數學抽象理解及解題方法探究

三角形全等條件是初中數學中的重要內容之一，不僅涉及數學知識的掌握，還需要學生具備一定的抽象思維和解決問題的能力.三角形全等條件的學習，有利于培養學生數學抽象思維和解決問題的能力，提高數學素養水平.

1數學抽象素養教學存在的問題

在對學生數學抽象核心素養進行培養的過程中，抽取同類數學對象共同的、本質的屬性或特征，舍棄其他非本質的屬性或特征的思維過程.讓學生學會通過抽象、概括去認識、理解把握數學本質.[1]目前在數學抽象素養教學中存在以下問題

（1）唯分數論：當前的教育制度和評價體系往往過于注重考試成績，導致教師和學生都更關注應試技巧和應試知識的掌握，忽視了數學核心素養的全面培養.

（2）教學內容的過度“填鴨”：一些教師過于依賴教科書和輔導資料，只注重知識點的傳授和機械運算技巧的訓練，缺乏啟發式和探究性的教學方法，使學生的創新思維和能力受到限制.

（3）學生的學習興趣和動力不足：數學解題是學生理解和運用數學知識的重要途徑.[2]對于一些學生來說，數學解題可能顯得乏味和枯燥，從而缺乏學習的動力和興趣.這可能與教學內容的設計、教學方法的選擇以及學生對數學的認知等因素有關

（4）缺乏綜合應用能力的培養：豐富核心素養是激發學生學習積極性的有效途徑.[3]一些學生在解決實際問題、數學建模和跨學科應用等方面的素養不足.當前的數學教學往往側重于基礎知識的應用，對于復雜問題的解決和創新性思維的培養有所欠缺

2三角形全等的判定定理

三角形全等的學習內容豐富、方法眾多，對于培養學生的數學抽象素養和推理能力具有重要的作用.教學中需注重甄別三角形全等的條件，選擇相應的方法.三角形全等的判定定理如下.

（1）邊邊邊（SSS）：兩個三角形中，三條邊分別相等，則這兩個三角形為全等三角形.例如， ΔABC 和ΔXYZ 的邊分別為 AB，AC，BC 和 XY，XZ，YZ ，如果 AB=XY，AC=XZ，BC=YZ ，則可以得出這兩個三角形為全等三角形.

（2）邊角邊（SAS）：兩個三角形中兩條邊分別相等，且這兩條邊的夾角度數也分別相等，則這兩個三角形為全等三角形.例如， ΔABC 和 ΔXYZ 的兩邊和它們的夾角分別為 AB，BC，∠B 和 XY，YZ，∠Y .如果 AB=XY，BC=YZ 0 ∠B=∠Y ，則可以得出這兩個三角形為全等三角形.

（3）角邊角（ASA）：兩個三角形中，兩個夾角和它們夾邊的邊長分別相等，則這兩個三角形為全等三角形.例如， ΔABC 和△XYZ的兩夾角和它們的夾邊長分別為 ∠A，∠B，AB，∠X，∠Y，XY ，如果∠A=∠X ∠B=∠Y，AB=XY ，則可以得出這兩個三角形為全等三角形.

（4）角角邊（AAS）：兩個三角形中，兩個夾角和它們其中一個夾角的對邊分別相等，則這兩個三角形為全等三角形.例如， ΔABC 和△XYZ的兩夾角和其中一個夾角的對邊分別為 ∠A，∠B，BC，∠ ∠X 、∠Y，YZ ，如果 ?∠A=∠X，∠B=∠Y，BC=YZ ，則可以得出這兩個三角形為全等三角形.

（5）斜邊直角邊（HL）：兩個直角三角形中，一條直角邊和斜邊分別相等，則這兩個直角三角形為全等三角形.例如， RtΔABC 和 RtΔXYZ 的一條直角邊和斜邊分別為 AB，BC，XY，YZ ，如果 AB=XY 0BC=YZ ，則可以得出這兩個三角形為全等三角形.

3判斷三角形全等的解題實例

（1）已知兩組邊對應相等及另一個待確定條件探索三角形全等.

解題方法：SSS、SAS.

例1如圖所示，已知 AC=BD，O 是 AB 和CD的交點，并均分線段 _AB 和 CD ，求證： ΔAOC 與ΔBOD 全等.

證明方法1：因為 O 均分線段 _AB 和 CD ，所以 AO=BO 0 CO=DO

在 ΔAOC 和 ΔBOD 中，因為 AC=BD AO= B O，CO=DO ，所以 業

證明方法2：因為 O 是 _AB 和 CD 的交點，且均分線段 AB 和 CD ，所以 ∠AOC=∠BOD，AO=BO， CO=DO ，所以 ΔAOC?ΔBOD.

（2）已知一組角及該角的鄰邊對應相等及另一個待確定條件探索三角形全等.

解題方法：SAS.

例2如圖所示，線段 _AB 與 CD 平行且相等，點 E，F 在 AC 上，且 AE=CF ，求證： ΔABF 與ΔCDE 全等.

證明：因為 AE=CF ，所以 AE+EF=CF+ EF ，即 AF=CE

因為 AB//CD ，所以 ∠A=∠C

在△ABF和 ΔCDE 中，因為 AB=CD 0 AF= CE ∠A=∠C ，所以 ΔABF?ΔCDE

（3）已知一組角及該角的對邊對應相等及另一個待確定條件探索三角形全等.

解題方法：AAS

例3如圖所示，已知直角梯形CDEB， ∠D= ∠E=90^° ，點 A 在線段 DE 上， AB=AC ，且 AB⊥ AC ，求證： ΔADC 與 ΔBEA 全等.

證明：因為 AB⊥AC ，所以 ∠BAC=∠D= ∠E=90 ，所以 ∠CAD+∠EAB=90^° . ∠DCA+ ∠CAD=90^° ，所以 ∠DCA=∠EAB ·

在 ΔADC 和 ΔBEA 中，因為 ∠D=∠E=90^° ，∠DCA=∠EAB，AC=AB ，所以 ΔADC?ΔBEA 元

（4）已知兩組角分別對應相等及一個待確定條件探索三角形全等.

解題方法：ASA、AAS.

例4如圖所示，已知 ΔABC 與 ΔDEF 中 _AB //DE，BC//EF ，點 D 和點 C 均在線段 AF 上，而且AD=CF ，求證： ΔABC 與 ΔDEF 全等.

證明方法1：因為 AB//DE ， BC//EF ，所以∠A=∠EDF ∠F=∠BCA

又因為 AD=CF ，所以 AC=DF

在 ΔABC 和 ΔDEF 中，因為 ∠A=∠EDF .AC=DF ∠BCA=∠F ，所以 ΔABC?ΔDEF

證明方法2：因為 AB//DE ， BC//EF ，所以∠A=∠EDF ∠F=∠BCA ，所以 ∠B=∠E

又因為 AD=CF ，所以 AC=DF

在 ΔABC 和 ΔDEF 中，因為 ∠A=∠EDF .∠B=∠E，AC=DF ，所以 ΔABC?ΔDEF

（5）利用直角邊、斜邊探索三角形全等

解題方法：HL.

例5如圖所示，已知 RtΔABF 和 RtΔDCE 中，直角分別為 ∠A 和 ∠D D，AB=CD，E，F 位于 BC 上， AF 和 DE 的交點為 O ， BE=CF ，求證：RtΔABF 與 RtΔDCE 全等.

證明：因為 BE=CF ，所以 BE+EF=CF+ EF ，即 BF=CE

在 RtΔABF 和 RtΔDCE 中，因為 BF=CE .AB=DC ， ∠A=∠D=90^° ，所以 RtΔABF? RtΔDCE

4基于數學抽象素養培養的解題教學策略分析

可以看出，三角形全等的判定形式多樣、方法眾多，是培養學生數學抽象素養及解題能力的良好素材，但在實際的教學過程中，應避免單純地呈現定理及相應的解題策略，而是應注重引導學生主動參與、積極思考，探尋解題的策略.具體注意以下幾個方面.

（1）提供多樣化的問題.教師可以設計一系列多樣化的數學問題，它們涵蓋不同的數學概念和解題方法.[4學生在多樣化的問題思考中培養了數學抽象素養，包括觀察、模式識別、推理、建模、運用等.同時，這些問題也能激發學生的興趣和思維活動，促進他們對數學知識的深入理解.

（2）引導學生分析問題.教師可以引導學生仔細分析問題，理解問題的背景和條件，并提出相關的假設.通過分析問題，學生可以更深人地理解問題，從而更好地進行抽象和推理，并將問題轉化為數學形式，最終解決問題

（3）鼓勵學生探索解題方法.教師可以鼓勵學生嘗試不同的解題方法，包括直覺法、推理法、歸納法等.[5通過多樣化的解題方法，學生可以探索和發現適合自己的解題方法和策略，從而提升自己的創造性思維和解決問題的能力.

（4）提供適當的引導和支持.教師可以在學生解題過程中提供適當的引導和支持，幫助他們厘清思路和解題過程，如提供一些提示，引導學生運用已學的數學概念和方法解決問題，幫助他們理解和應用數學抽象方法.這一過程也可以培養學生的批判性思維和自主學習能力.

（5）強調解題過程的重要性.教師應該強調解題過程的重要性，而不僅僅關注答案的正確與否，鼓勵學生展示解題思路和步驟，讓他們能夠清晰地表達自己的解題思路.[通過強調解題過程的重要性，培養學生批判性思維、創造性思維和解決問題的能力，同時可以更深入地理解數學概念和方法，提高數學抽象素養，并能夠應用數學知識解決實際問題

參考文獻

[1]韓小艷.初中數學核心素養下的解題技巧探析[J].數理化學習（教研版），2018（1）：5-6.

[2]陳建雙.核心素養理念下的初中數學解題能力提升[J].數學學習與研究，2021（10）：74-75.

[3]徐凱.初中數學核心素養下的解題技巧分析[J].數理化解題研究，2019（23）：41-42.

[4]肖婧.如何切實落實初中數學中數學核心素養“數學抽象”[J]中外交流，2019（41）：169.

[5]辛妍.淺談初中數學核心素養中數學抽象能力的養成[J].當代教育實踐與教學研究（電子刊），2017（2）：637.

[6]于潔.如何培養數學抽象核心素養[J].中學課程輔導（教學研究），2019（2）：58.