深挖問題破解，多解變式應用

在解決一些數學問題時，合理探究問題的內涵與實質，可以給問題的解決提供更加豐富的數學解題思路，以及解題的技巧方法；還可以深入挖掘數學問題的結論，給問題的變式與拓展開拓更加寬廣的空間.這也是高中數學解題教學與學習中，師生所追求的良好習慣與優良品質.

1問題呈現

問題（2024年廣東省深圳市高三調研考試數學試卷第14題）已知函數 x₂）（x-x₃） 0 （agt;0） ，設曲線 y=f（x） 在點 （x_i f（x_i）） 處切線的斜率為 k_i（i=1，2，3） ，若 x₁，x₂ x₃ 均不相等，且 k₂=-2 ，則 k₁+4k₃ 的最小值為

分析：該題以含參的三次函數為問題場景，利用三次函數所對應的曲線與 x 軸的三個交點處切線的斜率，結合其中一個負斜率值，進而確定另外兩個斜率所對應的雙變元代數式的最值.問題巧妙將函數、函數與導數、直線與斜率、多變元代數式的最值以及不等式等相關知識加以合理融合與交匯.

該題依托函數與導數的應用、導數的幾何意義、代數式的變形與轉化、基本不等式等相關知識，對于代數式的變形與轉化中的數學抽象、邏輯推理與數學運算等核心素養要求比較高，具有較好的試題選拔性與區分度，

2問題破解

方法1：直接法.

解析：依題知

（x-x₁）（x-x₃）+（x-x₂）（x-x₃）] ，利用導數的幾何意義有 k₁=f^′（x₁）=a（x₁-x₂）（x₁-x₃） ，

，由于 agt;0 則知 （x₂-

，當且僅當 即 x₂-x₁=2（x₃-x₂） 時等號成立.因此， k₁+4k₃ 的最小值為18，故填答案18.

方法2：轉化法

解析：依題知 （x-x₁）（x-x₃）+（x-x₂）（x-x₃）] ，利用導數的幾何意義有 k₁=f^′（x₁）=a（x₁-x₂）（x₁-x₃） . a（x₃-x₁）（x₃-x₂） （20

，結合 k₂=-2 ，可得 0

結合三次函數的圖象與性質以及 k₂=-2 ，可知k₁gt;0，k₃gt;0 ，利用基本不等式，則有 k₁+4k₃= · ，當且僅當 ，即 k₁= 2k₃=6 ，亦即 x₂-x₁=2（x₃-x₂） 時等號成立.因此， k₁+4k₃ 的最小值為18，故填答案18.

方法3：換元法，

解析：依題知 （x-x₁）（x-x₃）+（x-x₂）（x-x₃）] ，利用導數的幾何意義有 k₁=f^′（x₁）=a（x₁-x₂）（x₁-x₃） （24號 f^′（x₃）=a（x₃-x₁）（x₃-x₂）

不妨設 x₁23 ，設 x₂-x₁=mgt;0，x x₂ 1x₃=nlt;0 ，則

： a?2m?（-2n）+10=8+10=18 ，當且僅當 m= -2n ，即 x₂-x₁=2（x₃-x₂） 時等號成立.因此，k₁+4k₃ 的最小值為18，故填答案18.

點評：借助三次函數的求導及其導數的幾何意義，構建對應直線的斜率表達式，為問題的求解奠定基礎.在三個斜率表達式中，常規方法就是用直接法切入，巧妙利用代數式的變換與應用，并結合基本不等式來放縮處理；挖掘表達式之間的關系，合理利用三個斜率關系式的轉化來處理雙變元代數式的最值求解；利用表達式中相關參數的整體化思維進行換元處理，也給問題的求解開拓一個全新的視角.不同思維視角切入與技巧方法的應用，為代數式的分析與挖掘，以及進一步的邏輯推理與數學運算提供條件.

3規律總結

對于以上問題，同時結合轉化法的解題思維與方法求解，可以得到以下結論.

結論：三次函數 0）與 x 軸的三個交點為 . 均不相等，設曲線 y=f（x） 在點 P_i 處切線的斜率為 k_i（i=1，2，3） ，則有

證明：（1）依題有 ·（x-x₃） ，則 x₁）（x-x₃）+（x-x₂）（x-x₃）] ，利用導數的幾何意義有 a（x₃-x₁）（x₃-x₂） 1 1 1 1k +2 k a（x1-x）（x-x） +

結合以上三次函數中與 x 軸的三個交點處切線的斜率結論，可得解決原問題的方法4和方法5.

方法4：性質法.

依三次函數的性質可知 ，結合k₂=-2 ，可得

借助三次函數的圖象與性質，結合 k₂=-2 ，可知 k₁gt;0，k₃gt;0

，當且僅當 即 k₁=2k₃=6 時等號成立.

由上可得， k₁+4k₃ 的最小值為18，故填答案18.

方法5：權方和不等式法，

依三次函數的性質可知 ，結合k₂=-2 ，可得

借助三次函數的圖象與性質，以及 k₂=-2 ，可知 k₁gt;0，k₃gt;0

利用權方和不等式，則有 ，所以 k₁+4k₃?18 ，當且僅 即 k₁=2k₃=6 時等號成立.（204

由上可得， k₁+4k₃ 的最小值為18，故填答案18.

點評：直接利用三次函數中與 x 軸的三個交點處切線的斜率的結論與性質，其實質就是以上方法2的解題思維，進而構建雙變元所滿足的關系式，借助基本不等式或權方和不等式等進行合理放縮與巧妙應用，進而給問題的解決提供更加寬廣的空間，也為問題的進一步深入與變式拓展奠定基礎

4變式拓展

變式已知函數 ·（x-x₃）（agt;0） ，設曲線 y=f（x） 在點 （x_i，f（x_i）） 處切線的斜率為 k_i（i=1，2，3） ，若 x₁，x₂，x₃ 均不相等，且 ，則 k₁+n²k₃ 的最小值為

解析：依三次函數的性質可知 0，結合 k₂=-n（n∈N^*） ，可得

借助三次函數的圖象與性質，結合 k₂=-n（n∈ N^? ），可知 k₁gt;0，k₃gt;0

利用基本不等式，則有 k₁+n²k₃=n（k₁+n²k₃） · ，當且僅當 ，即 k₁=nk₃=n（n+1） 時等號成立.

由上可得， k₁+n²k₃ 的最小值為 ，故填答案 n（n+1）² ·

5教學啟示

在數學解題時，對問題的分析，只是解題的起步階段.學生應基于數學問題的深入分析與挖掘，依托數學“四基\"知識，借助“一題多解”來開拓解題思維，發散數學思維，進而合理深挖問題的內涵與實質；利用結論挖掘內容本質，實現“多題歸一”，合理歸類與綜合，從而合理借助“一題多變\"深入拓展應用，形成“解一題，通一片\"的良好解題效果

只有深入探討與研究，不停留在解題的表面，才可以實現數學解題的最優化，這也是有效落實學生的數學“四基”，提升數學“四能”，提高數學優良品質以及培養數學核心素養等的必經之路，