運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決實(shí)數(shù)問題

1方程思想

例1已知非零實(shí)數(shù) 滿足 ∣2a-4∣+∣b+2∣+ ，求 a+b 的平方根.

解析 因?yàn)樗阈g(shù)平方根的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，所以 （a-3）b²?0 又 b²?0 ，所以 a-3?0 ，即 a?3 ，所以 ∣2a-4∣=2a-4 原式變?yōu)椋? 2a ，即 由非負(fù)數(shù)的意義可知 b+2=0 且 （a-3）b²=0 .那么 b=-2，a=3 所以 a+b 的平方根是 ±1

點(diǎn)評要挖掘被開方數(shù)的隱含條件，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的意義，建立方程進(jìn)行求解.

2 對應(yīng)思想

例2（1）若 ，則

（2）若 ，則

解析算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)移動一位，被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)就移動兩位，二者的小數(shù)點(diǎn)移動方向保持一致.

（1）0.5由50的小數(shù)點(diǎn)向左移二位，又 7.07，則將算術(shù)平方根的結(jié)果7.07的小數(shù)點(diǎn)向左移動一位，即

同理，由 得

（2）若 ，由 ，則 x=0.0005

點(diǎn)評求含小數(shù)位移動的數(shù)的算術(shù)平方根或被開方數(shù)，要將被開方數(shù)與算術(shù)平方根結(jié)果對應(yīng)，位移數(shù)位要對應(yīng)，不能弄混.

3窮舉法

例3 圖1是一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器.

（1）是否存在輸入 x（x?0） ）值后，始終輸不出y 值？為什么？

（2）輸入一個兩位數(shù) x ，恰好經(jīng)過兩次取算術(shù)平方根才能輸出 y 值，則 ：

（3）輸入一個兩位數(shù) x ，恰好經(jīng)過三次取算術(shù)平方根才能輸出 y 值，則

0.0005解析（1）因?yàn)?或1的算術(shù)平方根是它本身.始終輸不出 y 值，則 x 的算術(shù)平方根始終是有理數(shù)，則只有0或1，所以此時 x=0 或1；

（2）經(jīng)過兩次取算術(shù)平方根才能輸出的數(shù)有25或36或49或64；

（3）經(jīng)過三次取算術(shù)平方根才能輸出的數(shù)有16或81.

點(diǎn)評一個數(shù)的平方是兩位數(shù)，全部列舉出來一共只有6個，即 16，25，36，49，64 和81，根據(jù)題目的要求逐一嘗試，進(jìn)行取舍即可.

4整體思想

例4已知 a²+abgt;ab-b² ，求 a²-2ab+b² 的平方根.

解析 由無理數(shù)的意義及對應(yīng)關(guān)系可知：

a²-ab=6，ab-b²=2

兩式相減得 a²-2ab+b²=4

所以 a²-2ab+b² 的平方根是 ±2

點(diǎn)評本例中發(fā)現(xiàn) （a²-ab），（ab-b²） 與 a²- 2ab+b² 之間有特殊關(guān)系，通過整體相減得出結(jié)果.

5估算法

例5已知 ，其中 x 是整數(shù)，且0 的相反數(shù)的立方根.

解析因?yàn)?

則

則 .

所以 ，

所以 的相反數(shù)的立方根為

點(diǎn)評讀懂符號語言表示的意義，可知 y 為一個純小數(shù)，再估算出 的整數(shù)及小數(shù)部分.

6數(shù)形結(jié)合

例6在圖2的 4×4 的方格上，畫出長為 的線段，并說明理由.

解析 如圖3，取正方形EFGH四邊的中點(diǎn)A，B，C，D ，則四邊形 ABCD 為正方形，

此時 2=8 ，

所以

點(diǎn)評 根據(jù)正方形的面積，確定正方形的邊

長，數(shù)與形兩者要兼顧，相得益彰.

7 歸納思想

例7（1）計(jì)算 ， ，…， （ λ_n 為正整數(shù)）；

（2）計(jì)算 為正整數(shù)）；（3）請你通過（1）和（2）的計(jì)算，找出其中的規(guī)律；（4）如果將根號內(nèi)的數(shù)換成任何實(shí)數(shù)，是否仍然保持這種規(guī)律？需要加附加條件嗎？

解析 （1） ：（2） （3）規(guī)律：正數(shù)的平方的算術(shù)平方根就等于這個數(shù)，一個數(shù)的立方的立方根等于這個數(shù)；（4）如果 Ψ_a 為任意實(shí)數(shù)，則有

點(diǎn)評由幾個特殊的算式總結(jié)出一般規(guī)律，從解題中發(fā)現(xiàn)一般結(jié)論，概括事物的本質(zhì)特點(diǎn).

8 分類討論

例8 已知 ，求 a 的值.

解析 因?yàn)榱⒎礁扔谒旧淼臄?shù)有0和±1 ，所以當(dāng) 4-a²=0 時原等式成立，則 a=±2 ：當(dāng) 4-a²=1 時原等式成立，則 ：當(dāng) 4-a²=-1 時原等式成立，則 ：綜上， a 的值為 ±2 或 或 ：

點(diǎn)評本題根據(jù)立方根的性質(zhì)，得到使原等式成立的條件是：被開方的數(shù)是0或 ±1 ，再逐個分類討論，建立三個方程，解出方程即可.

9 結(jié)語

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要加強(qiáng)對數(shù)學(xué)方法的理解與應(yīng)用，達(dá)到對數(shù)學(xué)思想有效理解與掌握的目的，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)思維能力的提升.