如何上好高三探究式數學復習課
——“拋物線的焦點弦有關性質探究”教后感

■詹立波

如何上好高三探究式數學復習課
——“拋物線的焦點弦有關性質探究”教后感

■詹立波

高三數學總復習的主要目的是：幫助考生對已基本掌握的零碎的數學知識進行歸類、整理、加工，使之規律化、網絡化;對知識點、考點、熱點進行思考、總結、處理，從而使學生掌握的知識更為扎實，更為系統，更具有實際應用的本領，更具有分析問題和解決問題的能力。作為高三一線的數學教師，有效引導學生在高三數學復習過程中抓住根本，提高學習效率，是高三數學復習課追求的目標。

高中數學新課程改革的核心是促進學生“自主探究”。數學探究過程是指學生圍繞某個數學問題進行自主探究自主學習的過程。這個過程包括：觀察分析數學事實，提出有意義的數學問題，猜測探求適當的數學結論或規律，給出解釋或說明。探究活動是在教師指導下，緊依教學內容，以學生自主探究為基礎的一種研究性學習活動。它能使學生由被動消極的學習轉為積極主動的學習，是培養學生創新精神和創新能力的重要途徑。

一、提出探究問題

數學探究性教學的設計，要能將學生認知結構內的富有啟發性的常規問題化為教學事實材料。數學教師備課時，要有所預測，自己對問題的解決思路要開闊。設計課堂提問，要有啟發性，問題的設置要在學生的最近發展區最大限度的引發學生積極思維，這種問題情境可為學生的聯想探究提供有效啟發和可靠的基礎。學生往往從問題出發，通過不同層次的聯想、變化，延伸出不同類型的新問題，從而為不同層次的學生提供廣闊的思維空間，這對培養學生思維的開放性和合乎情境的推理能力有重要的作用。

在課題“拋物線的焦點弦有關性質探究”的教學設計中，我設計了三個問題，其中問題3包含六個子問題。

問題1：過拋物線焦點弦的兩端點作拋物線的切線，兩切線交點位置有何特殊之處？

問題2：上述命題的逆命題是否成立？

問題3：如圖，AB是過拋物線y2= 2px(p＞0)焦點F的弦，Q是AB的中點，l是拋物線的準線，AA1⊥l，BB1⊥l，過點A，B的切線相交于P點，PQ與拋物線交于點M.

(3)點M與點P、Q的關系

(4)直線PA與∠A1AB，直線PB與∠B1BA的關系

(6)S△PAB的最值問題

問題1和問題2互為逆命題，通過對過拋物線焦點弦的兩端點所作拋物線的切線位置關系的正、逆兩個關系的理解，加深對切線垂直關系的認識。問題3的六個小問題將焦點弦的幾個重要性質包含其中，起到全面認識圖像中的特殊位置關系的作用，其核心是要掌握切線交點與弦中點連線平行于對稱軸。

二、引導探究問題

教學過程中教師一定要注意適時啟發誘導，重視引導的設計。設計課堂提問，要有針對性和層次性，提出問題的難度要適中，有些較難的問題就得想辦法，補充適當的輔助性問題，把大題化小，分步提問，不可設計太難的題目為難學生。對于只要求學生回答是與否的問題，沒有思考價值，也不能作為探究性教學的問題。

在問題1和問題2的探究過程中，本人分別從兩個特例入手，借助于課件的演示，讓學生從直觀上找到兩個問題的結論。以y2=2px(p＞0)為例說明，特例1：當弦AB⊥x軸時，切線交點在準線上;特例2：過準線與x軸的交點作拋物線的切線，則過兩切點AB的弦必過焦點。有了直觀感覺后，從數學的嚴密性來說必須要給出證明，師生共同分析完成特例證明后，學生自然體會到一般性問題證明的方向。通過學生自由摸索證明的過程，可以深刻認識到性質的內容，掌握應用方程的思想解題的方法，大大減少了學生對解析幾何試題的恐懼。

問題3的解決，可以通過分組討論的形式來完成。在六個問題的證明中各組提供了多種證明方法，有的用了向量的方法，有的用了解方程組的方法，有的用了平面幾何的方法，方法多樣，百花齊放。此時，教師切忌用自己的想法來統一全體學生的認識，一定要主動融入學生的探究過程中去，要樂于被學生牽著鼻子走。在解決問題3的第4問時有的小組提出在肯定了(1)、(2)小問的前提下，直接證明△AA1P≌△AFP，以及△BB1P≌△BQP就能很快得到PA平分∠A1AB，和PB平分∠B1BA。首先本人對這種方法提出表揚，在新課程標準中也會涉及部分平面幾何的問題，學生需要熟悉平幾方法證明方法。但畢竟只是少數同學能想到用這種方法，多數同學還是想用解幾的方法計算出角度相等，這時我要求想到平幾方法的小組推薦一名同學上臺現場講解怎么會想到用平幾的方法，用平幾方法如何證明。最后又追問了一個問題：其它的幾問能否也用平幾的方法來證明？同學們的興致一下子高漲起來，多數同學發現第(1)至(5)問也可以用平幾的方法證明，而且明顯比用解幾的方法來證明要快捷得多。

師生共同體驗結論的探究證明過程，讓學生強化了認知體驗的真切性。

三、延伸探究問題

探究的特點不僅要得到眼前的結論，更重要的是要能擴展出去將結論放到更一般的環境中去。

完成我所提出的幾個問題之后，我要求學生互相討論，共同總結通過這些結論的證明還可以得到哪些有用的結論。整個課堂氣氛極其熱烈，得到的結論也是五花八門，最終寫出幾個最有用的延伸：1、切線交點與弦中點連線平行于對稱軸;2、當弦AB不過焦點即切線交點P不在準線上時，切線交點與弦中點的連線也平行于對稱軸;3、過準線上任一點作拋物線的切線，過兩切點的弦最短時，即為通徑。

以上問題都是針對拋物線的焦點弦這種特殊情況而言的，我要求學生按照上課時的探究模式下課后自己探究以下幾個問題：

問題1:當弦AB不過焦點，切線交于P點時，有無與上述結論類似結果？

問題2:橢圓、雙曲線中的切線方程是什么？有無類似的結論？

高三復習過程中，課堂教學是整個備考的中心環節。在教學中，教師要始終鼓勵學生自主地操作、嘗試、交流、討論、質疑、解惑、獲取，把問的權利交給學生，把講的機會讓給學生，把做的過程放給學生。盡可能多給予學生自主地、創造地學習的時間和空間，形成一種生動活潑的學習局面，提高學習效率。

（作者單位：武鋼三中）

見習編輯 王愛民