構建函數模型，妙解動態圖形面積問題

1引言

雖然動態圖形的面積問題難度較大，但只需明確其運動規律并掌握其變化情況，便能找到解題的突破口，將動態問題轉化為靜態問題.再利用幾何、代數等知識構建面積的函數模型，最終利用函數性質及問題條件確定最終結果.在這個解題過程中，學生不僅需要理清解題思路，更要深入體會數形結合的思想.

2中考數學平移類動態圖形面積問題解題思路

例題在平面直角坐標系中， O 為原點，點 ，點 B 在 y 軸的正半軸上， ∠ABO=30^° .矩形CODE的頂點 _D，E，C 分別在 OA，AB，OB 上，OD=2

① 如圖3，當矩形 C^′O^′D^′E^′ 與 ΔABO 重疊部分為五邊形時， C^′E^′，E^′D^′ 分別與 AB 相交于點 M ，F ，試用含有 Ψ_tΨ_Ψ 的式子表示 s ，并寫出 Ψ_tΨ_Ψ 的取值范圍；② 當""時，求 Ψ_tΨ_Ψ"的取值范圍.

（1）如圖3，求點 E 的坐標；

（2）將矩形CODE沿 x 軸向右平移，得到矩形C^′O^′D^′E^′ （如圖2），點 C，O，D，E 的對應點分別為C^′，O^′，D^′，E^′ .設 OO^′=t ，矩形 C^′O^′D^′E^′ 與 ΔABO 重疊部分的面積為 s

解題指導

（1）因為 OD=2 ，且四邊形 CODE 為矩形，所以CE=2 ，又因為 ∠ABO=30^° ，所以 ，又 OA= ，所以 ，所以點 E 的坐標為 L

分析本問作為本題的第一小題，求解的關鍵在于找到邊與角的關系，利用三角形與矩形的基本性質求值，較為簡單，也為下一問圖形的平移變化提供前提條件.

（2） ① 如圖3，當矩形從 O 點向右平移至 O^′′ 的過程中， C^′′O^′′D^′′E^′′ 與 ΔABO 重疊部分為五邊形.

根據圖形平移特點，容易知道，當矩形CODE移動到 C^′′O^′′D^′′E^′′ 的時候剛好達到臨界值，此時圖形再沿 x 軸向右平移，陰影部分便不再是五邊形.對于重疊部分的面積可以利用矩形CODE的面積減去平移后的 ΔME^′F 的面積進行計算.

由題意知 OO^′=t ，根據圖3，顯而易見 Ψ_t 的取值范圍，矩形從 O 點向右平移至 O^′′ 之間的重疊部分為五邊形，圖形的運動軌跡剛好為 CE 的長度， CE= OD=2 ，因此 t 的取值范圍為 0

由 可知，矩形CODE 的面積

因為矩形CODE的 C^′E^′//OA ，所以 ∠ME^′F= ∠AD^′F=90^°，∠E^′MF=∠D^′AF=90^°-∠ABO= 60^° ：

矩形 CODE 向右平移 t ，則 ME^′=t ，在 ΔME^′F 中， ∠ME^′F=90^° ∠E^′MF=60^° ，所以 ，因此 ΔME^′F 的面積為

因此，矩形 C^′O^′D^′E^′ 與 ΔABO 重疊部分的面積為

分析本題的解題關鍵點為明確矩形CODE的運動軌跡，找出運動重疊的臨界點，知曉其運動到什么位置時重疊部分為五邊形.特別需要注意的是Ψ_tΨ_t 的取值不應包括矩形未移動時的值以及剛好重疊部分為四邊形的值.另外，在計算重疊部分的面積時，直接計算較為麻煩，而巧妙利用兩個簡單圖形的面積相減更容易得出，學生在解題時需注意解題方法，及時轉變思維.

② 根據 ，先觀察左半部分，S的最小值為 ，由于矩形CODE隨著向右平移，其重疊部分的面積也是逐漸減小的，因此，計算重疊部分剛好為四邊形時的面積 ，所以，圖形仍需右移.此時重疊部分的面積即為直角梯形的面積（如圖4），即當 2?tlt;4 時，有 D^′A

所以 所以

，符合 的右半部分，因此當 時， ，符合 2?tlt;4

當圖形繼續右移，重疊部分變為三角形，當 t=4 時為臨界值（如圖5），當 4?tlt;6 時 ΔJ^′D^′=6-t，PO^′ ，所以 （6-t）Ω² ，當 時 （舍去）.

綜上所述，當 時， t 的取值范圍為

分析本題需要學生細心觀察，擁有較強的作圖能力以及空間思維能力，能明白重疊圖形從五邊形到四邊形再到三角形的變換過程，根據圖形變化分類討論，精準把握t的取值范圍，最終一步一步將問題化解.此題難度雖然較大，蘊含著豐富的數學思想和邏輯推理技巧.

3結語

平移類動態圖形面積問題在中考數學中屬于難度較高的題型，學生需要仔細閱讀題目，分析問題條件，將圖形的運動過程分類歸納，有清晰的思路框架，逐步構建出函數模型，再利用函數模型進行分析，從而解決問題.所以在平時的學習中，學生也需注重細節，培養嚴謹的數學思維和推理能力.