕對定位精度，提出一種考慮彈性變形的表取機械臂精度補償方法。田富洋等以在軌自由漂浮空間機械臂為研究對象，建立了基于空間算子代數的空間機械臂運動學模型。ZHANG等[12]應用一種混合鯨魚優化算法和遺傳算法（WhaleOpti-mizationAlgorithm-Genetic Algorithm，WOA-GA），對6個機械臂關節的動力學參數進行了辨識。介黨陽等[13]采用粒子群優化（Particle Swarm Optimization，PSO）算法進行目標函數優化，有效降低了空間大型機械臂系統在搬運重型負載過程中對載體姿態的影響。金晨迪等[14提出一種基于卷積神經網絡的智能參數辨識算法，實現了在外力作用下、線動量和角動量不守恒條件下的航天器組合體多參數辨識。石建平等5利用提出的改進粒子群優化算法對冗余機械臂末端執行器的位姿誤差進行優化，提高了控制精度。XU等提出一種應用PSO算法來確定最優參數的方法，提高了動力學參數辨識精度。韓勇提出一種迭代優化的方法來優化激勵軌跡，通過軌跡之間的互補，組合激勵軌跡來激發機械臂的動力學特性。

綜上，目前機械臂的動力學參數地面試驗辨識理論較為成熟。但是，空間超冗余機械臂運動基頻較低，常無法滿足持續最優激勵條件。此外，由于動力學模型待辨識的參數多且受采樣數據中異常值及末端運動抖振的影響，難以獲得魯棒、準確的辨識結果。因此，如何設計激勵軌跡來激勵動力學模型中的各個參數并提升辨識精度依舊是重要問題。為了克服這些問題。本文應用一種基于終端交叉和轉向的粒子群優化（Terminal Crossoverand Steering-basedParticle Swarm Optimization，TCS-PSO）算法設計了滿足多約束條件的周期傅里葉級數的系數（優化算法中用來尋優的粒子），將回歸矩陣結合拉格朗日函數作為適應度函數（優化目標），設計相應的對應關系，以此獲取最優的激勵軌跡，降低回歸矩陣條件數，并減少噪聲，以充分激勵動力學參數；將獲取的參數集代入參數辨識過程中，應用迭代加權最小二乘（IterativeWeightedLeastSquares，IWLS）法逐步剔除數據中的異常值，使得辨識結果更加魯棒、準確；將獲取的參數模型代入零力控制系統中，實際效果符合預期。

1動力學模型

動力學分析之前，先建立機械臂的連桿坐標系。對于串聯機械臂，本文采用改進的DH方法（表1）來建立固定坐標系（圖1）。

然后，通過遞歸牛頓-歐拉法建立其動力學模型。該動力學模型可以表示為

式中， τ_d 為對應機械臂 n 個關節的力矩， τ_d∈R^n×1 分別為關節位置、速度、加速度， 、 ; 為機械臂的質量矩陣， ； 為離心力和科氏力項， ； G（q） 為重力矢量， G（q）∈R^n×1 。不考慮關節摩擦的條件下，在連桿坐標系原點處定義連桿的轉動慣量，并通過遞歸牛頓-歐拉法建立機械臂線性化動力學方程，即

式中， H 為回歸矩陣； b 為動力學全參數集。描述機械臂每個關節的特征都有10個動力學參數，即 其中， n=1 ，2， … ，9； I_nxx 、 I_nxy ， I_nxz 、 I_nyy 、 I_nyz ， I_nzz 均為慣性參數； mx_n my_n mz_n 均為質量積； m_n 為關節質量。隨后，通過QR分解獲取最大線性無關組H_r 及最小慣性參數集 b_r 。

在機械臂的實際運行中，除了機械臂本體動力學參數，還需考慮關節運動產生的摩擦力矩。關節摩擦力矩較為復雜，尚未有精確統一的解析模型。本文采用庫侖黏滯摩擦和正反向摩擦力不對稱性偏置模型。第 n 個關節的摩擦力矩計算式為

式中， τ_fn 為摩擦力矩； f_cn 為庫侖摩擦因數； 為關節角速度； f_vn 為黏滯摩擦因數； B_n 為正反摩擦力不對稱性偏置。

結合式（2）和式（3），機械臂的動力學可辨識模型為

2設計機械臂激勵軌跡

在設計中，良好的優化軌跡不僅能降低回歸矩陣條件數，充分發揮機械臂的動力學特性；而且能有效降低測量過程中可能受到的噪聲。本文采用TCS-PSO算法優化具有周期性的傅里葉級數的系數a_l?ⁱ b_lⁱ 及 q_i0 ，進而設計機械臂關節激勵軌跡，有

式中， a_l?ⁱ 均為優化系數； q_i（t） 為機械臂關節在時間序列下的位置變化函數，其1階以及2階導數 分別為機械臂關節在時間序列下的速度與加速度函數； N_i 為傅里葉級數階數，選取5階傅里葉級數設計激勵軌跡，以使機械臂運動過程中的位置、速度、加速度均連續且平滑； ω_f 為運動基頻，ω_f=2π/T ； T 為傅里葉級數周期。優化激勵軌跡一般是求解上式中的傅里葉系數 a_l?ⁱ b_lⁱ 及 q_i0 。為避免激發機械臂的結構模態，取運動基頻為 0.05Hz ，采樣周期 T=25s ，每個周期采集5000次數據。

優化激勵軌跡的關鍵步驟是盡量減小觀測矩陣H_r^* 的條件數。觀測矩陣的條件數能夠體現激勵軌跡的抗噪能力。條件數越少，激勵軌跡的抗噪能力越強，激勵效果越明顯。激勵軌跡的優化問題可以表示為非線性約束下求解 cond（H_r^*） 的最小值問題，即

式中， 為機械臂在激勵軌跡下的末端位置集合，這些位置可以通過正運動學計算得出； s 為機械臂最大的工作空間； q_imin 和 q_imax 分別為機械臂的關節角度下限和上限； 和 分別為關節角速度的下限和上限； 和 分別為關節角加速度的下限和上限。這些限制條件確保了機械臂在運動過程中的安全性和可行性。

設定關節角度、速度以及加速度初始和結束狀態，避免機械臂在初始和結束運動過程中產生過大的瞬時加速度。將這些約束作為適應度函數的限制因素，并引入拉格朗日懲罰函數，則有

f=cond（H_r^*）+ρ

式中， ρ 為懲罰系數。在隨后的激勵軌跡優化中，可根據適應度函數的數值來淘汰尋優結果差的粒子群。

3 TCS-PSO優化算法

3.1粒子群算法的基本原理

粒子群算法是受鳥群行為的影響而設計的一種優化算法。這些粒子可以在搜索空間內獨立搜索最優解，但這些粒子并沒有質量，只有速度和位置兩種特征。速度確定了運動的大小，而位置則指示著運動的方向。每個粒子群都會記錄下自己所尋找的最優預測解，即個體最優解，并和其余粒子共享。

而粒子群中的每個粒子，都按照自己所尋找的個體最優解，或者整個粒子群體所共享的全局最優解，來改變自身的數量和方向。全局最優解是從所有粒子中找出的最優估計解。通過不斷改變粒子的數量和位置，粒子群算法就可以逐步接近最優估計解。

在算法中，通過矢量法則，將個體與群體的影響乘以權重，即可更新出下一次粒子前進的方向與大小，即

c₂r₂[G_b（t）-X_i（t）]

X_i（t+1）=X_i（t）+V_i（t+1）

式中， w（t） 為慣性權重； 均為學習因子，均取值2； ： G_b（t） 分別為粒子自身最優值和全局最優值（適應度函數）； X_i（t） 、 V_i（t） 分別為粒子位置和速度（所需優化系數即 ; χ_t 為迭代次數； r₁ 、r₂ 均為 （0， 1） 的隨機數。

3.2基于終端交叉和轉向的擾動粒子群優化算法

在粒子群算法中，迭代的增加會使粒子群陷入局部最優。為了解決這個問題，TCS-PSO算法對PSO算法進行了4項主要修改20，簡述如下。

3.2.1 引入非線性慣性權重

慣性權重可以平衡粒子全局搜索和局部搜索的能力，是粒子群算法的重要參數之一，一般采用線性遞減法。TCS-PSO采用非線性慣性權重方法，改變粒子當前速度方向對粒子的影響，從而增強粒子的局部和全局搜索能力，也可以有效避免在參數尋優后期時出現振蕩現象。變化表達式為

k=R_rand+E（0.5）

式中， 為慣性權重的兩個最值， w_max=0.9 ，w_min=0.4 ； T_max 為最大迭代次數； E（0.5） 為平均值為0.5的指數分布； R_rand 為0＼～1的隨機數。

3.2.2終端變化機制

針對粒子群算法在迭代后期容易陷入局部最優的問題，引入一種變化機制。在迭代的最后階段，通過不斷減小 w（t） ，不斷增強粒子局部搜索能力，能夠更好擺脫局部最優解。粒子群算法的迭代階段分為前期迭代階段和后期迭代階段。前期迭代與PSO一致，并在迭代的最后階段引入變化機制，其定義為

X（t+1）=w（t）X（t）+[1-w（t）]V（t+1）

3.2.3終端交叉和轉向機制

已有研究表明，粒子歷史信息的交叉選擇有助于增強種群多樣性，但過強的種群多樣性不利于算法的收斂21。為防止這種情況，在后期迭代階段引入粒子歷史信息的交集，既解決了種群多樣性在迭代后期急劇惡化的問題，也避免了種群多樣性過強、難以在后期迭代收斂的問題。關于交叉機制，粒子的歷史信息由式（18）交叉，獲得新的粒子個體值P_N，bi^o 當算法進入迭代的最后階段時，將 P_N，bi 與當前粒子 P_bi 對比，通過式（19）確定最終的 P_bi^°

同時，為幫助粒子在迭代的最后階段跳出局部最優，粒子的運動方向由式（13）變為

3.2.4基于模仿學習的尋優機制

根據行為心理學社會學習理論中的模仿學習思想，一個人會受到他人模仿行為的影響。基于此模式，獲得新的種群值 N_b ，與當前種群值 G_b 對比，確定最終 G_b ，其數學模型表示為

TCS-PSO算法軌跡優化流程如圖2所示。其中，粒子群位置代表所需要的優化軌跡系數；個體最優值和群體最優值代表適應度函數值，如式（12）所示。

4試驗結果與分析

4.1 算法對比

分別采用原始PSO、線性權重PSO與非線性權重TCS-PSO進行比較，初始的種群數量設置為70，最終的迭代次數為200。如圖3所示，在初始種群質量優化方面，非線性權重TCS-PSO明顯優于原始PSO和線性權重PSO。在迭代收斂優化中，原始PSO算法經歷12代收斂至1010.78，并最終收斂至714.2761；線性權重PS0迭代11次收斂至953.14，并最終收斂至636.80；而TCS-PSO算法經歷6代收斂至864.32，并最終收斂至564.32。結果表明，TCS-PSO算法收斂速度與精度得到明顯提升。

圖4、圖5、圖6所示分別為各關節角度、角速度、角加速度優化曲線。由圖4＼～圖6可知，相同條件下，TCS-PSO算法所優化的軌跡，每個關節都在約束的范圍內得到較好的優化。

圖2軌跡優化算法流程圖

4.2仿真與試驗平臺

為驗證機械臂的優化軌跡是否存在碰撞，在Matlab/Simspace多體動力學仿真軟件中進行仿真驗證，結果顯示無干涉，則可進行動力學參數辨識試驗。動力學參數辨識試驗在長春光機所空間機械臂工程中心設計研發的超冗余模塊化機械臂平臺上進行。其中，硬件平臺包括9自由度冗余機械臂本體和PC控制器；軟件平臺主要包括倍福TwinCAT3、EtherCAT總線通信及基于Windows操作系統下的控制軟件；采樣頻率為 1kHz 。激勵軌跡和試驗平臺如圖7所示。

4.3基于選代加權最小二乘法的辨識方法

為減小采樣噪聲的影響，對采集的位置和力矩信號進行平均濾波。此外，采用零相位巴特沃斯低通濾波器位置和電流信號濾波處理。隨后，對濾波之后的位置信號進行一次中心差分和二次中心差分，分別獲得速度和加速度信號。通過移動平均濾波法對獲得的加速度信號做進一步平滑處理。將處理后的數據代入式（4），可得

τ_d（1） 其中，力矩觀測值由列向量 表示，其長度為 nN×1 ；每個采樣點的力矩觀測值以 n×1 的列向量形式表示，即 τ_d（l） ；參數組合值的數量用 r 表示；參數 b_ls 是 r×1 的列向量； X 是 nN×r 的觀測矩陣，為

式中， H_r^*[q（l） ， ， 是 n×r 的列向量，表示第 l 個采樣點的系數矩陣。

實際上，由于測量誤差等，雖然不能求出完全滿足條件的解[22]，但可求得最小二乘解 b_ls ，即

b_ls^（1）=（X^TX）^-1X^Tτ_a

由于機械臂各關節電動機力矩數據中存在不同水平的噪聲，對于這種異方差的參數估計問題，迭代加權最小二乘估計法能夠展現出良好的效果[23]。首先，計算出標準化殘差，計算式為

式中， f_Var（?） 為計算方差的函數。得到的殘差計算加權矩陣為

式中， diag（?） 為取矩陣對角元素的函數。根據加權矩陣計算下一次的最小二乘解，并替代當前的解，求解新的標準化殘差，計算式為

b_ls^（2）=（X^TWX）^-1X^TWτ_a

在迭代過程中，當相鄰兩步所求解差的絕對值最大值小于預設的標準誤差 σ_ε 時，迭代過程將終止，即

max|b_ls^（i）-b_ls^（i-1）|lt;ε

4.4試驗結果

為進一步展現文中算法在辨識精度方面的優越性，根據統計學常用的均方根（RootMean Square，RMS）公式，計算力矩殘差的RMS值，評估辨識效果。RMS值越小代表誤差越小，即辨識精度越高。本文分別采用遞歸最小二乘（RecursiveLeast Squares，RLS）法、加權最小二乘（WeightedLeast Squares，WLS）法和IWLS法來獲取動力學最小參數集，求取力矩辨識結果，并進行驗證對比（圖8）。表2所示力矩殘差的RMS值則是對圖8的進一步數值化描述。結果表明，本文采用的方法對比遞歸最小二乘法，力矩殘差RMS值平均降低約 2.22% ；對比加權最小二乘法，力矩殘差RMS值平均降低約 4.85% 。

為驗證動力學補償力矩的實際效果，基于本文所獲取的動力學模型，在位置模式下控制機械臂運動并采集驅動力矩和補償力矩。在該控制模式下，機械臂關節處于周期同步力矩控制模式，機械臂的PC控制器可以根據辨識得到模型，實時計算出在各個位姿狀態下機械臂低速運動產生的重力、摩擦力和科氏力/離心力，然后將其補償到力矩控制器，使得操作員可以輕松拖動機械臂，且該機械臂可以懸停在任意位置而不會由于重力發生墜落。圖9為零力模式下的控制框圖。圖10、圖11所示分別為關節1、關節2的零力拖動試驗效果。

觀察圖10和圖11可知，算法補償力矩與實際力矩總體一致，符合預期。

5結論

1）采用TCS-PSO算法優化了激勵軌跡。良好的激勵軌跡在滿足運動基頻條件下不僅能更好地激勵機械臂各連桿參數，也避免了軌跡周期首末存在振動引起的數據誤差，增強了參數辨識系統的抗噪聲性能。

2）提出的地面辨識方法在超冗余機械臂上得到了驗證，根據動力學參數辨識結果，可準確預測機械臂運動各關節所需的驅動力矩。與遞歸最小二乘法及加權最小二乘法相比，提出的辨識算法的力矩殘差更小，提升了參數辨識的精度和魯棒性。最后，將獲取的參數模型應用到零力拖動試驗中，效果符合預期。研究可為獲取機械臂的高精度動力學模型和空間在軌動力學控制研究提供支持。

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Research on dynamic parameter identification of space hyper-redundant manipulatorsusing iterative WLS-TCS algorithm

ZHANG Wenjun'2 LI Yi'2 ZHOU Yufei3ZHANG HaohaolZHU Mingchao3TANG Bo' （1.School of Mechanical Engineering，Ningxia University，Yinchuan 75oo21，China） （2.Liupan Mountain Laboratory，Yinchuan 75oo11，China） 3.Changchun InstituteofOptics，Fine Mechanicsand Physics，Chinese AcademyofSciences，Changchun l30o3，China）

Abstract：[Objective]In thedynamic modeling of space hyper-redundant manipulators，thecomplicated structure，many degreesoffreedomandweakrigiditycausethedynamiccouplingproblems，anditisdificulttoobtainanaccratedynamic model.AniterativeWLS-TCSalgorithmwasproposedtoidentifythegrounddynamicsparametersofthespacehyper-redundant manipulator，whichlaidafoundationforobtaining thehigh-precisiondynamicmodelof themanipulatorandtheresearchof spacein-orbit dynamiccontrol.[Methods]Firstly，theterminalcrossverandstering-basedparticleswarmoptimization （TCS-PSO）algorithm was used to design periodicFourier series satisfying multiple constraintsas the optimal excitation trajectory.Secondly，theiterativeweightedleastsquares（IWLS）methodwasusedtoobtaintheminimumparameterset，andthe outliersinthedataweregraduallyremovedbytheiterativeweightingtomaketheidentificationresultsmorerobustand accurate.[Results]ThetestresultsshowthatthetrajectoryregresionmatrixobtainedbytheTCSoptimizationmethodis smalerndbetersatifiestheconstraintsgiveninthexcitationtrajectory.Inparameteridentification，theiterativeweighted leastquaresidentificationmethodiscomparedwiththerecursiveleastsquaresmethod，andthetorqueresidualrootmean square （RMS） value is reduced by about 2.22% on average.Compared with the weighted least squares method， the torque residualRMSvalueisreducedbyabout 4.85% onaverage.Finally，the obtained parametric model was brought into the zeroforce control test，and the actual effect was in line with expectations.

Keywords：Hyper-redundantmanipulator;Dynamicmodel;IterativeWLS-TCSalgorithm;Excitationtrajectory;Parameter identification