兩道高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題的探究歷程

在數(shù)學(xué)競(jìng)賽的舞臺(tái)上，各類頗有難度、思維含量高的問題層出不窮，考驗(yàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與解題能力.筆者在探索兩道數(shù)學(xué)聯(lián)賽題的解題過程中，從最初的困惑到逐漸深入探究，尋求解題的關(guān)鍵，從而進(jìn)一步挖掘出背后的數(shù)學(xué)規(guī)律.希望通過分享這一探究歷程，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)其善于思考與提問的習(xí)慣，體會(huì)數(shù)學(xué)探究的樂趣與價(jià)值

1試題分析

題1已知正整數(shù)數(shù)列 滿足 a_n+2=a_n+1+ ），若 a₁₁=157 ，則 a₁=

題2已知數(shù)列 滿足 a_n+2=a_n+1+a_n（n∈ N^* ），若 a₇=8 ，則 a₁+a₂+a₃+…+a₁₀=

題1、題2分別是2014年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北、天津預(yù)賽試題，這兩道題都是以斐波那契數(shù)列為背景設(shè)計(jì)，題1要研究 a₁₁ 與 a₁ 的關(guān)系，題2則要研究前10項(xiàng)和 S₁₀ 與 a₇ 的關(guān)系.根據(jù)斐波那契數(shù)列的遞推關(guān)系 a_n+2=a_n+1+a_n（n∈N^*） 可知，只要給定前2項(xiàng) a₁，a₂ 的值，數(shù)列 也就隨之確定，即數(shù)列 的任何一項(xiàng)都能由 a₁，a₂ 線性表示，當(dāng)然，前 n 項(xiàng)和 S_n 也應(yīng)能由 a₁，a₂ 線性表示.

據(jù)此分析，可得到一個(gè)統(tǒng)一的解題思路：以 a₁ .a₂ 為基本量，先表示數(shù)列 的任何一項(xiàng)及前 n 項(xiàng)和 S_n ，然后再研究項(xiàng)與和的關(guān)系.

2線性關(guān)系的探究

通過歸納，很容易發(fā)現(xiàn)結(jié)論： a₁，a₂ 的系數(shù)就是斐波那契數(shù)列中的項(xiàng).于是引入斐波那契數(shù)列 . ，眾所周知，其通項(xiàng)公式xn= ）.接下來(lái)探究用 a₁，a₂ 表示 a_n 的推導(dǎo)過程.

由遞推關(guān)系 ，依次可 得， α₃=a₁+a₂=x₁a₁+x₂a₂，a₄=a₂+a₃=x₁a₂+ （204 x₂a₂）+（x₂a₁+x₃a₂）=x₃a₁+x₄a₂，a₆=a₄+a₅= （x₂a₁+x₃a₂）+（x₃a₁+x₄a₂）=x₄a₁+x₅a₂……

由此歸納得 ，要嚴(yán)格證明可利用數(shù)學(xué)歸納法.（過程略）

下面是用 a₁，a₂ 表示 S_n 的推導(dǎo)過程

當(dāng) n?3 時(shí) （204號(hào)

實(shí)由饅 電運(yùn)藍(lán)用等比數(shù)列求和公式，得 ，同理 x_n+1-1.于是 S_n=x_na₁+（x_n+1-1）a₂（n?3） ，經(jīng)檢驗(yàn)n=1，2 結(jié)論也成立.

綜上所述，我們得到結(jié)論1.

結(jié)論1：若數(shù)列 滿足 a_n+2=a_n+1+a_n（n∈ （204號(hào)N^? ），則有 a_n=x_n-2a₁+x_n-1a₂ （ n?3. 與 S_n= x_na₁+（x_n+1-1）a₂ 成立.

3聯(lián)賽題統(tǒng)一解

有了結(jié)論1，解決這兩道聯(lián)賽題就方便了，可先寫出斐波那契數(shù)列 的前幾項(xiàng)：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，….

在題1中，由結(jié)論1得 a₁₁=x₉a₁+x₁₀a₂ ，于是34a₁+55a₂=157.

因數(shù)列 為正整數(shù)數(shù)列，所以 a₂?2

當(dāng) a₂=2 時(shí)， a₁ 無(wú)正整數(shù)；當(dāng) a₂=1 時(shí)， a₁=3 業(yè)

在題2中，由結(jié)論1，得 a₇=x₅a₁+x₆a₂= 5a₁+8a₂ ，且 88a₂ ，所以 S₁₀=11a₇=88

4本質(zhì)探究

對(duì)于學(xué)生而言，運(yùn)用結(jié)論1解出這兩道聯(lián)賽題不是最佳策略，特別是題2，要想先得到前 n 項(xiàng)和S_n=x_na₁+（x_n+1-1）a₂ ，過程有點(diǎn)煩瑣，這里只是體現(xiàn)一種解題思路，更重要的是在于運(yùn)用結(jié)論1探究題2的本質(zhì).在題2中，通過計(jì)算可以發(fā)現(xiàn) S₁₀= 11a₇ ，這里11與前10項(xiàng)和的下標(biāo)10、項(xiàng)的下標(biāo)7有什么關(guān)系呢？對(duì)此，筆者提出了一般性問題

問題已知數(shù)列 滿足 a_n+2=a_n+1+a_n（n∈ N^? ），任意給定前2項(xiàng) a₁，a₂ ，試問是否存在正整數(shù) m，n ，使得 S_n=ka_m（k 為與 ^m，n 相關(guān)的常數(shù)）？

問題的處理分3步，

，化簡(jiǎn)整理，得

（3）最后，討論 m-2，n 及 k 的大小關(guān)系，

當(dāng) m-2gt;n 時(shí)，上述等式化為 （-1）ⁿ（p^m-n-2- （204號(hào) q^m-n-2）=p^m-2-q^m-2

又 pⁿ-qⁿ 單調(diào)遞增，得 m-n-2=m-2 ，無(wú)解；當(dāng) m-2?n 時(shí)，上述等式化為 （-1）^m-2× （20 （q^n-m+2-p^n-m+2）=p^m-2-q^m-2 ，

因 ?ⁿ-qⁿgt;0 （ Φ_n∈N^* ），得 （-1）ⁿ=1 ，且p^m-n-2-q^m-n-2=p^m-2-q^m-2

同上述分析，可得 （-1）^m-2=-1 ，且 n-m+ 2=m-2 ，于是，得到 n=2（m-2） ，且 ψ_m 為大于等于3的奇數(shù).

（1）首先，在斐波那契數(shù)列 中，若令 ?= 則 ，這時(shí)通項(xiàng)公式 .由于斐波那契數(shù)列 為單調(diào)遞增數(shù)列，故 pⁿ-qⁿ 單調(diào)遞增，且 ?ⁿ-qⁿgt; 0（n∈N^*）

（2）其次，求 S_n=ka_m 成立的條件.

由結(jié)論1，有 與S_n=x_na₁+（x_n+1-1）a₂

此時(shí) （2?^m-2+q^m-2 ，于是 ，運(yùn)用二項(xiàng)式定理，易知 k 為整數(shù)

另外，當(dāng) m=n=1 時(shí)，有 S₁=a₁ ，此時(shí) k=1 當(dāng) m=2 時(shí)，不存在 n ，使得 S_n=ka₂ ·

結(jié)論2：已知數(shù)列 滿足 a_n+2=a_n+1+a_n（n∈ N^* ），任意給定前2項(xiàng) a₁，a₂

綜合以上分析，最終得到結(jié)論2.

由 a₁，a₂ 任意取值，可得 x_m-1x_n （若存在正整數(shù) m，n ，使得 S_n=ka_m 成立，則 ，即

當(dāng) m?3 時(shí)，只有滿足條件 n=2（m-2） ，且 m 為大于等于3的奇數(shù)時(shí)，才有 S_n=ka_m ，此時(shí) k= 為整數(shù).

當(dāng) mlt;3 時(shí)，只有 m=n=1 能使得 S_n=ka_m ，此時(shí)常數(shù) k=1

對(duì)于題2中的 S₁₀ 與 a₇ ，因?yàn)?10=2（7-2） ，利用結(jié)論2，得到

5兩點(diǎn)感悟

5.1善用歸納探究的發(fā)現(xiàn)策略

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授說過，“善于‘退’，足夠地‘退’，‘退回到最原始而不失重要地步，是學(xué)好數(shù)學(xué)的訣竅”.教師要用好這樣的解題策略，先把問題退回到最簡(jiǎn)單的情形，再通過歸納探究發(fā)現(xiàn)一般性結(jié)論，最后證明，這樣的解題策略，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.筆者通過歸納法發(fā)現(xiàn)了用 a₁，a₂ 表示 a_n 的線性關(guān)系，為繼續(xù)探究作了鋪墊，

5.2要養(yǎng)成善于思考、善于提問的習(xí)慣

面對(duì)一個(gè)陌生的數(shù)學(xué)問題時(shí)，要敢于思考、勇于探索，只有如此，才能有所發(fā)現(xiàn)，有所收獲.另外，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開問題，要主動(dòng)提出問題，不能被問題

牽著鼻子走.離開問題的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)猶如一潭死水，毫無(wú)樂趣；只有善于提出問題、勤于解決問題，才能使數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)豐富多彩.