數列通項公式求解策略探究

數列作為一類特殊函數，是高中數學的重要內容，也是高考考查的重點.近年來遞推數列問題在高考頻繁出現，已為命題熱點.遞推數列的題型有很多，遞推數列的通項公式的求法技巧性強，常常通過靈活的解題策略將問題轉化為等差數列或等比數列的問題進行求解，有時需要運用不完全歸納法，先通過數列的特殊幾項歸納出數列具有的一般規律，最后用數學歸納法給出證明.求遞推數列的通項公式的方法多種多樣，通常包括公式法、累加法、累乘法、待定系數法、取倒數法、整體換元法、數學歸納法、構造法等.準確識別遞推關系式的結構特征，采用高效、合適的方法，是正確求解數列通項公式的關鍵，有助于培養學生的數學運算、數據分析、邏輯推理、數學建模等核心素養.

一、公式法

先分析所求數列的特征，將其轉化為等差數列或等比數列，再利用等差數列或等比數列的通項公式求解.具體公式為：若 為等差數列，則 ；若 為等比數列，則 ；或利用公式 求通項.

[例1]（2020年高考江蘇卷第20題節選）已知數列 的首項 ，前 n 項和為 設 λ 與k是常數，若對一切正整數n，均有S?S 成立，則稱此數列為‘ 數列.（2）若數列 是 數列，且 ，求數列 的通項公式.

解 （204號

當 n ? 2 時，

評析：該題為數列綜合問題，以新定義數列為背景，主要考查等差數列的基礎知識，以及學生代數推理、轉化與化歸能力，需注意的是直接寫出 ，忽略驗證 是否也滿足此式是學生的易錯點.

二、累加法

對于遞推數列 ，且 f （ n ） 可求和的情況，其解題方法為：把 n 用 1 ， 2 ， ? s ， n 逐一代入上式，通過等式累加求出數列通項 f （ 1 ） + f （ 2 ） + f （ 3 ） + ? s + f （ n ） . （20

[例2]（2020年高考浙江卷第20題節選）已知數列 中， ， ，Cn+1 bc（n∈N\"）.（I）若數列{b}為等比數列，公比 q gt; 0 ，且 ，求 q 與 的通項公式.

解：依題意知 而

（204號 ，即 ，因為 q gt; 0 ，所以解得 ，故

因此 進而可得

[文章編號] 1674-6058（2025）08-0030-03 由此可知，數列 是首項為1，公比為4的等比數列.故 ，所以 ， ）.可以把 n 用 1 ， 2 ， ? s ， n 逐一代入公式，通過等式對應相加求出數列的通項

評析：本題是先得到等比數列 ，再通過把 n 用 1 ， 2 ， ? s ， n 代入 后進行累加得到通項公式.其中，等比數列的構造具有一定的技巧性.

三、累乘法

對于遞推數列，當 n ? 2 時，有 ，其中 f （ n ） 為可以求積的類型.

其解題思路為：把 n 用 1 ， 2 ， ? s ， n 逐一代入上式，通過等式累乘求出數列的通項 （20號

[例3]（2022年新高考I卷第17題節選）記 為數列 的前項和，已知 是公差為 的等差數列（1）求 的通項公式.

解： 是首項為

1，公差為 的等差數列，

故 當 n ? 2 時， 整理得

又： 也滿足 的通項

公式為 評析：本題先確定數列 再通過整理得到

αn的值，從而考慮用累乘法.

四、待定系數法

對于遞推數列：已知 （為常數）， 為非零常數），求通項 的類型.

解題思路：通過待定系數法構建等式 ，從而由 是等比數列來求出通項

[例4]（2007年高考全國I卷第22題節選）已知數列 中，滿足 ， 求 的通項公式.

解： ，令

解得 ，故 是一個首項為 ，公比為 的等比數列，（20

[練習]在數列 中， ，求 的通項公式.

解：令 ，： ，故 是一個首項為8，公比為2的等比數列，∴an+5=8·2n=1=2n+2 （20

五、取倒數法

對于形如a，=C（C為常數），n+1 = 為非零常數）的遞推數列，求通項 的類型.

解題思路：對等式兩邊取倒數得 令 大常數），根據 為等比數列求出通項

[例5]（2008年高考陜西卷理科第22題節選）已知數列 的首項

（1）求 的通項公式.

解： 為常數）， ∴ λ = - 1 ，

是一個首項為 公比為 的等比數列，

六、數學歸納法

數學歸納法是一種證明數學命題的重要方法，常用于證明某個命題在所有自然數范圍內成立.它基于兩個重要的假設：一是基準情形，即當 n 取特定值時命題成立；二是歸納假設，即假設當 n = k 時命題成立，進而證明當 n = k + 1 時命題也成立.通過這種遞推思想，可推導出命題對所有自然數 n 都成立的結論.

數學歸納法在數學研究和證明中具有優勢：它簡捷有效，借助演繹推理能快速證明數學命題的正確性，減少了煩瑣推導.

需要強調的是，數學歸納法的兩個步驟都至關重要，缺一不可，否則可能得出錯誤結論.

[例6]（2020年高考全國Ⅲ卷第17題節選）設數列 滿足 1）計算 猜想 的通項公式并加以證明.

解：由題意可得 ， ，根據數列 的前三項的值3，5，7，猜想出它是一個以3為首項，2為公差的等差數列，故有

（1）當 n = 1 時， ，滿足 ，猜想正確;

下面用數學歸納法證明：

（2）當 時，猜想 正確.那么當 n = k + 1 時，因為 2 k + 3 = 2 （ k + 1 ） + 1 ，故猜想對 n = k + 1 時也成立.

綜上可知，對任意的 ，都有 成立.

七、構造法

對于遞推數列：已知 為常數）， 為非零常數），求通項 的類型.

解題思路：構造等式n+1 ，設 求出 λ 后，令 an+入，則 是一個首項為 ，公比為 的等比數列．因此， ，故a=

[例7]（2006年高考全國 I 卷第22題節選）設數列 的前項和為

（I）求首項 與通項 =

解：當 n = 1 時， 解得 5

當 n ? 2 時，

構造新數列 故

公 （20

評析：此題在得到 后，也可以用待定系數法完成.

新高考改革背景下，數列通項公式的探究要求日益提高，遞推數列通項公式的推導方法研究也更具深度和廣度.本文通過歸納和提煉常見遞推數列通項公式的推導方法，有效提升了求解效率.強化遞推數列通項公式的推導訓練，不僅能激發學生學習興趣，更能引導其深人探究數列相關知識，從而全面提升學生的數學學科核心素養.

[參考文獻］

[1]王濤.例談由 求數列通項公式的常用方法[C]//教育教學研究（2016年版）第一輯.廣東省中山市龍山中學，2016：84-85.

[2]張穎.由遞推式構造新數列求數列通項公式[J].才智，2010（6）：104.

（責任編輯 黃春香）