例析初中二次函數的綜合題常見題型

中考數學壓軸題常以二次函數為主，結合其他知識考查學生的綜合能力.雖然題目復雜，但題型存在一定的規律.第一問常求拋物線的解析式，后續則結合一次函數、三角形等，考查學生的應用能力，如動點問題、最值問題等.

長度最值問題

長度的最值問題包括圖形的周長最值問題、線段的最值問題.在解答這類問題時，首先需要確定定點，而后根據“兩點之間線段最短”、“直線外一點與直線上點的連線中垂線最短”等知識，確定動點取得最值的位置，進而結合相關知識進行解答.在長度最值問題中，應當積極將問題向以上兩種形式進行轉化，從而降低解題的難度.

例1已知拋物線與 x 軸的負、正半軸分別交于點 A，B ，與 y 軸交于點 C ，且 BO=CO=3AO=3 .點 P 是拋物線對稱軸上的動點.

（1）求拋物線的解析式；

(2）如果點 D 是 x 軸上一動點，求 的最小值.

解析 （20 (1)y=-(x+1)(x-3)=-x²+2x +3

(2）如圖1，在平面直角坐標系中標記點 B 、C，D ，

再在 y 軸上找到點 E ，點 E 的坐標為 .

連接直線 BE ，此時 ∠EBO=30^° ，過點 D 作DM⊥BE ，交 BE 的延長線于點 M ，此時DM

過點 c 作 CN⊥BE ，交 BE 于點 N

此時 CD+DM>CM>CN ，當 _C，D，M 三點共線時，

點 M，N 重合， 的最小值即為 CN

在 RtΔCEN 中，因為 =60^°

所以可求得 即 的最小值為

在解答本題第（1）問時，結合題目信息可求出坐標 A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3) ，代入可得拋物線的解析式為 y=-x²+2x+3 ；第（2）問，首先需要確定點 E ，而后作輔助線 DM⊥BE，CN⊥BE ；此時存在 CD+DM>CM>CN ，且當 _C，D，M 三點共線時， 的最小值即為 CN ；結合幾何關系，可以得到 的最小值為 （20

2 面積最值問題

面積的最值問題也是常見的壓軸題考點，常涉及的問題有三角形面積最值、四邊形最值問題等.在解答這類問題時，常用的方法有補形法、公式法、切線法等.在實際的解題過程中，第一步依舊是求出函數解析式；而后應確定圖形所涉及的定點，在此過程中，結合兩點間的坐標公式，求得兩點間的距離；再結合點到直線的距離公式，確定面積取最值時，動點的位置，最后結合公式，求得動點坐標.

例2如圖2，拋物線 y=ax²+bx-4(a≠0) 與 x 軸交于點 A(-1，0)，B(4，0) ，與 y 軸交于點 C

（1）求拋物線的解析式；

（2）直線 ξ_l 為拋物線的對稱軸，點 D 與點 C 關于直線 ξ_l 對稱，點 P 為直線 AD 下方的一動點，連接PA?PD ，求 ΔPAD 面積的最大值.

解析 (1)y=x²-3x-4.

（2）函數 y=x²-3x-4 ，則其對稱軸直線 ξ_l 為x=1.5 ，

同時，可得 C 點坐標為 (0，-4) ，故 D 點坐標為(3，-4) ，

如圖3，過點 P 作 PF⊥y 軸，交 AD 的延長線于點 F ，

則直線 AD 的解析式為 y=-x-1

因點 P 為直線 AD 下方一動點，故設 P(m，m²-3m-4)(-12+3m+3，m²-3m-4) ，故 PF=-m²+3m+3-m=-m²+2m+3 ，所以 S_ΔPAD=S_ΔAPF-S_ΔPDF （204號 根據表達式 可得，當 m=1 時， S_ΔPAD 取得最大值為8.

本題中第（1）問，將點 A(-1，0)，B(4，0) 代人到 y=ax²+bx-4(a≠0) 中，即可得拋物線解析式為 y=x²-3x-4 ;第(2）問，首先應確定 C，D 點的坐標為 (0，-4)，(3，-4) ，而后作輔助線，可得直線 AD 的解析式為 y=-x-1 ，設 4) (-12+3m+3，m²-3m- 4)，故 PF=-m²+2m+3 ，所以 S_ΔPAD=S_ΔAPF- S_ΔPDF=-2(m-1)²+8 ，即 S_ΔPAD 取得最大值為8.

3結語

綜上所述，可以發現，解答每類問題都需要學生擁有堅實的理論知識和較強的計算能力，并且，還需要學生能夠結合不同題目，靈活作出輔助線.因此，在日常學習中，學生一定要積極總結，不斷歸納解題策略.

參考文獻：

[1陸蘭蘭.例析對二次函數綜合問題的突破策略[J].數理化解題研究，2022(35)：59—61.

[2」高學賢.初中數學二次函數動點問題解題方法探究[J]數理天地（初中版），2023(17）： 8-9