基于函數視角的高中數學隨機變量知識點教學環節設計

隨機變量是高中數學概率統計板塊的重要基礎內容，也是該板塊的重要支撐點，學生對其的學習和理解決定了對概率板塊掌握的熟練程度，為下一步解決以概率統計為知識點的復雜綜合題打下了基礎。因此，對該知識點的教學方法設計就顯得尤其重要，下面將巧妙利用學生熟知的知識點一一函數，使用引導和推廣等步步深人的多環節方法來展開教學，起到平穩過渡、以舊推新的作用。

一、第一環節：掌握函數的基礎一映射的界定與內涵

眾所周知，若坐標平面內的所有點組成的集合為A，所有的有序數對組成的集合為 ，則每一點與其坐標對應，則對于A中的每一個元素（點），都能找到 B 中的唯一元素（有序數對）與之對應。那么，一般地，設 ^A，B 是兩個非空集合，如果對于集合 A 中的每一個元素，按照某種對應關系 f， ，都有唯一的集合 B 中的元素對應，就稱為從集合 A 到集合 B 的映射，記為 A?B 。

根據映射定義，圖1中，（1）集合 A 中元素 y 在集合 B 中沒有對應，所以不是映射；（2）集合A中元素 x 在集合 B 中對應不是唯一的，所以不是映射；（3）集合 A 中元素 x 在集合 B 中對應也不是唯一的，所以也不是映射；（4）的對應關系符合定義，是從集合A到集合 B 的映射。

我們生活中也有很多映射的例子，如生活中的紐扣對應是不是映射呢？（見圖2）

類似于數學中的一次函數。同樣，左右袖口各有紐扣兩粒、扣眼一個，作用是使袖口可較為彈性地扣上，則是兩個不同的值對應到同一個 y ，是映射，但不符合“一一對應\"關系，類似于數學中的二次函數。然而，針對袖口紐扣和扣眼，如果兩者互換，即一個扣眼對應到兩個紐扣，則不是映射。

二、第二環節：熟識函數的內容一一函數的定義與解析

當 ^A，B 是兩個非空集合，更進一步作為兩個非空數集時，即給定兩個非空實數集合 A 和 B ，滿足映射定義規則，則稱 為從集合A到集合 B 的一個函數，記作 y=f（x），x∈A 。其中， x 稱為自變量， y 稱為因變量，集合 A 稱為函數的定義域，函數是建立了從一個非空數集到一個非空數集的映射（見圖3）。

對于定義域中的每一個元素，由函數得到的所有函數值組成的集合稱為此函數的值域。

如圖4，根據指數函數 y=a^x（agt;0，a≠1 與對數函數 y=log_ax（agt;0，a≠1） 的關系知， y=a^x（agt;0，a≠1 可化為 x=log_ay ，聯想指數函數（1）的值域為 y∈（0，+∞） ，指數函數的因變量恰好是對數函數的自變量，所以對數函數（2）的定義域為 y∈（0，+∞） ，即對數函數（3）的定義域為 x∈（0，+∞） 。（1）與（3）互為反函數。

一般地，設 ^A，B 分別為函數 y=f（x） 的定義域和值域，如果由函數 y=f（x） 可解得唯一 x=φ（y） 也是一個函數（即對任意一個 y∈B ，都有唯一的 x∈A 與之對應，也就是函數中的“一一對應\"關系），那么就稱x=φ（y） 是函數 y=f（x） 的反函數，記作 x=f^-1（y） 。在 x=f ¹（y） 中， y 是自變量， x 是 y 的函數，習慣上改寫成 y=f ¹（x）（x∈B，y∈A ）的形式。

舉例說明，函數 y=2^x 與 y=log₂x ，按照上述規則，符合反函數定義，則兩者互為反函數，且圖象如下（見圖5）：

由上圖可知，互為反函數的圖象關于直線 y=x 對稱。

三、第三環節：推廣函數的應用一引出隨機變量定義

自然界中存在一種現象，在一定條件下，每次發生的結果可能相同，也可能不同，這種現象就是隨機現象。對某隨機現象進行的實驗、觀察稱為隨機試驗。在隨機試驗中發生的各種可能結果稱為樣本點，用 ω 表示，稱包含所有可能結果（樣本點）的集合為樣本空間，用 Ω 表示。樣本空間的子集稱為隨機事件，簡稱事件。

函數是建立了從一個非空數集到另一個非空數集的映射；隨機變量是建立了從試驗結果的集合到實數集合的映射（見圖6）。

一般地，對于隨機試驗樣本空間 Ω 中的每個樣本點 ω ，都有唯一的實數 X（ω） （相當于函數意義下的 f（x） ）與之對應，則稱 X 為隨機變量。從本質上來說，無論函數還是隨機變量，都是映射的特例，兩者映射的“象\"都是實數；不同的是，函數的“原象”也是實數，而隨機變量的“原象”是樣本點，也就是隨機試驗可能結果。因此，隨機變量的定義域為樣本空間，值域為實數集，即 X（ω）∈R 。隨機變量就是建立在 Ω 到 R 的單值對應，樣本空間 Ω 相當于函數的定義域，不同的是 Ω 未必是數集，即：

因為隨機變量對應法則比較難以理解，不像函數那樣，如 f（x）=2x ，清晰容易理解，所以引用幾個實例來具體理解一下。例如，

（1）擲兩顆骰子，觀察向上的點數，樣本空間為 ，用 x+y 表示“兩顆骰子向上的點數之和”，那么樣本點 （x，y） 就與 X（x，y）=x+y 對應。

（2）拋擲一枚硬幣，將試驗結果“正面向上\"用1表示，“反面向上”用0表示，那么樣本點“正面向上”“反面向上\"就與 X （正面向上） （反面向上） =0 對應。

（3）接聽一個電話，那么樣本點“通話時長\"就與X （通話時長） ]對應。

（4）明天的降雨，那么樣本點“降雨量\"就與 X （降水量）= 1（l∈[0，+∞） ）對應。

像（1（2）取值為離散的數值的隨機變量稱為離散型隨機變量，而（3（4）取值為連續的實數區間，具有這種特點的隨機變量稱為連續性隨機變量。

四、第四環節：類比函數的性質一推導隨機變量的概率分布與類比

既然隨機事件可以用隨機變量表示，隨機變量也就可以將隨機事件數量化，同時用隨機變量取值的概率來替換隨機事件發生的概率，也就得到了隨機變量的概率分布，見圖7。

概率分布是建立了一個從隨機變量所有取值的集合到取值的概率的集合的映射。

為了清楚表示概率分布的映射特性，以拋硬幣為例，在上述隨機試驗（2）中“拋擲一枚硬幣”，結果有兩個：正面向上和反面向上，引入隨機變量 X ，用 X （正面向上） 1=1 表示“正面向上\"這個事件，用 X （反面向上 1=0 表示“反面向上\"這個事件。于是，事件“拋擲一枚硬幣，正面向上\"可以表示為 （正面向上） 1=1 1簡寫為 ，其概率可以表示為 ，事件‘拋擲一枚硬幣，反面向上\"可以表示為 （反面向上） ，簡寫為 ，其概率可以表示為 。更進一步，通常將P（{X=1}），分別簡記為P（X=1）， P（X=0） ，結果見圖8。

圖8函數、隨機變量和概率分布關聯圖這一結果也可以用下表來描述（見表1）。

一般地，隨機變量 X 有 n 個不同的取值，它們分別是 x₁，x₂，…，x_n ，且

P（X=x_i）=p_i，i=1，2，…，n

稱（1）式為隨機變量 X 的概率分布列，簡稱為 X 的分布列。（1）式也可以用列表法表示，見表2。

此表稱為隨機變量 X 的概率分布表。它和（1）都稱為隨機變量 X 的概率分布，其實就是將概率“1\"分割給所有的取值，也就是每一個可能的結果，其中p_i?0，i=1，2，…，n，p₁+p₂+^…+p_n=1 。進一步將 p₁x₁+ p₂x₂+…+p_nx_n 稱為隨機變量 X 的數學期望或均值，記為 E（X） 或 μ 。數學期望的含義就是對隨機變量取值（x_i） 進行帶有權重 （p_i） 的加權平均，其中，權重是該取值的概率，也就是衡量輕重作用的數值，加權平均是根據每一個數量在總量中所具有的重要性不同，分別給予不同的權重，再計算若干個數量的平均數。

五、第五環節：應用隨機變量的性質一典型例題析解

題目1：每個路口有紅、綠、黃三色信號燈，假設各色燈的開閉是等可能的。一個人騎車經過三個路口，試求下列事件的概率： “三個都是紅燈” “全紅”； B=^? 全綠”； “全黃”； D= “無紅”； ‘無綠”；F=^′ “三次顏色相同”； G= “顏色全不相同”； H= “顏色不全相同”。

【答案】解：

【點評】用古典概型的計算公式計算概率 P（A） 等于 A 所包含的基本事件數除以基本事件的總數；本例中直接計算事件的概率比較麻煩，不如通過它的對立事件 的概率來計算方便些，這是概率計算中常用的方法。

【考查內容和難易程度】本題考查概率用到的排列組合、對立事件計算等基礎知識，并考查求解運算

能力，難易程度為中檔。

題目2：袋中有 Ψ_a 個白球和 b 個黑球，從中任意地接連取出 k 個球（ 1?k?a+b ），如果將球取出后不放回，試求最后取出的一球是白球的概率。

【答案】解：設A表示“最后取出的一球是白球”，把 個白球和 b 個黑球都看作是不同的球（例如設想把它們進行編號等），從 a+b 個球中任取出 k 個球排成一排，總數為 P_a+b^k ，第 k 次取出的白球是從 個白球里任取的一個，有 Ψ_a 種取法，其余 k-1 次是從 ^a+ b-1 球里任取的，有 P_a+b-1^k-1 種取法，由乘法原理可知，事件 A 包含的基本事件數為 a×P_a+b-1^k-1 ，因此

【點評】此結果與 k 無關！這與我們日常的生活經驗是一致的，如在體育比賽中進行抽簽，各隊機會均等，與抽簽的先后次序無關。

【考查內容和難易程度】本題結合實際生活中的常見概率問題，考查高考數學中經常使用的逆向和發散思維，解決實際問題的能力，難易程度為中檔。

六、隨機變量知識點教學方法總結

綜上所述，在整個教學過程中，隨機變量作為具有函數本質特征的推廣，將樣本空間映射成為實數集，為概率統計使用常規數學工具（微分、積分等）奠定了堅實的基礎。同時，利用函數視角展開教學也使離散隨機變量的概率分布問題“跳出了\"古典概率的思維，“取消了\"概率統計問題等可能的約束，進一步推動了概率統計相關理論的快速發展，同時方便了學生的理解和掌握。

（作者單位：南通市小海中學）

編輯：常超波