鐵打的模型 變換的圖形

線段最值問題，作為中考數(shù)學(xué)中的熱點(diǎn)與難點(diǎn)，歷來以壓軸題的形式出現(xiàn)，對學(xué)生構(gòu)成了相當(dāng)大的挑戰(zhàn)，這類問題不僅在教學(xué)層面上被視為難點(diǎn)，還在深層次上體現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要性。它根植于軸對稱這一基礎(chǔ)數(shù)學(xué)概念，通過對“將軍飲馬\"等經(jīng)典問題的衍生與拓展，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)問題的豐富內(nèi)涵與深刻本質(zhì)。

在探索線段最值問題的過程中，教師和學(xué)生需要共同努力，深人挖掘其內(nèi)在規(guī)律與本質(zhì)特征。這一問題不僅要求學(xué)生具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，還需具備抽象思考與直觀想象的能力。教師的引導(dǎo)與學(xué)生的自主探究，可以逐步構(gòu)建起解決問題的數(shù)學(xué)模型，從而找到有效的解題策略。

線段最值問題的教學(xué)，不僅是對數(shù)學(xué)知識的傳授，還是對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。它要求學(xué)生在面對復(fù)雜問題時(shí)，能夠保持清晰的思維與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫞ㄟ^不斷嘗試與修正，最終找到問題的最優(yōu)解。這一過程不僅鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，還培養(yǎng)了他們的創(chuàng)新思維與解決問題的能力。

因此，線段最值問題不僅是中考數(shù)學(xué)的重要考點(diǎn)，還是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效途徑。在未來的教學(xué)中，我們應(yīng)更加重視這一問題的教學(xué)與研究，以期為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與全面發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

本文將以“線段最值問題\"為專題，通過實(shí)例研討，介紹三種基本模型及其應(yīng)用策略。

1.利用“兩點(diǎn)之間線段最短\"求線段和的最小值問題

如圖1，兩定點(diǎn)A，B位于直線I同側(cè)，在I上找一點(diǎn)C，使得點(diǎn)C到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離之和最短。

解析如圖2，先作點(diǎn)B關(guān)于直線I的對稱點(diǎn) ?^B′ 然后連接 AB^′ ，交直線I于點(diǎn)C，再連接BC，則點(diǎn)C就是所要找的點(diǎn)。

“將軍飲馬\"模型是線段最值問題中最為基礎(chǔ)且常見的一種模型，該模型利用軸對稱的性質(zhì)，將同側(cè)兩定點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為異側(cè)兩定點(diǎn)問題，再根據(jù)公理“兩點(diǎn)之間線段最短”，從而輕松解決線段和的最小值問題。

2.模型應(yīng)用

如圖3，直線m是正五邊形ABCDE的對稱軸，點(diǎn)P是直線m上的動點(diǎn)，當(dāng) PB+PC 的值最小時(shí)，∠ BPC的度數(shù)是 。

一、線段最值問題的基本模型

模型一：“將軍飲馬\"模型（或“一動兩定\"型）

解析如圖4，由于點(diǎn)C關(guān)于 m 的對稱點(diǎn)為點(diǎn)D，所以直接連接BD、PD，設(shè)BD與直線 m 相交于點(diǎn)P^′ ，連接 CP^′ 。

由 PC=PD ，得 PB+PC=PB+PD≥BD ，所以當(dāng)點(diǎn)P與 P^′ 重合時(shí)， PB+PC 的值最小。又因?yàn)槲暹呅蜛BCDE是正五邊形，則有 BC=CD ！ ∠BCD=108^° ，所以∠CBD=∠CDB=36^° ，又因?yàn)?P^′C=P^′D ，所以 ∠P^′CD= ∠P^′DC=36^° ，所以 ∠BPC=72^° 。

模型二：“垂線段最短\"模型

1.利用“垂線段最短\"將線段最值問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問題

如圖5，連接直線1外一點(diǎn) P 與直線1上各點(diǎn)0， 其中 PO⊥I （我們稱PO為點(diǎn) ΩP 到直線I的垂線段）。比較線段 P0，PA₁，PA₂，PA₃ PA₄，PA₅ ，…的長短，則有PO最短。

“垂線段最短”模型是另一種常見的線段最值問題模型。該模型利用“垂線段最短\"的定理，將線段最值問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問題。

2.模型應(yīng)用

如圖6，在 Δ ABC中， ∠BAC=60^° ， ∠C=45^° AC= ，點(diǎn) D 為邊BC上的動點(diǎn)，連接AD，以AD為直徑作 _?0 ，交邊AB、AC分別于點(diǎn)E、F，連接E、F，求EF的最小值。

解析據(jù)圖6分析，當(dāng)圓的大小一定時(shí)，EF的值也確定，而圓的大小由直徑AD決定，所以當(dāng)AD最小時(shí)，EF的值最小。根據(jù)定理\"垂線段最短\"可知，當(dāng)AD ⊥ BC時(shí)，AD的值最小。

如圖7，作AD ⊥ BC于點(diǎn)D，作OH ⊥ EF于H，連接OE，OF。

在Rt△ADC中，因?yàn)? ， ∠C=45^° ，所以 ，則 。

由圓周角定理可得， ∠EOF=2∠BAC=120^° ，則有∠EOH=60^° ，所以 EF=2EH=0E?sin60^°=6 ，即EF的最小值為6。

模型三：“將軍飲馬\"與“垂線段最短\"綜合模型（或“一定兩動\"型）

除了上述兩種基本模型外，線段最值問題中還存在一種更為復(fù)雜的綜合模型—“將軍飲馬”與“垂線段最短\"綜合模型。該模型結(jié)合了前兩種模型的特點(diǎn)，要求學(xué)生在解題過程中靈活運(yùn)用兩種模型的原理與技巧。

1.\"一定兩隨動\"型

（1）兩個(gè)動點(diǎn)分別在兩條直線上任意運(yùn)動，求線段之后最小值問題

如圖8，動點(diǎn)A在直線 m 上運(yùn)動，點(diǎn)B為一定點(diǎn)，且兩點(diǎn)均在直線n的同側(cè)，在直線n上找一點(diǎn)P，使得 PA+PB 的值最小。

解析如圖9，先作點(diǎn)B關(guān)于直線n的對稱點(diǎn)B^′ ，然后過 B^′ 作 于點(diǎn)A，交直線 n 于點(diǎn)P，再連接PB。此時(shí)， PA+PB=PA+PB^′=AB^′ 。

此題型本質(zhì)就是借助“將軍飲馬\"題型思想，將PA+PB 的值轉(zhuǎn)化為線段AB的長度，但由于點(diǎn)A為直線上一動點(diǎn)， B^′ 為一定點(diǎn)，故AB的長度是不確定的，則需要根據(jù)\"垂線段最短\"的思想，當(dāng) AB^′⊥m 時(shí)，AB的長度最短，故而解答出本題。

（2）模型應(yīng)用

如圖10，在 RtΔABC 中， ∠ACB=90^° AC=3 BC=4，AB=5，AD 平分 ∠CAB 交BC于D點(diǎn)，E、F分別是AD、AC上的動點(diǎn)，則 CE+EF 的最小值為多少。

解析先作對稱點(diǎn)并畫出對稱線段，將同側(cè)兩線段轉(zhuǎn)化為異側(cè)兩線段，然后使兩線段共線并與AB垂直時(shí)， CE+EF 的值最小。

如圖11作點(diǎn)F關(guān)于直線AD的對稱點(diǎn)G，由于AD平分∠CAB，所以點(diǎn)G在AB上。連接EG，則有 EF= EG， CE+EF=CE+EG 。所以要求 CE+EF 的最小值即為求 CE+EG 的最小值，故當(dāng)C、E、G三點(diǎn)共線時(shí)，符合要求。此時(shí)，作 CH⊥AB 于H點(diǎn)，則CH的長即為CE+EF 的最小值。由等面積法可知， AC?BC=AB?CH 所以 即 CE+EF 的最小值為 。

2.“一定一動一從動\"型

（1）一個(gè)動點(diǎn)在一直線上任意運(yùn)動，另一動點(diǎn)隨著這個(gè)動點(diǎn)在另一直線運(yùn)動，求線段之后最小值問題

如圖12，B為一定點(diǎn)，動點(diǎn)P在直線n上運(yùn)動，過點(diǎn)P作PA 1m 于點(diǎn)A，連接PB，求 PA+PB 的最小值。

A A' 中 m

4 11BA11PP' n、'B'

解析如圖13，先作點(diǎn)B關(guān)于直線 的對稱點(diǎn)B^′ ，連接 PB^′ ，此時(shí) PA+PB=PA+PB^′ 。然后過 B^′ 作B^′A^′⊥m 于點(diǎn) ，交直線 n 于點(diǎn) P^′ 。則有 PA+PB= PA+PB^′?P^′A^′+P^′B^′=A^′B^′

此題型先是作PB的對稱線段 PB^′ ，將 PA+PB 的值轉(zhuǎn)化為 PA+PB 的值，點(diǎn)A、P分別是兩直線上的動點(diǎn)，且要求 PA⊥m 。則直接作 B^′A^′⊥m 即可，這樣既滿足了 ，又滿足 A^′，P^′，B 三點(diǎn)共線，即 P^′ A^′+P^′B 的值最小，從而解答出本題。

（2）模型應(yīng)用

如圖14，在 ΔABC 中， AB=AC ∠B=60^° ，AD ⊥ BC于點(diǎn) D 。點(diǎn) P 是AD上的一個(gè)動點(diǎn)，PE ⊥AC 于點(diǎn)E，連接CP。若 AD=6 ，則 PC+PE 的最小值是（ ）

A.5 B.6 C.8 D.9

解析由于等邊三角形的特殊性，它各邊上的高所在直線本身就是它的對稱軸，所以可直接畫出對稱線段，然后根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”及“垂線段最短”，即可得出線段和的最小值。

如圖15，作BE '⊥AC 于E'，交AD于點(diǎn) P^′ ，連接 P^′C，PB 因?yàn)樵?ΔABC 中， AB=AC ∠B=60^° ，所以ΔABC 是等邊三角形。又因?yàn)锳D ⊥ BC，則有 BD= CD，所以點(diǎn)C關(guān)于AD的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B，所以 PC= PB，則有 PC+PE=PB+PE 。顯然，當(dāng)P、BE三點(diǎn)共線且BE ⊥AC 時(shí)， PC+PE 的值最小，即為BE'的值。因?yàn)锽E ^′⊥AC ，所以BE ^′=AD=6 ，所以 PC+PE 的最小值是6，故選 。

二、探究思考與教學(xué)建議

（一）探究思考

1.線段最值問題的核心價(jià)值

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的體現(xiàn)：線段最值問題不僅是中考的熱點(diǎn)，還是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)（如抽象思維、邏輯推理、直觀想象）的有效載體。通過解決這類問題，學(xué)生能夠提升分析復(fù)雜問題的能力，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維。

基礎(chǔ)與拓展的結(jié)合：線段最值問題根植于軸對稱、垂線段最短等基礎(chǔ)數(shù)學(xué)概念，通過對經(jīng)典問題的衍生與拓展，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)問題的豐富內(nèi)涵與深刻本質(zhì)，這種從基礎(chǔ)到拓展的過程，有助于學(xué)生構(gòu)建系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識體系。

2.基本模型的構(gòu)建與應(yīng)用

“將軍飲馬\"模型：該模型利用軸對稱性質(zhì)，將同側(cè)兩定點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為異側(cè)兩定點(diǎn)問題，再根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”的公理，解決線段和的最小值問題，這種轉(zhuǎn)化思想在解決線段最值問題中具有普遍性。

“垂線段最短\"模型：該模型利用“垂線段最短”的定理，將線段最值問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問題，這種轉(zhuǎn)化不僅簡化了問題，還培養(yǎng)了學(xué)生的空間想象能力。

綜合模型：綜合模型結(jié)合了“將軍飲馬\"與“垂線段最短”兩種模型的特點(diǎn)，要求學(xué)生在解題過程中靈活運(yùn)用兩種模型的原理與技巧，這種綜合應(yīng)用能力是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要體現(xiàn)

3.解題策略與思維培養(yǎng)

自主探究與教師引導(dǎo)：在探索線段最值問題的過程中，教師和學(xué)生需要共同努力，深入挖掘其內(nèi)在規(guī)律與本質(zhì)特征，逐步構(gòu)建解決問題的數(shù)學(xué)模型，從而找到有效的解題策略。

抽象思考與直觀想象：線段最值問題要求學(xué)生具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及抽象思考與直觀想象的能力，這種能力的培養(yǎng)不僅有助于解決數(shù)學(xué)問題，還能提升學(xué)生的綜合素質(zhì)。

（二）教學(xué)建議

1.強(qiáng)化基礎(chǔ)概念的教學(xué)

軸對稱與垂線段最短：在教學(xué)中，教師應(yīng)重點(diǎn)講解軸對稱和垂線段最短的概念，通過實(shí)例和圖形演示，幫助學(xué)生理解這些基礎(chǔ)概念的本質(zhì)。

模型構(gòu)建：教師要引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)例，逐步構(gòu)建“將軍飲馬\"和\"垂線段最短\"兩種基本模型，并理解其應(yīng)用策略。

2.培養(yǎng)解題策略與思維

自主探究：學(xué)生要通過自主探究，發(fā)現(xiàn)線段最值問題的內(nèi)在規(guī)律與本質(zhì)特征，教師可以設(shè)計(jì)一些探究性問題，引導(dǎo)學(xué)生逐步深入。

教師引導(dǎo)：在探究過程中，教師應(yīng)適時(shí)引導(dǎo)，幫助學(xué)生理清思路，找到解題的關(guān)鍵。同時(shí)，教師應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的抽象思考與直觀想象能力。

3.綜合應(yīng)用與拓展

綜合模型教學(xué)：在教學(xué)中，教師應(yīng)引人綜合模型，讓學(xué)生理解并掌握“將軍飲馬\"與“垂線段最短”兩種模型的結(jié)合應(yīng)用，通過綜合模型的教學(xué)，提升學(xué)生的綜合應(yīng)用能力。

拓展練習(xí)：教師設(shè)計(jì)一些拓展練習(xí)，讓學(xué)生在解決復(fù)雜問題的過程中，進(jìn)一步鞏固和提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這些練習(xí)可以包括一些變式題、綜合題等。

4.注重?cái)?shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

邏輯思維與嚴(yán)謹(jǐn)性：在教學(xué)中，教師應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維與嚴(yán)謹(jǐn)性，通過線段最值問題的解決，讓學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維，提高分析問題的能力。

創(chuàng)新思維與解決問題的能力：線段最值問題的解決過程，也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維與解決問題能力的過程，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生嘗試不同的解題方法，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維。

5.結(jié)合中考實(shí)際

中考題型分析：在教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合中考實(shí)際，分析線段最值問題在中考中的題型和考點(diǎn)，通過中考題型的分析，讓學(xué)生了解考試要求，提高應(yīng)試能力。

模擬訓(xùn)練：教師要設(shè)計(jì)一些模擬訓(xùn)練題，讓學(xué)生在模擬考試中進(jìn)一步鞏固和提升解題能力，這些模擬訓(xùn)練題可以包括一些歷年中考真題、模擬題等。

三、結(jié)語

本文介紹的三種“線段最值問題”模型都是初中數(shù)學(xué)中常見的問題，該類問題的解題方法都是建立在兩個(gè)基本定理的基礎(chǔ)之上。模型一和模型二可直接根據(jù)定理求解，模型三是模型一與模型二的綜合，是對兩個(gè)定理的疊合，具有一定的靈活性和延展性。

本文通過對線段最值問題的深入剖析和探討，揭示了三種基本模型的本質(zhì)特征與應(yīng)用策略，同時(shí)，結(jié)合具體例題和教學(xué)實(shí)踐，提出了針對性的教學(xué)策略和建議，然而，線段最值問題作為中考數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)與熱點(diǎn)之一，其解題方法和技巧仍然需要不斷地探索和完善。未來，我們將繼續(xù)深人研究線段最值問題的相關(guān)理論和教學(xué)實(shí)踐，以期為學(xué)生提供更加優(yōu)質(zhì)的教學(xué)資源和解題指導(dǎo)。

（作者單位：廈門市興賢學(xué)校）

編輯：李琴芳