初中數學旋轉綜合題常見題型分類與分析

1 面積問題

初中數學中，與旋轉有關的求面積問題，主要是求解旋轉過程中所圍成的圖形對應的具體面積，應結合旋轉前后圖形一致的特點，判斷所求圖形的形狀，運用割補法分析所求面積，即可對問題做出解答.

例1已知兩塊相同的三角板如圖1所示，點B，C，E 在同一直線上， ∠ABC=∠DCE=90^° ∠D=∠ACB=30^° CE=AB=4 ，將 ΔABC 繞點C 順時針旋轉一定角度 ），如果在旋轉的過程中 ΔABC 有一邊與 DE 平行，那么此時ΔBCE 的面積是

解如圖2所示，當 AC//DE 時，過點 B 作BF⊥EC 的延長線于點 F

根據題意可知， ∠DEC=60^° ∠ACB=30^° 因為 AC//DE ，

所以 ∠ACF=∠DEC=60^° 所以 ∠BCF=30^° .

所以 AB=4 ，

所以 ，

所以

所以 ΔBCE 的面積為

如圖3所示，當 BC//DE 時，過點 B 作 BG⊥ EC 的延長線于點 G 可得 ∠BCG=∠DEC=60^° 因為 ，所以 所以 ΔBCE 的面積為12，綜上所述， ΔBCE 的面積是 或12.

2角度問題

與旋轉有關的角度問題既可以對滿足題意要求的具體旋轉角度提問，也可以對旋轉后得到圖形的相關角度提問.在解答時，需要根據已知條件找到所求角度與已知角之間存在的聯系，平行、垂直關系，相似、全等三角形都是可以利用的知識點，找到其中的等式關系，即可得到答案.

例2將 ΔABC，ΔADC 按如圖4所示擺放，AC 邊重合，其中 ∠DAC=∠D=60^° ∠B=90^° ∠BAC=45^° ，保持 ΔABC 不動，將 ΔADC 繞點 A 順時針旋轉 α ?(0<α<180) ），在旋轉過程中，當 α= 時， ΔADC 的 DC 邊與△ABC的某一邊平行.

解因為 ∠DAC=∠D=60^°

所以 ΔADC 是等邊三角形， ∠DCA=60^° 因為 ∠B=90^° ∠BAC=45^°

所以 ∠ACB=45^°

當旋轉后 CD 邊與 BC 邊平行時，如圖5所示.

令 AD^′ 與 BC 的交點為 M ，由旋轉可知， ∠D^′=∠D=60^° 因為 BC//C^′D^′ 所以 ∠AMB=∠D^′=60^° 所以 ∠CAM=60^°-45^°=15^° 所以 ∠DAD^′=60^°+15^°=75^°

即 α=75^°

當旋轉后的 CD 邊與 AC 邊平行時，如圖6所示.

因為 AC//C^′D^′ 所以 ∠CAD^′=∠D^′=60^° 所以 ∠DAD^′=∠DAC+∠CAD^′=120^°

即 α=120^°

當旋轉后的 CD 邊與 AB 邊平行時，如圖7所示.

因為 C^′D^′//AB ，所以 ∠BAD^′=∠D^′=60^°

所以 ∠DAD^′=∠DAC+∠BAC+∠BAD^′= 165^° 即 α=165^°

綜上，當 α=75^° 或 α=120^° 或 α=165^° 時，ΔADC 的 DC 邊與 ΔABC 的某一邊平行.

3結語

上述問題分別對旋轉有關的不同題型做出分析與總結，不同題型的考查應結合問題特點運用各類知識點解題.解答所有旋轉問題，都要牢記旋轉前后圖形不改變的特點，從而解答相關問題.

參考文獻：

[1]楊金輝.初中數學與“旋轉”有關的綜合問題分析[J].現代中學生（初中版），2022（22）：39—40.

[2]張東芳，濮安山.運用旋轉變換巧解中考數學題例析[J]中學生數學（初中版），2022(22)：39-41.