靈活運(yùn)用旋轉(zhuǎn)思想解答初中數(shù)學(xué)幾何試題

旋轉(zhuǎn)思想，從數(shù)學(xué)視角來看，是指一個(gè)圖形圍繞一個(gè)定點(diǎn)按照一定角度進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)，進(jìn)而得到另一個(gè)大小與形狀完全相同的圖形，該定點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)角度則是旋轉(zhuǎn)角，在這個(gè)過程中，圖形的方向與位置均會(huì)發(fā)生變化.初中數(shù)學(xué)教師可引領(lǐng)學(xué)生靈活運(yùn)用旋轉(zhuǎn)思想解答幾何試題，明確不同對(duì)象在旋轉(zhuǎn)時(shí)所遵循的具體規(guī)律，并將這些規(guī)律當(dāng)作解題的已知條件來使用，找到參數(shù)之間存在的關(guān)系，使學(xué)生盡快確定解題的切入點(diǎn)，對(duì)解題流程進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，最終成功解題.

1靈活運(yùn)用旋轉(zhuǎn)思想解答角度類試題

在初中數(shù)學(xué)幾何解題訓(xùn)練中，求角的角度類題目較為常見.解答此類試題時(shí)，要認(rèn)真分析題目中給出的角度數(shù)據(jù)，觀察圖形中關(guān)鍵角的位置，若直接求解難度較大，教師便可指導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用旋轉(zhuǎn)思想，通過旋轉(zhuǎn)將所求角集中起來，實(shí)現(xiàn)由陌生到熟悉的轉(zhuǎn)變，讓學(xué)生快速找到解題方案和思路，從而順暢如求出角度大小[1].

例1如圖1，等邊三角形ABC中有一點(diǎn) P ，PA=3，PB=4，PC=5 ，請(qǐng)求出 ∠APB 的度數(shù).

分析在處理這道角度類題目時(shí)，當(dāng)題目中出現(xiàn)3、4、5這組經(jīng)典數(shù)據(jù)時(shí)，往往會(huì)聯(lián)系到勾股定理，這三個(gè)數(shù)據(jù)可以組成一個(gè)直角三角形，不過具體到本題中，這三條邊卻分散在一個(gè)三角形的內(nèi)部.所以，解題的關(guān)鍵在于運(yùn)用旋轉(zhuǎn)思想將這3條邊轉(zhuǎn)變到同一個(gè)三角形中，這樣就能夠輕松求出 ∠APB 的度數(shù).

詳解根據(jù)題意，可讓 ΔAPB 以點(diǎn) A 為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60^° ，由此得到 ΔADC ，連接 PD ，如圖2所示.

那么 AD=PA=3，DC=PB=4，∠PAD= 60^°，∠APB=∠ADC

則 ΔPAD 為等邊三角形，據(jù)此可以得到 PD=PA=3

故在 ΔPDC 中，有 PD²+DC²=3²+4²=5² 而 PC²=5² ，

那么 ΔPDC 是直角三角形，其中 ∠PDC =90^° ，

而 ∠APB=∠ADP+∠PDC=60^°+90^° =150^°

所以 ∠APB 為 150^°

2靈活運(yùn)用旋轉(zhuǎn)思想解答長度類試題

在初中數(shù)學(xué)幾何解題教學(xué)中，求線段長度類試題屬于一大基礎(chǔ)題型，難度通常不是特別大，不過有些題目提供的已知條件較少，學(xué)生容易遇到解題障礙，這時(shí)教師可引領(lǐng)他們采用旋轉(zhuǎn)思想，對(duì)圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)和變形，明確旋轉(zhuǎn)前后邊、角的變化與不變情況，使學(xué)生找到簡(jiǎn)潔明了的解題思路，最終快速求得正確結(jié)果2].

例2如圖3所示，直角梯形ABCD中 AD //BC 且 .AD°，BC=CD=12，∠ABE =45^° AE=10 ，請(qǐng)求出 CE 的具體長度.

分析雖然本題中提供有不少角和邊的信息，但直接求解難度較大.不過，仔細(xì)觀察圖形后會(huì)發(fā)現(xiàn)，可以采用旋轉(zhuǎn)思想，即將 ΔBCE 以點(diǎn) B 為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90^° ，可以得到正方形BCDG，然后利用全等三角形的性質(zhì)找到邊和邊之間的關(guān)系，再通過列方程求出CE的具體長度.

詳解根據(jù)題意，可將 DA 延長，將 ΔBCE 以點(diǎn) B 為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90^° ，使點(diǎn) Ξ(C，E_Ξ) 落在DA的延長線上點(diǎn) _G，M 處，如圖4.

由此可得正方形 BCDG ，

所以 BC=DG=12 ，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，

RtΔBEC?RtΔBMG

故有 BE=BM ，

∠ABE=∠ABM=45^°

所以 ΔABE?ΔABM

AM=AE=10

這時(shí)可設(shè) CE 為 x ，

那么 AG=10-x ，

（204故在 RtΔADE 中，根據(jù)勾股定理可得 AE²= AD²+DE²， 即為 10²=(2+x)²+(12-x) 整理以后能夠得到 x²-10x+24=0 通過解方程可以求得 x₁=4，x₂=6 .所以 CE 的長度為4或者6.

3靈活運(yùn)用旋轉(zhuǎn)思想解答面積類試題

面積類問題在小學(xué)時(shí)期就是熱門的試題與考點(diǎn)，同角度大小、線段長度求解類的題目相比，難度稍大，而且學(xué)生從小學(xué)到初中所學(xué)習(xí)的平面幾何圖形也有不少，包括三角形、平行四邊形、梯形、正方形、長方形、棱形、矩形、圓形等，還有一些多邊形、組合圖形與不規(guī)則圖形等.在求解幾何圖形類面積的題目中，一般都是不規(guī)則圖形，解題難度較大，這時(shí)初中數(shù)學(xué)教師可以提示學(xué)生巧用旋轉(zhuǎn)思想，通過旋轉(zhuǎn)變換得到規(guī)則圖形，促使他們順利解題[3].

例3在圖5中，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC與EFG疊放在一起，其中直角邊的長度均是4，且 RtΔEFG 的直角頂點(diǎn) G 與 RtΔABC 斜邊AB的中點(diǎn) O 重合，現(xiàn)在把 RtΔEFG 繞點(diǎn) O 按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角 α 的范圍是 0^°<α<90^° ，四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角形的重疊部分，如圖6所示，那么在這一旋轉(zhuǎn)過程中， BH 與CK存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？四邊形CHGK的面積有什么變化？

分析本題難度一般，因?yàn)轭}目中直接給出旋轉(zhuǎn)后的情況，所求的是在這一旋轉(zhuǎn)過程中，兩個(gè)被截線段之間的數(shù)量關(guān)系，以及重疊部分四邊形面積的大小有何變化，結(jié)合相關(guān)幾何知識(shí)即可輕松求得結(jié)果.

詳解 因?yàn)?ΔABC 是等腰直角三角形，點(diǎn) O 是斜邊 AB 的中點(diǎn)，

據(jù)此能夠得到 CG=BG，CG⊥AB 那么 ∠ACG=∠B=45^° 又因?yàn)?∠BGH 和 ∠CGK 都為旋轉(zhuǎn)角， 則 ∠BGH=∠CGK A

故 ΔCGK 可以看作是由 ΔBGH 圍繞點(diǎn) O 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，

則BH=CK，S△cGK =S△BGH ，

也就是 S_pqrifHCHGK=S_ΔCGK+S_ΔCGH=S_ΔCGH+ （2

即四邊形 CHGK 的面積在旋轉(zhuǎn)過程中不會(huì)發(fā)生變化，始終是4.

4靈活運(yùn)用旋轉(zhuǎn)思想解答證明類試題

在初中數(shù)學(xué)幾何解題訓(xùn)練中，除計(jì)算類題自比較常見之外，證明類題目也普遍存在，這類證明題通常是證明一些量與量之間的關(guān)系，而旋轉(zhuǎn)思想不僅能夠用來處理計(jì)算類題目，同樣適用于證明類試題，教師可引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用旋轉(zhuǎn)思想確定證明思路和方案，讓他們順利完成證明.

例4在圖7中， ΔABC 中 AC=BC ∠ACB= 90^°，D 為AB邊上一點(diǎn)，請(qǐng)證明： =2CD²

分析解決此類試題時(shí)可直接應(yīng)用旋轉(zhuǎn)思想，關(guān)鍵在于把握好兩個(gè)方面：一個(gè)是確定恰當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)中心與角度，另外一個(gè)是旋轉(zhuǎn)以后的圖形只是位置和方向有所變化，大小與形狀與原圖形完全相同.通過旋轉(zhuǎn)將所證明的等式中的幾條線段集中起來，并借助勾股定理完成證明，

詳解 根據(jù)題意可將 ΔACD 以點(diǎn) C 為旋轉(zhuǎn)中心，按照逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 90^° ，連接 ED .

以此把線段 DB?AD 與 CD 集中到 RtΔBDE 與 RtΔCDE 中，

根據(jù)勾股定理可以得到 ED²=DB²+BE²= DB²+AD²=CD²+CE²=2CD²，

5 結(jié)語

因此 DB²+AD²=2CD²

綜上所述，由于圖形的旋轉(zhuǎn)變換不會(huì)改變自身的大小與形狀，發(fā)生變化的只是圖形的角度或位置，在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)幫助學(xué)生掌握旋轉(zhuǎn)思想的特點(diǎn)與規(guī)律，通過適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)變換圖形位置，以此達(dá)到優(yōu)化圖形結(jié)構(gòu)的效果，使得復(fù)雜的幾何圖形問題變得簡(jiǎn)單化，讓學(xué)生找準(zhǔn)解題的切入點(diǎn)，最終達(dá)到解決問題的目的，進(jìn)而提高他們的數(shù)學(xué)解題水平.

參考文獻(xiàn)：

[1]林艷娜.論旋轉(zhuǎn)思想在初中數(shù)學(xué)解題中的妙用[J].數(shù)理化解題研究， ，2023(23):24-26

[2」陳志高.論旋轉(zhuǎn)思想在初中數(shù)學(xué)解題中的妙用LJ」.試題與研究，2023(6)：19—21.

[3」馬雄政.初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中幾何變換法的有效應(yīng)用[J].數(shù)理天地（初中版），2022(13)：77—78.