初中數學經典習題的分析及解題思路

初中數學內容多樣，具有多種不同類型的習題，對學生解題能力提出了一定的要求[1].學生在解題過程中應精準理解題目中的相關條件，結合初中數學中的相關理論知識，順利解題[2].

例題 已知拋物線y=ax2- 的圖象與 x 軸交于 A，B 兩點，與 y 軸交于 C 點， B 點坐標為（4，0）.如圖1，結合題意，求解以下問題：

（1）拋物線的解析式；

（2）ΔABC 外接圓的圓心位于何處，并求出圓心坐標；

（3）如果點 M 為線段 BC 下方的拋物線上一點，求 ΔMBC 的面積的最大值以及此時 M 點的坐標.

解題分析（1）本題屬于二次函數綜合題，題目運用了轉化思想.函數解析式只有一個待定系數，根據題意，將B點坐標代入解析式即可進行求解.（2）結合相關知識點與題目中的相關條件，利用拋物線的解析式得出 A 點坐標.接著，證明 ΔABC 是直角三角形，結合題目中的條件得出直徑AB與圓心位置，將題目數值代人即可得出圓心坐標.（3）根據題目中的相關要求， ΔMBC 的面積 S_ΔMBC=BC× h ，為了求出最大的面積，需使 h 取最大值，也就是讓點 M 與直線BC之間的距離最大.由此，在解題中，設一條直線平行于 BC ，當此直線與拋物線有且只有一個交點時，交點即為點 M^[3] ：

解 （1）將 B（4，0） 代入拋物線，得出拋物線解析式： （2

（2）結合（1）中所得函數解析式有 A（-1，0） C（0，-2） .

所以 OA=1，OC=2，OB=4 得出 OC²=OA?OB ，又 OC⊥AB ，所以 ΔOAC～ΔOCB ，所以 ∠OCA=∠OBC

所以 ∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+ ∠OCB=90^°

所以 ΔABC 是直角三角形， AB 是 ΔABC 外接圓的直徑.

因此該外接圓的圓心是 AB 的中點，圓心坐標為

（3）結合（2）中的結果，得出 B（4，0），C（0）^-2） ，將坐標代人之后，得出直線 BC 的解析式： y=

若直線 ，直線 ξ_l 的解析式： 當直線 ξ_l 和拋物線只有一個交點時，可列以下方程： ，所以 0，Δ=0

所以 ，所以 b=-4 所以直線

由此點 M 即直線 ξ_l 與拋物線存在的唯一交點，列出以下方程組： 解得 ，所以 M（2，-3）

如圖3，過 M 點作 MN⊥x 軸于點 N ，得出：所以

結語

本例初中數學經典習題融人了初中數學直線與拋物線的的主要知識點.由于解題具有一定的難度，因此解題過程能夠促進學生鞏固基礎，提升解題能力.初中數學經典習題是數學學習的重要載體之一，通過設置具體的問題情境，將抽象的數學概念轉化為可理解的數學問題.學生在解決經典習題的過程中，能夠加深對數學知識的理解，培養良好的邏輯思維能力[4-5]

參考文獻：

[1]王艷平.基于矩形環境下的動態幾何—例析中考數學矩形綜合題解題思路[J].數理天地（初中版），2025（2）：28-29.

[2]鄭效.多維度視角下初中數學謎題的深層次解讀道中考題的解法探究與教學啟示[J].初中數學教與學，2025（1）：22—25.

[3」李齊榮.基于一題一課的初中數學專題復習課實踐與思考——以一道三角形中位線定理證明題為例[J].江蘇教育， 2023（50）：56-58

[4]張瑜.“自主展評”，讓初中數學專題教學更精彩—以中考二輪復習“二次函數綜合題的應用”為例[J].數學教學通訊，2023（35）：72-74.

[5]陳琦.“一題一課”視角下的初中數學習題課初探—基于圓綜合復習題的教學實踐[J].中學教研（數學），2022（12）：26—29.