“概率統計”教學策略的探討

摘""要：本文通過分析“概率統計”課程的教學現狀，基于筆者的教學實踐，從引入應用型案例、解析經典概率問題、融入數學軟件及實驗教學等方面對“概率統計”教學策略進行了一些探討。教師依據教學目標、教學內容，以學生為中心，選擇最優的教學策略。旨在激發學生自主學習，培養學生的數學應用能力，科學計算的能力和數據分析的能力，同時塑造社會主義核心價值觀。以期提高大學本科教學質量和學生的學習效果，促進學生全面發展。

關鍵詞：概率統計；教學策略；應用型案例；實驗教學

“概率統計”是理工類、經濟管理類、農林醫學類及生命科學等各專業領域的公用基礎課[1]。“概率統計”是研究和探索客觀世界隨機現象規律的一門數學學科。它揭示了隨機現象背后的深刻邏輯，啟迪我們在不確定的世界中找到確定性。“概率統計”也是許多新發展的前沿學科的基礎，如控制論、可靠性理論、人工智能等。

1“概率統計”教學現狀及存在的問題

隨著國家經濟和高等教育事業的發展，社會對于應用型復合人才的需求愈加強烈[2]。盡管“概率統計”是一門與現實生活聯系十分緊密、具有廣泛應用的學科，但是在實際教學中，這種與生活聯系的緊密性并沒有得到充分的體現和強調。學生做不到學以致用，缺少深入學習，在一定程度上抑制了學生的應用能力，也束縛了學生的創新性思維。學生學完課程之后，只留下了“概率統計”內容很難、公式很多的印象。無法為后續課程的學習提供有效的支撐，也未達到培養復合型人才的要求。

目前的“概率統計”教學還是以已有的數學知識體系以及計算技巧為主要教學內容。忽視概念、方法的形成過程。導致學生主動學習的興趣不高，驅動力不足。

“概率統計”教學，應該以學生為中心。無論是教學設計還是教學實施應當更多地關注學生的需求、興趣與參與，體現學生的主體地位。然而實際上一部分教師仍然在進行單向的知識輸出與傳授，在唱“獨角戲”。在整個教學環節中，學生參與度不夠，學習的熱情沒有被激發出來。課程教學中“立德樹人”融入的力度不夠，思政元素融入不足，不能讓學生在掌握知識、提高技能的過程中形成優秀的品質和健全的人格。

2教學改革策略

為了改進“概率統計”課程的教學現狀，可以采取一系列教學策略的改革。

（1）加強數學應用能力的培養。適時引入有實際背景的應用型案例，通過分析、解決實際問題，幫助學生更好地理解教學內容，提高學生將數學知識應用于實踐的能力。讓學生親歷定義、定理及方法的建構過程，激發學生的興趣，培養學生的高品質思維和深度學習。

（2）注重思政元素的滲入，將課程思政貫穿在整個教學過程中。利用結合時事政治的熱點問題，引起學生的共鳴和思考，塑造學生的社會主義核心價值觀。

（3）將有趣的經典概率問題，設計成小實驗或小游戲，讓學生參與其中，通過親身體驗數學知識的神奇和魔力，點燃學生學習的熱情，培養學習的主動性和自覺性。

（4）枯燥繁冗的數據計算讓學生提不起興趣，在“概率統計”課程中，融入數學軟件及實驗教學，培養學生科學計算的能力和數據分析的能力。

3教學實踐與探索

3.1"分析實際案例，提高應用數學的能力

數學知識和實際應用的脫節會限制學生學習的熱情和創造性。在學習完概率論的基本理論、公式和方法后，適時引入有實際背景的應用型案例，用實際問題貫穿于課堂教學，讓學生知曉“概率統計”確實與生活息息相關的，是“有用的”和“有趣的”。不僅將知識融會貫通，還能學以致用，提高學生將數學知識應用于實踐的能力。通過感知數學在實際生活中的應用，體悟概率統計的應用價值和魅力。

以貝葉斯公式的教學為例。貝葉斯公式是“持果索因”的過程[3]，它是“概率統計”課程中的一個很重要的公式，廣泛應用于各個領域。數學家John"Craven利用貝葉斯公式，找到了核潛艇“天蝎號”的殘骸。

教師介紹了實際背景后，接著提出問題：John"Craven是怎么做到的呢？貝葉斯公式又是如何發揮作用的呢？通過下面與之相似的“空難搜救問題”，便可以一探究竟。

【空難搜救問題】一架飛機墜落在甲、乙、丙、丁四個區域之一，搜救部門判斷其概率分別為0.3，0.2，0.4，0.1。現打算逐個搜索這些區域，如果在甲、乙、丙、丁四個區域有飛機殘骸，被搜救部門發現的概率分別為0.8、0.75、0.9、0.8。"請問

1. 首先應該搜索哪個區域？（丙區域，當前概率最大）
2. 如果搜索該區域后，沒有發現殘骸，在這種情況下飛機墜落在甲、乙、丙、丁四個區域的概率應該修正為多少呢？（用貝葉斯公式可以算出后驗概率分別為0.353，0.294，0.236，0.117）
3. 如果搜救部門展開第二次搜索，應該搜索哪個區域？（甲區域，當前概率最大）
4. 如果第二次搜索后，仍然沒有發現殘骸，又當如何？（繼續使用貝葉斯公式算出后驗概率，第三次搜索，應搜索乙區域）

教師采用問題驅動式教學，針對問題（1）→（2）→（3）→（4）逐層提問，啟發和引導學生用動態的觀點進行分析、研究問題，逐步去接近、認識和把握事件概率的變化：先驗概率→后驗概率→先驗概率，進而得到問題的答案。

教師總結：此題目（4）的做法，是把上一輪的“后驗概率”當作“先驗概率”，迭代到貝葉斯公式中，形成一個新的開始，如此周而復始。這種方法就是所謂的“貝葉斯方法”。美國數學家John"Craven就是利用貝葉斯方法找到了“天蝎號”核潛艇的殘骸。首先選擇“天蝎號”存在可能性最高的一塊區域搜索，若未發現其殘骸，則選擇新的“最可疑區域”進行搜索，如此繼續直到找到為止。

接下來教師介紹貝葉斯方法在現實中的廣泛應用：貝葉斯方法的強項不僅僅在搜索領域，它在醫療領域、藥劑檢測、無線通信和信號處理領域、經濟金融領域、人工智能等方面都發揮著重要作用。

最后教師可以給學生布置相關作業“查找關于貝葉斯方法的應用案例，了解其中的數學原理，并形成小論文”。或者在下次上課時，由學生自已講述所找到的案例，鼓勵學生積極展開辯論或討論，鍛煉語言表達能力，拓寬學生的知識面，鍛煉其查閱文獻資料獲取信息的科研能力。

數學知識和實際應用的結合會提升學生學習的熱情和創造性。利用應用型案例，讓學生參與到教學活動中，不僅可以培養實踐能力，還能激發學習和探究的欲望，培養學生學習數學的自信心，主動探索、努力進取的精神，以及追求真理的科學態度。

3.2"滲透思政教育，塑造核心價值觀

“概率統計”課程的育人目標，不僅僅是知識傳授、能力培養，更是價值觀的塑造。“概率統計”課程中蘊含著豐富的思政元素。例如，“當試驗次數很大時，小概率事件必然發生”，反映了量變積累產生質變的辯證關系，說明了“不積硅步無以至千里，不積小流無以成江海”的道理。鼓勵學生做事情要注重點滴的積累，從小事做起，堅持不懈，積少成多。文獻[4]從政治認同、國家意識、文化自信等方面設計了思政案例。

“概率統計”教學中很多重要的概念、定理與方法，都來自于實際問題的解決。這些概念、定理與方法的形成過程，蘊涵豐富的哲學思想和自然辯證法。但是，這些內容本身所使用的數學語言描述卻是抽象晦澀、難于理解的。如果單純理論講解，就過于干癟、枯燥，不足以吸引眼球，學生興趣不高，不利于理解和掌握。反之，如果使用生動的、貼近生活的實際問題來導入，尤其是結合時事政治或社會熱點的問題，再通過教師深入淺出、循循善誘的啟發式教學，穿插哲學思想和辯證思維，融入社會主義核心價值觀，就可以讓抽象的概率知識變得鮮活、易懂，在引起學生興趣，激發其學習熱情的同時，還能啟迪學生積極思考。

以“隨機變量的數學期望”概念引入為例。教師采用情景式教學，讓學生先觀看一段奧運比賽的短視頻，然后提出問題。

【問題】2024年7月29日，在法國巴黎奧運會上，中國運動員盛李豪奪得“男子10米氣步槍決賽”冠軍并且打破奧運會記錄。盛李豪共射擊24槍，各槍命中環數如下：

10.6""10.8""10.8""10.6""10.6""10.6""10.5"""10.2""10.4"""10.7""10.3"""10.4

10.8""10.9""10.9""10.7""10.4""10.0""10.5"nbsp;"9.8"""10.7""""9.9""10.5"""10.6"，

請問盛李豪射擊的平均環數是多少？

解："平均環數

接下來教師引導學生對運算的結果進行深入分析，讓學生以知識發現者的身份自已得出新的概念[5]。設隨機變量X表示射擊命中的環數，xk表示隨機變量X可能的取值，為事件{"X"="xk}發生的頻率。經過計算得到的平均環數是以頻率為權重的加權平均數。此時教師啟發學生回憶頻率的二特性：試驗次數n不是很大時，頻率具有隨機波動性，導致平均環數也具有隨機波動性；而當試驗次數很大時頻率又具有穩定性。波動性反映的是事物偶然性的一面，穩定性反映的是事物必然性的一面。偶然中蘊含必然，必然中也蘊含偶然，二者既對立又統一。隨著事件的頻率穩定于事件的概率pk，平均環數穩定于。于是得到了以頻率為權重的加權平均數，它是一個常數，就將它定義為隨機變量X的數學期望，也稱為均值。

教師隨后將教學過渡到對中國奧運精神的探討。盛李豪的成功離不開祖國的培養，也離不開他數年如一日的勤奮努力。歷經數百萬次舉槍、瞄準和射擊，經過漫長的過程，最后他獲得登頂后的喜悅、豪邁和榮耀。中國奧運精神是奮發圖強、超越平凡、挑戰自我的拼搏進取精神。

3.3"探討概率經典問題，感悟數學的神奇與震撼

“概率統計”中有很多經典問題，比如“生日問題”“三門問題”“貝特朗悖論”等等。這些隨機問題充滿趣味性，而且與人類的直覺相悖，引人探究和深思。將這些問題設計成小實驗或小游戲，讓學生參與其中，親身體驗到隨機世界的神奇、震撼與魅力，然后再用數學的途徑去探索驗證答案，運用數學知識解釋事物的本質。這樣的教學設計，可以點燃學生學習的熱情與激情，課堂上學生就會有更愉悅的心情以及更活躍的思辨能力。

以生日問題為例。假設一年是標準的365天，在地球上隨機挑選兩個人，他們在同一天過生日的概率大約是0.274%。對于一個規模不算大的23人的群體，“至少有兩人同一天生日”的概率大約是50.7%，很多人可能會認為這個概率應該遠遠小于50%，但實際上這個概率大于50%，出乎意料的高于直覺。因為與我們的直覺相悖，所以這個現象被稱為“生日悖論”。隨著人數的不斷增加，“至少有兩人同一天生日”的概率也不斷增加。

教師在提出“生日問題”的時候，不要急于公布答案，而是先讓學生根據直覺，對“全班60名學生中至少有兩人生日相同”的可能性大小進行猜測，激發學生探究的欲望。接下來進入學生實踐環節，在微信群或QQ群中，讓學生按照從一月到十二月的先后次序，分別寫出自已的生日。經過簡單地統計，學生很快就會發現，確實有兩人甚至三人同一天生日，并且可能不止一組。對于這樣的結果，學生覺得不可思議。

在學生的好奇與質疑中，再用概率統計的知識計算，“全班60名學生中至少有兩人生日相同”的概率為

它確實是一個接近于1的相當大的概率。在一次試驗中，大概率事件幾乎必然發生。

用數學的思維理解世界，正是數學課程要培養的學生核心素養之一。通過對“概率統計”經典問題的研究，提高學生的科學探究意識，幫助學生透過現象去認識事物的本質。

3.4"融入數學軟件及實驗教學，培養學生科學計算的能力

在“概率統計”課程中可以結合不同的教學內容，設計相應的數學實驗教學環節。教師需要提前制作數學軟件操作手冊，發放給學生。教師在實驗室進行指導性教學，以學生動手為主，教師適當輔導。

“概率統計”課程可以用Excel、Matlab、Python、SPSS、SAS、STATA、R語言等軟件作為實驗平臺。實驗類型有演示性實驗、驗證性實驗、模擬性實驗、設計性實驗等等。實驗課題有：隨機變量的分布、隨機變量數字特征的計算、蒲豐投針實驗模擬、中心極限定理的模擬、參數的假設檢驗與估計、回歸分析與方差分析[6]等等。

在實驗教學中，由于數學軟件的應用，使學生擺脫了枯燥繁冗的數據計算，不僅可以提高“概率統計”課程學習的質量，也培養了學生科學計算與數據處理的能力，為將來參加數學建模競賽做好鋪墊，使學生能更好地適應未來的工作和科研環境。

結語

本文結合教學實際，從四個方面對“概率統計”教學中的策略做了探討：引入應用型案例、滲入課程思政元素、解析經典概率問題、融入數學軟件及實驗教學。教學策略是多種多樣、豐富多彩的，教師應當依據教學目標、教學內容，以學生為中心，選擇最優的教學策略，以期提高教學質量，促進學生全面發展。

參考文獻：

• 孫毅，高彥偉，張靜.大學數學：隨機數學[M].4版.北京：高等教育出版社，2021．
• 陳艷麗，秦麗娟，史戰紅，等.基于學生需求的概率論與數理統計教學策略優化[J].吉林農業科技學院學報，2024，"33"（03）：87-90.
• 張琦.談貝葉斯公式及其應用[J].數學通報，2024，"63（08）"：23-28.
• 張宇，姜雄，李芳芳.基于課程思政理念的概率論與數理統計案例設計[J].大學數學，2024，"40"（03）：114-122.
• 孫鴻雁，趙明，王翠香.以學生為中心的概率論與數理統計教學創新和實踐[J].高教學

刊，2024"（16）：107-110.

• 李輝來，朱本喜，劉明姬.大學數學課程實驗[M].3版.北京：高等教育出版社，2021．

作者簡介：李立明（1975—""），女，漢族，吉林四平人，碩士研究生，副教授，研究方向為微分方程。