換元法在初中數學解題中的應用

換元法是利用新的變量替換題目中的某個變量，將非典型的題目變得典型題目，從而降低題目解答的難度.在初中數學解題中，教師應當引導學生靈活利用換元法，化困難為容易，化煩瑣為簡單，幫助學生找出解題突破點，明確題目解題思路，讓學生能夠快速、準確地解題.

1利用換元法，解答因式分解問題

在因式分解解題時，利用換元法，教師需要引導學生分辨出代數式需要替換的部分，使用新的變量替換，通過這樣的方式，可以降低因式的項數，將問題變得簡單明了，幫助學生快速找出解題思路，

例1將式子 （x+y）（x+2xy+y）+（xy+ 1）（xy-1） 進行因式分解.

解析在此題解答時，如果按照常規方式解題，解題難度比較大，而且題目中含有兩個未知數，使得學生難以找到解題思路.因此，教師可以引導學生利用換元法，即 x+y=m xy=n ，將含有多個項的多項式轉化成二元式，易于學生思考和找出解題思路，順利解答題目.

設x+y=m，xy=n，

所以原式轉化為 （x+y）（x+2xy+y）+（xy+1）（xy-1）=m（m+2n）+（n+1）（n-1） 通過計算得出 m²+2mn+n²-1 .簡化可以得到 （m+n）²-1=（m+n+1）（m+n-1）

2 利用換元法，解答方程（組）問題

在初中數學解題中，利用換元法，能夠將復雜的新知識轉化成熟悉的舊知識，讓學生靈活利用知識解題.在方程或者方程組問題解答時，教師需引導學生對未知條件和已知條件的關系進行分析，找出其中隱藏的聯系，幫助學生快速解題.

例2 已知方程組 中的解x，y 滿足 x+y=5 ，求解 k 的值.

解析 在題目解題時，可以采取加減消元的方

法解題. ，將 ① 乘以2，與 ②相減，可以得出 5y=-7k-6 即 （2 ，將 ② 乘以3，減去 ① ，可以得到 因為 x+y=5 ，所以16k+13 .解得 k=2 例3解方程 （x²+3x+4）（x²+3x+5）=6

解析此題是一道典型的方程題.對于初中學生而言，采取常規方式，對題目進行去括號，會得到一個四次方程，使得解題變得復雜.因此，教師可以引導學生利用換元法，進行巧妙換元，將問題簡化處理，幫助學生解題.在換元時，教師需要讓學生根據方程結構選擇合適換元方式，確保解題的準確性.

設 x²+3x=y ，則原方程可以轉化為 y²+9y+14=0 .簡化可以得到 （y+2）（y+7）=0 解得 y=-2 或 y=-7 將其代入 x²+3x=y ，即 x²+3x=-2 和 x²+3x=-7 因為

，此方程無解，舍去.所以 x²+3x=-2 ，因式分解為 （x+1）（x+2）

=0 ：解得 x=-1 或者 x=-2

3利用換元法，解決大小比較和計算問題

在初中數學解題中，利用換元法可以降低解題難度，提高學生解題效率.借助換元法，能夠引導學生對復雜問題進行簡化，展示出解題過程.在大小比較和計算的題目中，利用換元法幫助學生找出解題思路，解得問題答案.換元法作為有效的解題工具，能夠鍛煉學生數學解題能力，培養學生的數學思維.

例4若 ，試（20比較 A，B 的大小關系.

解析 對于此類數字比較大的題目，看似非常的復雜，使得學生不知道如何下手，因此，教師可以引導學生對題目中的式子進行觀察，找出其中的規律或者特點，之后利用換元法，使得題目難度降低，樹立學生自信心去解題.

令 x=5678901234，y=6789012345， 因為 x，y 均大于零，且 2xgt;y ，即 2x-ygt;0 ，所以 A-Bgt;0 ，即 Agt;B ：例5 計算 解析 令 2021=a ，所以原式

4結語

在初中數學解題中，對于一些特殊的問題，采取常規方式解題難度大或者無法解題時，教師可以引導學生利用換元法，對題目進行分析，準確找到需要換元的元素，將復雜問題變得簡單，讓學生快速找到解題方法，突破解題障礙，提高學生解題效率.

參考文獻：

[1]許文倩.初中數學解題中換元法例題解析[J].數理天地（初中版），2023（23）：4-5.

[2」陳剛.換元法助力提升初中數學解題效率[J].數理天地（初中版），2023（23）：31-32.