利用垂線段最短求解“胡不歸”問題的應用探究

例1如圖1所示，在菱形ABCD 中， AB= AC=10 ，對角線 AC 與 BD 相交于點 O ，其中點 M 在線段 AC 上，且 AM=3 ，點 P 為線段 BD 上的一個動點，則 的最小值是

答案 ：

解析 結合菱形和三角形的性質能夠得到ΔABC 是等邊三角形，在確定動點位置后，要利用 的最小值，即垂線段最短的性質求解問題.

如圖2所示，過點 P 作 PE⊥BC 于點 E

根據題意可得，已知四邊形ABCD為菱形，且 AB=AC=10 .

所以 AB=BC=AC=10 且 ∠ABD=∠CBD

根據三角形性質可得 ΔABC 是等邊三角形，所以 ∠ABC=∠ACB=∠BAC=60^° 其中 ∠ABD=∠CBD=30^° 因為 PE⊥BC ，所以 ∠BPE=∠BEP-∠PBE=90^°-30^°=60^°， 結合三角關系可得 ，則 所以當點 P，M，E 三點共線時， PM+PE 有最小值 ME .又因為 AM=3 .所以 MC=AC-AM=10-3=7 因為 所以 所以 的最小值為

例2如圖3所示，已知拋物線 y=ax²+bx+

Ψ_c 與 x 軸交于兩點 A（1，0），C（-3，0） ，與 y 軸交于點B（0，3），D 為拋物線的頂點.

（1）求拋物線的解析式，還有點 D 的坐標；

（2）假設 R 是 y 軸上的一個動點，連接 AR ，求 的最小值.

解析第（2）問可通過作輔助線得到點 A 到BC之間的垂線段，構造出與問題相關的線段或角，在三點共線時可利用垂線段最短的性質得到 AR+ 的最小值.

（1）根據題意，將點 A，B，C 代人拋物線 y=ax²+bx+c 中，

可得 （20解得 b=-2 ，c=3，a=-1， （204號所以拋物線的解析式為 y=-x²-2x+3 .因為 y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4 ，可得到點 D 的坐標為 （-1，4） ·（2）如圖4所示，連接 BC ，過點 R 作 RH⊥BC

于點 H ，過點 A 作 AG⊥BC 于點 G .結合題意，已知 OB=OC=3 且 ∠COB=90^° 所以根據勾股定理可得

，且 ∠HBR=45^° .

則在 RtΔHRB 中， ，所以 因此當 A，R，H 三點共線且 AH⊥BC 時， 有最小值，且最小值為 AG 的長度.可結合三角形面積得到： 解得結果為 .所以 的最小值為

結語

在初中數學的“胡不歸”問題中，會構造形如4 PA+kPB ”的最值問題，解題關鍵在于構造與0 kPB ”相等的線段，需要通過作輔助線將問題轉化為“ PA+PC ”型問題，形式中的“PB”必須是一條方向不變的線段，這樣才能利用三角函數得到的“kPB”等線段，最后利用垂線段最短的性質求解問題.在解決“胡不歸”問題時，需要首先判斷問題的類型，即求最大值還是最小值，其次要靈活運用幾何、代數或者數形結合的方法，注意構造輔助線或設立代數表達式，使得該類型問題更容易求解.