例說代數推理在尺規作圖中的運用

2025-06-23 00:00:00居斌

數理天地(初中版) 2025年10期

相比2011年版，《義務教育數學課程標準（2022年版)》更注重全面提升學生的動手操作能力、幾何直觀推理能力以及數學核心素養.同時，《義務教育數學課程標準（2022年版）》新增加了代數推理的內容，目標是引導學生通過分析具體問題中的簡單數量關系，并用代數式表示，進而進行推理和證明.尺規作圖與代數推理均能培養和提升學生的邏輯思維與問題解決的能力.將代數推理引人尺規作圖，不僅拓寬了代數推理的應用范圍，更是推動尺規作圖更深層次應用的必要手段.

1 例題分析

許莼舫先生的著作《許莼舫初等幾何四種》中的幾何作圖之代數解析法是將代數推理運用于尺規作圖的重要表現.

在許多作圖題里，要應用代數方法．以 x，y ，z，? ，表示未知線段，以，表示已知線段，根據題設的條件或已知的定理列成方程并求解，凡求得的根能成如下的形式的，便可利用基本作圖法作出未知線段.(1)x=a+b，(2)x=a-b.(3)x=ma. （20

從上舉的8種基本的線段表達式，可推廣而得各種線段作圖題的解法，即代數解析法1：

例1已知在 ΔABC 中， ∠ACB=90^° ，在ΔABC 的邊AB上是否存在點 D ，使得 D 點到邊AC的距離等于線段BD的長的2倍？

分析如圖1，在 AB 上取一點 D ，作 DE⊥AC 于E ，設 BD=x，BC=a，AB=c，由作圖要求知， DE=2x 因為 ∠AED=∠ACB=90^° ∠A=∠A ，所以 ΔADE～ΔABC 所以，所以所以 2cx=ac-ax ，所以 (2c+a)_X=ac ，所以所以（把代數運算的結果寫成適當的比例形式，便于作圖).

解如圖2，延長 BC 至 F ，使得 CF=2AB ，連接 AF ，過點 c 作 CD//AF，CD 交 AB 于點 D

由平行線分線段成比例得，

因為 BF=BC+CF=a+2c

所以

而中

所以

因為

所以

所以邊 AB 上存在點 D 使 D 點到邊 AC 的距離等于線段 BD 長的2倍.

本題有其他解法，但上述方法較完整地體現了代數推理以及尺規作圖的思維脈絡一執果索因.

當然將代數推理應用于尺規作圖并不僅限于上述8種代數解析法.

例2（江蘇省鎮三師2022年中考真題)（1）已知 AC 是半圓 O 的直徑，是正整數，且 n 不是3的倍數）是半圓 O 的一個圓心角.

操作如圖3，分別將半圓 O 的圓心角 ∠AOB= 取1，4，5，10）所對的弧三等分（要求：僅用圓規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）.

從上面的操作我發現，就是利用所對的弧去找的三分之一，即所對的弧.

交流當 n=11 時，可以僅用圓規將半圓 O 的圓心角所對的弧三等分嗎？

它們之間的數量關系是

再試試：當 n=28 時之間存在數量關系，因此可以僅用圓規將半圓 O 的圓心角所對的弧三等分.

探究你認為當 n 滿足什么條件時，就可以僅用圓規將半圓 o 的圓心角所對的孤三等分？說說你的理由.

（2）如圖4， ?O 的圓周角，為了將這個圓的圓周角14等分，請作出它的一條14等分弧 .（要求：僅用圓規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)

解（1）分析，如圖3，當 n=1 時，利用等邊三角形的三個角都等于 60^° 作圖.當 n=4 時，同樣作出一個 60^° 的圓心角所對的弧， 60^°-45^°=15^° ，得到一個 15^° 的圓心角所對的弧，于是可以三等分.當 n=5 時，將 36^° 的弧加倍得 72^° 的弧， 72^°-60^°=12^° ，于是可以將 36^° 的弧三等分.也可以通過 60^°-36^°=24^° .36^°-24^°=12^° ，作出.當 n=10 時， 18^°×3=54^°，60^° -54^°=6^° ，可以三等分.

為了尋找之間的數量關系，不妨設，于是 3x+28y=1 ，顯然， σ_X=ε-9，y=1 是方程的一組整數解，那么，（方程 3x+28y=1 的整數解不唯一，所以答案不唯一）

由上面的分析可以看出，所對的弧能不能被三等分，就是看之間是否存在數量關系，也就是方程是否有整數解.將方程化簡得， 1，也就是方程 3x+ny=1 是否有整數解.

當為正整數)時， 3x+3ky=1，x+ky= ，因為 x，y，k 都是整數，所以 x+ky 是整數，所以 x+ 沒有整數解，所以當為正整數）時，所對的孤都不能被三等分.

當 n=3k+1(k 為自然數）時， 1，方程有整數解 y=1，x=-k ，所以當 n=3k+1(k 為自然數）時，所對的弧能被三等分.

當 n=3k+2(k 為自然數）時， 1，方程有整數解 y=-1，x=k+1 ，所以當 n=3k+ 2(k為自然數）時，所對的弧能被三等分.

綜上所述，當 n 為正整數且不是3的倍數時（原題中的條件），所對的弧都能被三等分.（當 n 不是整數時，所對的弧也有可能被三等分，例如第（2）問，就是時.）

(2）如圖4，因為 ∠POQ=2∠QMP ，則 ∠POQ ，所以圓周角 ∠PMQ 所對的弧就是的圓心角所對的弧.將這個圓的圓周角14等分，就是要作出即的圓心角所對的弧，即將所對的弧三等分，設則 9x+7y=3 ，易得一組解，即 x=-2，y=3 ，于是，，可以如圖作出（方法不唯一).

顯然，這道壓軸題對學生基礎尺規作圖能力要求較低，考查的重點是學生的邏輯思維能力.解題的關鍵是由圖形之間的關系轉化為尋找之間的數量關系，且通過列方程，化簡方程，尋找方程的解，立即大大降低了問題的難度.原試卷答案中，雖然也用了代數方法，但沒有列方程、化簡方程，所以解題過程還是較復雜，理解比較費力.而且，在探究當 n 滿足什么條件時，可以僅用圓規將半圓 O 的圓心角所對的孤三等分過程中，由于沒有列方程，沒有考慮到“在 Ω_n 取什么值時，所對的弧不能被三等分”，所以解答還是不夠清晰完整.事實上，不論 a，b，c 表示弧、線段，還是角，只要方程 ax+by=c 有整數解，都可以由 a ，b 作出 .以此可以看出，大膽徹底地使用代數推理，有時可以使尺規作圖的思路更加清晰順暢.

2 圓內接正五邊形的作法

因為圓內接正五邊形的每一條邊所對的圓心角都是 360^°÷5=72^° ，于是，要作圓內接正五邊形，只要作出一個 72^° 的圓心角或者作出一個 36^° 的圓心角就可以了.而頂角為 36^° 的等腰三角形是黃金三角形，這種黃金三角形的底邊與腰之比為 5-1（黃金比)，下面先證明頂角為 36^° 的等腰三角形的底邊（204號與腰之比為

如圖5，在 ΔMNK 中， ∠K=36^° MK=NK . （20求證：MK

證明如圖5，作 ∠KMN 的角平分線 MP ，MP 交 KN 于點 P ，因為 MK=NK ，所以因為 MP 平分 ∠KMN ，所以 ∠KMP=∠NMP=36^° ，因為 ∠K=36^°=∠KMP ，所以 KP=MP ：因為 ∠MPN=∠K+∠KMP=36^°+36^°=72^°= ∠N ，所以 MN=MP=KP 因為 ∠K=∠NMP=36^° ，∠N=∠N ，所以 ΔKMN～ΔMPN ，所以KM_MN1設 MK=NK=1，MN=MP=KP=x 則 PN=1-x ，所以所以 x²=1-x ，所以 x²+x-1=0 .所以 -1+√5（舍負），所以MN _√5-1得證.如果能夠作出一個底邊與腰之比為的等腰三角形，運用“三邊對應成比例的兩個三角形相似”，可以證明這個等腰三角形與上述黃金三角形ΔMNK 相似，從而得到這個等腰三角形的頂角與∠K 相等，即為 36^°