例析初中數學幾何圖形中線段最值問題

1引言

隨著教育領域的不斷改革與創新開拓，在中考數學的試題中，幾何圖形的線段最值問題，是一種既經典又極具挑戰性的題型，已經逐漸成為壓軸大題，備受廣大師生的關注.

2 例題呈現

例1如圖1所示，在矩形ABCD中， AB=6 ，AD=8 ，動點 E 從點 A 出發沿 AD 運動，同時，點 F 從點 B 出發沿 BC 運動.連接 EF ，過點 D 作 DG⊥ EF 于點 G ，連接 BG .如果點 F 的運動速度是點 E 運動速度的2.5倍，則在點 F 從點 B 運動到點 C 的過程中，線段 BG 的最小值是

解題思路 首先根據題意添加如圖2所示的輔助線和輔助圓，然后利用矩形的性質確定兩個三角形相似，再結合相似三角形的性質確定比例關系，可通過代入比例關系算出MA的長度，接著再利用圓的性質得出NG的長度，利用三角形中位線的性質得出NH的長度，進而計算出 BH 的長度，最后再結合勾股定理，即可算出BN的長度， BN-NG 的長度即為所求的 BG 的最小值.

答案 ：

解析如圖2所示，延長 FE 交 BA 的延長線于點 M ，連接 DM ，假設 DM 的中點是點 N ，過點 N 作NH⊥BM 于點 H ，以點 N 為圓心， DM 的長為直徑作圓，連接 NG，BN

因為四邊形ABCD是矩形， AB=6，AD=8 ，所以 AD//BC 所以 ΔMAE 與 ΔMBF 相似，則 1因為點 F 的運動速度是點 E 運動速度的2.5倍，點 E，F 分別從點 A，B 同時出發，所以 ， 進而可解得 MA=4 ，所以在 RtΔMAD 中， 因為 DG⊥EF ，所以點 G 在以 DM 為直徑的圓上運動，

所以 由圖2可知，當 B，N，G 三點共線時， BG 取得最小值，最小值是 BN-NG 因為 NH⊥BM ，且點 N 是 DM 的中點，所以 HN//AD ，所以 HN 是 ΔMAD 的中位線，所以 所以 BH=AB+AH=8 所以在 RtΔBHN 中， 所以線段 BG 的最小值是

例2如圖3所示，在矩形 ABCD 中， AB=8 ，BC=6，E，F 分別是 AD，AB 的中點， ∠ADC 的平分線交 AB 于點 G ，點 P 是線段 DG 上的一個動點，則 ΔPEF 周長的最小值是 .如果點 F 也是邊AB 上的一個動點，其余條件不變，則 PE+PF 的最小值是

解題思路 根據題意添加如圖4所示的輔助線，然后利用矩形的性質和直角三角形的性質，求出FT 的長度，再利用對稱性得出 PE=PT ，最后即可計算 ΔPEF 周長的最小值.

考慮動點 F ，可得知 PE+PF 的最小值為PT+PF 的最小值，即 TH 的長度.

答案 ;6.

解析如圖4所示，在 DC 上截取 DT ，使得 DT =DE ，連接 FT，PT ，過點 T 作 TH⊥AB 于點 H

因為四邊形ABCD是矩形，所以 ∠A=∠ADT=90^° 因為 ∠AHT=90^° 所以四邊形AHTD 是矩形.因為 （2號TH=AD=6 所以 AH=DT=DE=3 ，所以 HF=AF-AH=4-3=1 在 RtΔHFT 中， （20號因為 DG 平分 ∠ADC，DE=DF ，所以 E，T 關于 DG 對稱，所以 PE=PT 所以 因為 ，所以 ΔPEF 周長的最小值是 ：如果點 F 也是邊 AB 上的一動點，則 PE+PF 小值為 PT+PF 的最小值，即 TH 的長度，PE+PF 的最小值是6.

3結語

通過對上述初中數學幾何圖形中線段最值問題的例題探究，不僅幫助學生復習回顧了相關的幾何知識內容，還鍛煉了學生的邏輯思維能力和綜合實踐能力，讓學生熟練掌握了如何將理論知識應用到解決實際問題中.在解決此類問題的過程中，需要牢牢謹記，動中尋靜，找到幾何圖形中的“不變”存在，然后再靈活應用理論知識進行求解.