采用科學方法分析實驗系統誤差

一、課程標準的要求

《普通高中物理課程標準（2017年版2020年修訂）》明確要求，把培養學生的物理學科核心素養作為物理教學的重要目標，要把學科核心素養融人具體的教學內容和教學活動中落實。相較于2003版的課程標準，新版課程標準對實驗部分更加重視，增加了學生必做實驗，強調實驗在物理教學中的重要性。

新課標還要求：學生能夠制訂實驗方案，會選用實驗器材完成實驗，會用圖像處理實驗數據，獲得結論；能分析實驗中存在的誤差，并能提出減小誤差的方法。

因電表不理想而引起的系統誤差分析，是此次教學中的重難點，也是學生易丟分的點。因此，實驗的系統誤差分析是本節重點要討論的內容。

二、學生學習現狀

高二學生剛學習了閉合電路歐姆定律的相關知識，并且已經掌握利用電源的 U-I 圖像求解電動勢和內阻。通過測量電池的電動勢和內阻，進一步加深對閉合電路歐姆定律的理解。高二學生已有一定的自主探究能力，遇到問題后會自己通過思考、討論解決，但在具體的實驗操作、數據處理等方面還有所欠缺。例如，在設計實驗方案時，他們可能無法準確考慮到各種因素對實驗結果的影響；在進行數據處理時，可能不知道如何選擇合適的方法來減小誤差，需要教師進行指導和示范。

在實際的實驗過程中，在教師的指導下，學生能通過分組實驗測量出實驗結果，也能理解實驗誤差產生的來源，但是會對誤差分析產生畏難情緒。即使是在課堂上，在教師的引導下進行實驗的誤差分析，仍有許多學生理解不了。

三、實驗：電池電動勢和內阻的測量

（一）實驗地位及考查類型

電池電動勢和內阻的測量實驗，是學生必做的電學實驗，也是高中物理中的重要的實驗之一，還是高考中的高頻考點。本節內容涉及動手實驗以及圖像法處理數據，被安排在人教版教材必修三第十二章第三節。

本實驗在高考中出現的頻率較高，是一個重要的考點，在近三年的全國卷、天津卷和北京卷等中都有涉及。本實驗的考查類型，可以以伏安法測電池電動勢和內阻測量為模型，如2024年天津卷和甘肅卷；也可以以伏阻法為模型，如2024年北京卷；或者以安阻法為模型，如2022年湖北卷。

高考考查內容從實驗原理、器材選擇，到根據實驗數據進行處理和計算，并進行誤差分析等。因此有必要對伏安法、伏阻法和安阻法進行誤差分析講解。

（二）實驗方法及過程

在本節的教學設計中，首先要讓學生在明確實驗目的，理解實驗原理的基礎上，分別按照圖1和圖2指導學生進行分組實驗。由兩種電路測出的電動勢 E 和內阻 r 相差較大，激發學生的思考：為什么會產生這種不同？然后，再進一步進行誤差分析。

課堂中，教師分別采用圖像分析法、等效電源法和一次函數解析法對實驗誤差進行分析，有助于學生系統掌握實驗誤差分析的方法，促進其深度學習，提升其科學思維。

1.伏安法測電池電動勢和內阻的誤差分析

（1）圖像法

如圖1所示，實驗的誤差來源于電壓表的分流，電路中真正的總電流，即 I_☉ 等于電流表測得的電流與流經電壓表的電流之和，即

當 U=0 時，電路短路時， I_?=I_? ：

當 U≠0，I_☉gt;I_inj ，且 U 越大，電壓表分流越大，I_☉ 與 相差越大.

根據 U-I 圖像分析，優點是直觀形象，一目了然。然而，實際教學中，讓學生畫出真實的 U-I 圖像存在一定困難。為了解決此問題，教師可基于“問題鏈\"教學模式，提出有效問題串，引發學生獨立思考，幫助學生更深刻的理解系統誤差產生的原因。教師可設置教學的梯度，降低思維難度，提出以下問題串：

問題一：圖1中，實驗的誤差是怎么產生的？

問題二：電路中的真實的總電流和電流表的示數有何關系？問題三：真實值在 U-I 圖像中應是實線，還是虛線？問題四：用該方法 E_isy 與 E_☉ 的大小關系是什么？ r_M 與 的大小關系呢？

通過以上問題串的層層遞進，學生容易理解

U-I 圖像中短路電流相等這一難點，但是對于問題

三，對大部分學生仍有困難。在此，教師可引導學生

在圖中巧妙地做一條輔助線，即如圖3，在相同的電

壓下，電流大的為真實的圖像，由此可得出實線為真

實的 U-I 圖像，虛線為測量的 U-I 圖像，因此，由圖像E_injf，r_injf，

同理，根據電路圖2，教師給出以下問題串，讓學生以小組討論的形式回答以下問題：

問題五：誤差是怎么產生的？真實的路端電壓和電壓表的示數有何關系？

問題六：如圖 4，U-I 圖像中實線和虛線哪個為真實值？

問題七：用該方法那么 E 測與 E_☉ 的大小關系如何？r 測與 r_☉ 的大小關系呢？

在以上問題的引導下，學生能夠分析出由于電流表的分壓，真實的路端電壓等于電壓表的示數與電流表分得的電壓之和，即

當 I=0 時，即電路斷路時， U_M=U_?=E ：

當 I≠0 時， U_M?，I 越大， U_A 越大。

有了電路1的引導，學生能自己畫一條輔助線，即當電流 I 相同時，電壓大的為真實值，由此可得出實線為真實的 U-I 圖像，虛線為測量的 U-I 圖像，由圖像得E測=E真，r測gt;r真。

此方法能夠使學生深刻理解誤差產生的本質，并且學會通過巧妙做輔助線的方法判斷真實的 U-I 圖像，有效解決了學生不能判斷真實和測量的 U-I 圖像的困難。圖像分析法盡管比較直觀形象，但是只能定性，不能定量，具有一定的局限性。

（2）等效電源法

如圖5，圖6。將虛線框內的電路看作等效電源，電流表的示數就是等效電源的干路電流，電壓表的示數即為等效電源的路端電壓。

根據電動勢的定義，外電路斷開時，路端電壓等于電動勢，如圖5所示；外電路斷開時，電壓表的示數為電壓表和電源串聯電路中分得的電壓，故 E_M= Rv+r真 RyE真 。電源內阻的測量可看作電流表的內外接法測未知電阻，圖5可看作電流表的外接法，故r測=R+r真 ;圖6看作電流表的內接法， r_P4^?=r_?+R_Agt;r_? 。

等效電源法能定量分析誤差，但是思維難度較大。通過類比“電流表的內外接法\"的方法，能降低思維的難度。優秀學生可以掌握此種方法，覺得此方法簡單快捷，但是大部分高中生仍是似懂非懂。

（3）一次函數解析法

針對前兩種方法的不足，第三種方法即一次函數解析法，能夠更好地用函數表達式分析誤差。根據閉合電路歐姆定律， U=E-Ir ，若電表均為理想電表，做出 U-I 圖像，可知 U 關于 I 為一次函數關系，縱軸截距應為電動勢 E_M ，斜率的絕對值為電源的內阻 r_P（g） ，然而圖1由于電壓表的分流，對實驗數據進行修正

整理成 U 關于 I 的一次函數即

可知圖像的截距 E 測 RvE真 真。

一次函數解析法為等效電源法提供了理論依據，學生更容易理解。特別是電路圖2，數學計算量小，可讓學生獨立自主分析出 E_Π?=U+I（r_Π?+RA） 。整理成 U 關于 I 的一次函數 U=-I（r_#+R_A）+E_# ，可得圖像的縱軸截距 E_in=E_f ，圖像斜率絕對值為

在教學實踐中，通過以上三種方法對系統誤差進行分析，能使電學實驗的誤差分析更有深度。分析方法層層遞進，注重對知識、方法的深層理解，能促進學生的深度學習。

2.拓展與應用

人教社2019年版選擇性必修三課本分別在參考案例和課后習題中提到了伏阻法和安阻法測水果電池的電動勢和內阻，兩種方法的數據處理可采用一次函數解析法，而誤差分析可以采用等效法。

（1）伏阻法測電源的電動勢和內阻

伏阻法測電源的電動勢和內阻如圖7所示，電壓表和電阻箱的讀數為 U 和 R 。采用一次函數解析法，由閉合電路歐姆定律得 ，整理成 關于 的一次函數，表達式為 ，可知縱軸的截距為 ，圖像的斜率為

若考慮實驗的系統誤差，誤差來源于電壓表的分流，電路圖可等效為圖8，即圖1的電路，可知 E 測 測 真。

（2）安阻法測電源的電動勢和內阻

安阻法測電源的電動勢和內阻如圖9所示，電流表和電阻箱的讀數為 I 和 R 。由閉合電路歐姆定律得 E=I（R+r） 整理成 關于 R 的一次函數，表達式為1=丨R+，可知縱軸的截距為，圖像的斜率為

本實驗的系統誤差來源于電流表的分壓，電路圖可等效為圖10，即圖2的電路，可知 r_☉+R_Agt;r 真。

四、不同方法的優缺點

圖像法直觀、具體，可幫助學生更深刻的理解誤差產生的原因。然而實際教學中讓學生獨立畫出真實的 U-I 圖像存在一定的困難。為了解決此問題，教師可首先基于“問題鏈\"教學模式，提出有效問題串，設置教學梯度，降低思維難度。然后用巧妙的畫輔助線的方法，幫助學生判斷 U-I 圖像中的真實值和測量值。

等效電源法簡捷，能很快定性分析誤差，又能定量分析誤差，深受優秀學生歡迎。但因其思維難度較大，所以，教師可采用類比電流表的內外接法，降低思維的跨度。

一次函數解析法，既有函數圖象，又有數據支持，為等效電源法提供了理論支持，大部分學生都能理解。伏阻法和安阻法作為伏安法測電池電動勢和內阻的實驗原理的拓展，呈現了靈活運用閉合電路歐姆定律的內容，用一次函數解析法找到圖像斜率和截距的意義，并采用畫等效電路圖的方法，將伏阻法和安阻法誤差分析轉變為伏安法測電池電動勢和內阻的兩種基本電路誤差分析。

以上方法是處理實驗數據的基本方法，教師在實驗教學中應依照“學思并重”的教學原則，凸顯科學方法的指導作用，注重對物理原理和方法的深層次理解和應用，有助于學生科學思維、科學探究能力的提升，有助于培養學生的物理學科核心素養。

五、總結

測量電池的電動勢和內阻是高中物理的重要實驗，系統誤差分析是難點，常用的分析方法是圖像法和等效電源法，兩種分析方法各有優缺點。針對前兩種方法的不足，我們提出了巧妙的解決方法 一一次函數解析法，它不僅能很好地分析該實驗的系統誤差，還能加深學生對另外兩種方法的理解和掌握，有助于學生系統地掌握實驗誤差分析的方法，進行深度學習。

（作者單位：山東省淄博第一中學）

編輯：蔚慧敏