運(yùn)用模型思想構(gòu)造相似三角形

要構(gòu)造相似三角形，我們需要從概念出發(fā)，明確可以產(chǎn)生相似三角形的方法.從課本可知，一共有 4種方法可以證明相似：（1）用“平行線截相似”構(gòu)造相似三角形.（2）兩組邊對(duì)應(yīng)成比例及其夾角相等的兩個(gè)三角形相似.（3）有兩個(gè)角相等的兩個(gè)三角形相似.（4）三組邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似.本文從三角形相似的幾個(gè)判定出發(fā)，歸納模型以探究相似三角形的構(gòu)造問題.

用“平行線截相似”構(gòu)造相似三角形

模型1如圖1，在 ΔABC 中， M 是 AC 的中點(diǎn)， P?Q 為邊 BC 的三等分點(diǎn)，若 BM 與 AP⊥AQ 分別交于 D，E 兩點(diǎn)，則 BD 、 DE 、 EM 三條線段的長(zhǎng)度比為（ ）

（A）3：2：1. （B）4：2：1. （C）5：3：2 （D）5：2：1

所以 BD：DF=BP：AF=1：3

所以 1

同理可得：

所以

所以 （20號(hào)

方法2如圖3，過點(diǎn) M 作 MN//BC 交 AP 于點(diǎn) N ，此時(shí)構(gòu)造了 ΔDMN～ΔDBP 和 ΔAMN～ ΔACP ，從而對(duì)問題進(jìn)行求解.

方法1 如圖2，過點(diǎn) A 作 AF//BC 交 BM 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F ，設(shè) BC=3a ，則 BP=PQ=QC=a 因?yàn)?AM=CM，AF//BC 所以 AF：BC=AM：CM=1 .所以 AF=BC=3a ，

方法3 如圖4，連接 MQ ，因?yàn)?M，Q 分別為AC，PC 的中點(diǎn)，所以 ，

此時(shí)構(gòu)造了 ΔDAE～ΔMQE 和 ΔCMQ～ ΔCAP ，從而對(duì)問題進(jìn)行求解.

總結(jié) 在解決上述線段比例問題時(shí)，需要通過作平行線構(gòu)造相似三角形的“A”型或“X”型，然后通過比例轉(zhuǎn)化的方式進(jìn)行求解.

2利用“兩組對(duì)應(yīng)邊成比例及其夾角相等的兩個(gè)三角形”相似來構(gòu)造相似三角形

模型2 如圖5，在 ΔABC 中， ∠ACB=90^° BC=8，AC=6 ，以點(diǎn) C 為圓心，4為半徑的圓上有一動(dòng)點(diǎn) D ，連接 AD，BD，CD ，則 的最小值為

解如圖6，在 CB 上取一點(diǎn) F ，使得 CF=2 ，連接 FD，AF ，所以 CD=4，CF=2，CB=8 .所以 CD²=CF?CB 所以 .因?yàn)?∠FCD=∠DCB ，所以 ΔFCD～ΔDCB ，所以 中所以 ，所以 ，因?yàn)?DF+AD?AF 所以 的最小值是

變式如圖7，在 ΔABC 中， ∠ACB=90^°， BC=12，AC=9 ，以點(diǎn) C 為圓心，6為半徑的圓上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn) D .連接 AD、BD、CD ，則 2AD+3BD 的最小值是

解如圖8，在 CA 上截取 CM ，使 CM=4 ，連

接 DM，BM .因?yàn)?CD=6，CM=4，CA=9 所以 CD²=CM?CA ，所以 .因?yàn)?∠DCM=∠ACD ，所以 ΔDCM～ΔACD 所以 ，所以 ，所以 ，因?yàn)?DM+BD?BM ，在 RtΔCBM 中， ∠MCB=90^°，CM=4，BC=12 ，所以 所以 所以 的最小值為 ，所以 2AD+3BD 的最小值是

3結(jié)語

本文通過兩類模型，展示了相似三角形在求線段比例問題和幾何最值問題中的靈活應(yīng)用.通過模型的構(gòu)建，可以幫助學(xué)生掌握線段比例、最值轉(zhuǎn)化的常規(guī)方法，提升學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]陳麗萍.解讀相似三角形經(jīng)典圖形——A型[J].初中生世界，2021（Z3）：60-62.