“圓”常見定理及相關題型的解題技巧分析

1垂徑定理

垂徑定理指的是垂直于弦的直徑平分這條弦以及弦所對的弧，由五個基本要素組成，即通過圓心、垂直弦、平分弦、平分劣弧、平分優弧，應用該定理只要知道其中任意兩個要素，就能推理得到其他三個要素，從而對相關問題作出具體解答.

例1如圖 1，?O 是 ΔABC 的外接圓， AD⊥ BC 于點 D ，圓 ∵O 在 AD 上， AB=10，BC=12 ，求?O 的半徑.

思考首先線段AD經過圓心，且垂直于 ?O 上的弦 BC ，根據垂徑定理可知 AD 平分 BC ，假設所求圓半徑，利用勾股定理列式解答，即可得到具體值.

解析 如圖2，連接 OB ，因為 AD 是 ΔABC 的高，

所以 .

在 RtΔABD 中，

設圓的半徑為 R ，

則 OD=8-R ，

在 RtΔOBD 中 ，R²=36+（8-R）² 解得

.

故圓 o 的半徑為

2 圓周角定理

圓周角定理是指同一個圓中，相同的弧長對應圓周角度數是所對圓心角度數的一半，該定理通常用來解答與圓有關的角度問題.應用時首先找到已知角度對應的弧，再找出相關圓心角或圓周角，對問題作出解答.

例2如圖 3，ΔABC 內接于 _?O，OD⊥BC 于點 D，∠A=50^° ，則 ∠OCD 的度數是（ ）

（A） 40^° .（B）45°.（C） 50^° ．（D） 60^°

思考首先角 A 屬于弧 BC 所對的圓周角，可考慮利用圓周角定理構造圓心角，以及圓心角和所求 ∠OCD 有一定聯系，通過三角形內角和求解可得到正確答案.

解析 如圖4，連接 OB ，

因為 ∠A=50^°

所以 ∠BOC=2∠A=100^°

因為 OB=OC

所以 故正確答案為選項（A）.

3 切線長定理

切線長定理具體是指在圓外任意一點作圓的兩條切線，這兩條切線的長度相等.應用該定理既可以求解長度問題，也可以解答相關角度問題，解題時還需牢記從圓外任意一點得到的切線這一基礎前提.

例3如圖5，點 P 是 ?O 外一點， PA，PB 分別是 ?O 的切線， ?A，B 為切點，點 C 在 ?O 上，連接OA，OC，AC

（1）求證： ∠AOC=2∠PAC

（2）連接 OB ，若 AC//OB，?O 的半徑為5， AC=6 ，求 AP 的長.

思考求解第（2）問，求切線 AP 的長可根據切線長定理轉化成求 PB 的長度，不妨利用勾股定理列式解答，構造直角三角形并結合圓的半徑與切線長定理列式，代入具體值即可求解.

解析 （1）過程略；

（2）如圖6，連接 OB ，延長 AC 交 PB 于點 E .因為 PA，PB 是 ?O 的切線，

所以 OB⊥PB，PA=PB

因為 AC//OB ，

所以 AC⊥PB ，

即四邊形OBEH是矩形，

所以 OH=BE，HE=OB=5

因為 OH⊥AC，OA=OC ，

所以 .

即 BE=OH=4 ，

AE=AH+HE=8，

因為 PA²=AE²+PE² ，

所以 PA²=8²+（PA-4）²

解得 PA=10

4結語

基于上述例題，分別對垂徑定理、圓周角定理、切線長定理的應用進行了介紹和分析，不同定理對應具體內容不同，需要學生們學習和熟練掌握.與圓有關的定理還有其他內容，學生們需要掌握更多，從而能夠開闊解題思路，提高解題效率.

參考文獻：

[1]孫海峰.微專題：“圓”中常見定理及常見輔助線[J].中學數學，2016（16）：68-69.

[2]丁幫琴.復雜多變的圓——例析中考數學圓相關問題解題思路[J」.數理天地（初中版），2025（2）：30-31.