周期性無(wú)砟軌道-橋梁耦合結(jié)構(gòu)彈性波傳播效應(yīng)分析

中圖分類號(hào)：U213 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

本文引用格式：.周期性無(wú)砟軌道-橋梁耦合結(jié)構(gòu)彈性波傳播效應(yīng)分析[J].華東交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2025，42（2）：95-102

Analysis ofElastic Wave Propagation Effect of Periodic Ballastless Track-Bridge Coupling Structure

Chen Guangqiao

（China Railway No.4 Engineering Group Co.，Ltd.，Hefei 230023，China）

Abstract： In order to explore the elastic wave propagation pattern in the ballastlesstrack structure on the periodic bridge，the ballastlesstrack-bridgecoupling structure is consideredasafour-layers Timoshenko beam coupling model including rail，slab，bed plate and bridge.The plane wave expansion method-energymethod was used to solve its dispersion characteristics.The accuracy of the proposed method was verified by comparing with theresultsofthe finite element method.Then，based on this method，the influence of structural stiffess change on elastic wave propagation was explored， and the formation mechanism of band gap in the dispersion characteristics was clarified.The results show that there are two band gaps inthe ballastlesstrack-bridge coupling structure within 0～50Hz ，and when the longitudinal stiffness is large，the initial frequency and cut-off frequency are mainlyafectedby the longitudinal stiffness ofeach connecting layer.The first and second cut-offrequencies increase with the increase of the stiffness of the glide lamella and the stiffness of the fastener，respectively.This study provides a theoretical reference forthe vibrationreduction of the ballastless track structure on the bridge.

Keywords：balastless track-bridge coupling structure; periodic structure; elastic wave; dispersion characteristics Citation format： CHEN G Q.Analysis of elastic wave propagation effect of periodic ballastlesstrack-bridge coupling structure[J]. Journal of East China Jiaotong University，2025， 42（2）： 95-102.

橋上鐵路作為重要的基礎(chǔ)設(shè)施之一，在鐵路運(yùn)輸中扮演著連接互通的關(guān)鍵角色。然而，隨著高架鐵路橋的增設(shè)和運(yùn)營(yíng)、交通負(fù)荷的增加和橋梁結(jié)構(gòu)的復(fù)雜化，軌道、橋梁振動(dòng)問(wèn)題的復(fù)雜性和多樣性也在不斷增加。振動(dòng)以彈性波的形式在軌道結(jié)構(gòu)內(nèi)部傳播，其產(chǎn)生的本質(zhì)原因即是彈性波的傳播以及彈性波與周圍介質(zhì)的耦合作用[。鐵路橋中彈性波主要沿兩個(gè)方向傳播：較低頻的振動(dòng)沿鋼軌、扣件等向下傳播至軌下結(jié)構(gòu)、橋梁等，影響線路周邊的生產(chǎn)與生活；較高頻則會(huì)沿鋼軌縱向傳播，導(dǎo)致波磨等危害2。目前，降低軌道、橋梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)水平，保障結(jié)構(gòu)安全和使用舒適性、推動(dòng)交通基礎(chǔ)設(shè)施的可持續(xù)發(fā)展已經(jīng)成為鐵路運(yùn)維領(lǐng)域的熱點(diǎn)。因此，對(duì)軌道-橋梁耦合結(jié)構(gòu)的振動(dòng)傳播機(jī)理展開(kāi)研究十分有必要。

無(wú)砟軌道、橋梁均可視為沿線路縱向無(wú)限延伸的周期性結(jié)構(gòu)，其頻散特性所具有的濾波特性使得彈性波在特定頻段內(nèi)迅速衰減而無(wú)法傳播，形成禁帶（帶隙）。與之相反，在其余頻段內(nèi)彈性波可以自由傳播不受影響，稱之為通帶3。目前已有許多學(xué)者基于這一特性，對(duì)周期性鐵路結(jié)構(gòu)展開(kāi)了研究[46]Sheng等將有砟鐵路軌道簡(jiǎn)化為周期性支撐的歐拉梁模型，對(duì)其頻散特性及共振特性進(jìn)行了分析。研究表明，周期性軌道結(jié)構(gòu)的通帶和禁帶的邊界頻率處的傳播系數(shù)為0或 π ，表明在這些頻率下，鋼軌受到垂向簡(jiǎn)諧荷載作用將發(fā)生共振或反共振。易強(qiáng)等以有砟軌道結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，證明了周期性軌道結(jié)構(gòu)具有明顯的帶隙特征，在帶隙范圍內(nèi)彈性波在軌道結(jié)構(gòu)中無(wú)法自由傳播，且外界激勵(lì)也無(wú)法向系統(tǒng)輸入能量；通帶范圍內(nèi)可進(jìn)行能量的輸入與傳播。張?chǎng)魏频葎t基于無(wú)限周期結(jié)構(gòu)的彈性波理論，建立了浮置板軌道結(jié)構(gòu)模型，通過(guò)對(duì)其頻散特性進(jìn)行求解與分析發(fā)現(xiàn)帶隙特征主要受結(jié)構(gòu)剛度影響。那么在對(duì)彈性波進(jìn)行調(diào)控時(shí)，可通過(guò)改變結(jié)構(gòu)剛度來(lái)調(diào)節(jié)禁帶與通帶范圍來(lái)達(dá)到對(duì)彈性波的調(diào)控。相似地，馮青松等[1°]利用平面波級(jí)數(shù)法，獲得了周期性離散支承鋼軌的垂向振動(dòng)帶隙，并分析了結(jié)構(gòu)阻尼參數(shù)、溫度力等對(duì)帶隙特性的影響，為軌道結(jié)構(gòu)振動(dòng)的控制提供了理論基礎(chǔ)。

頻散分析從波傳播的角度出發(fā)，僅需建立單個(gè)元胞模型，建模工作量小、計(jì)算效率高，為研究高速鐵路減振提供了一種新思路。本文將橋上無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為4層Timoshenko梁耦合模型，采用平面波級(jí)數(shù)展開(kāi)法（PWE）構(gòu)建滿足Bloch周期邊界條件的結(jié)構(gòu)位移場(chǎng)，能量法（EM）求解無(wú)砟軌道-橋梁耦合結(jié)構(gòu)的頻散特性，通過(guò)能量法可將微分方程求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為泛函極值求解問(wèn)題，能夠降低耦合問(wèn)題的求解難度。通過(guò)有限元仿真結(jié)果驗(yàn)證理論結(jié)果的正確性，并根據(jù)參數(shù)分析揭示了結(jié)構(gòu)的剛度等對(duì)彈性波傳播規(guī)律的影響，深入探究帶隙的形成機(jī)理。

1無(wú)砟軌道-橋梁耦合結(jié)構(gòu)頻散特性計(jì)算

1.14層無(wú)砟軌道-橋梁耦合結(jié)構(gòu)頻散特性計(jì)算模型

無(wú)砟軌道-橋梁結(jié)構(gòu)由鋼軌、扣件、軌道板、CA砂漿層、底座板、滑動(dòng)層、橋梁等組成，如圖1所示。將其簡(jiǎn)化為4層Timoshenko梁與彈簧的耦合模型，又因無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)與橋梁均可視為沿縱向無(wú)限延伸的正對(duì)稱結(jié)構(gòu)，那么模型建立中可考慮軌道-橋梁結(jié)構(gòu)的1/2，這樣既能夠保證建模的準(zhǔn)確性又能極大簡(jiǎn)化模型。圖1中虛線所框部分即是無(wú)砟軌道-橋梁耦合結(jié)構(gòu)計(jì)算模型的一個(gè)元胞，具體元胞模型如圖2所示，其中1為 32.25m 。

圖2中將鋼軌、軌道板、底座板、橋梁均考慮為T(mén)imoshenko梁，橋梁底部左、右兩端分別為固定支座、滑動(dòng)支座。扣件、CA層、滑動(dòng)層簡(jiǎn)化為同時(shí)考慮縱向與垂向剛度的均布彈簧。

1.2無(wú)砟軌道-橋梁耦合結(jié)構(gòu)的能量泛函

鐵路、橋梁模型為復(fù)雜的耦合結(jié)構(gòu)，求解較復(fù)雜，因此選用能量法求解其頻散特性。上文已將各層部件均考慮為T(mén)imoshenko梁結(jié)構(gòu)，在分析其結(jié)構(gòu)振動(dòng)時(shí)需要各層部件的縱向位移、垂向位移及截面轉(zhuǎn)角位移，根據(jù)Bloch定理及平面波級(jí)數(shù)展開(kāi)，其位移場(chǎng)可以表示為

式中： u_j，ν_j，θ_j 分別為各層部件的縱向、垂向及轉(zhuǎn)角位移 （j=1，2，3，4 ，分別為鋼軌、軌道板、底座板、梁），展開(kāi)項(xiàng)均為 2q+1 項(xiàng)；i為虛數(shù)單位； k_x 為沿 x 方向波數(shù); α_n，β_n，γ_n 均為未知系數(shù)； ±ba₁，±ba₂，±ba₃ 均為未知系數(shù)列向量，其表達(dá)式為

ξ（x） 為試函數(shù)行向量，表達(dá)式為

1.2.1各層結(jié)構(gòu)的動(dòng)能與彈性勢(shì)能

根據(jù)Timoshenko梁理論，鋼軌、軌道板、底座板、橋梁因垂向振動(dòng)、縱向振動(dòng)產(chǎn)生的總勢(shì)能、總動(dòng)能可以分別表示為

式中： U_all，V_all 與 K_all ， M_all 分別為各層結(jié)構(gòu)的總彈性勢(shì)能、總動(dòng)能及其對(duì)應(yīng)剛度矩陣與質(zhì)量矩陣； ω 為振動(dòng)圓頻率； E_j，I_j，k_j，G_j，A_j，ρ_j 分別為各層結(jié)構(gòu)的彈性模量、截面慣性矩、剪切系數(shù)、剪切模量、橫截面積、密度； ， μ_j 為第 j 層的泊松比;

1.2.2 層間連接彈簧的彈性勢(shì)能

鋼軌與軌道板間由扣件連接，將扣件簡(jiǎn)化為均布支撐彈簧，那么根據(jù)扣件處鋼軌與軌道板的位移差，便可得到扣件產(chǎn)生的彈性勢(shì)能。與扣件層相似，軌道板與底座板間的砂漿層、底座板與梁體之間的滑動(dòng)層為均布支撐，二者皆可簡(jiǎn)化為均布彈簧。那么，3層均布彈簧層因振動(dòng)產(chǎn)生的彈性勢(shì)能可以表示為

式中： k_{u（j，j+1）}，k_{ν（j，j+1）} 分別為第 j 層與第 j+1 層間均布彈簧的縱向剛度與垂向剛度; k_u（1，2），k_u（2，3），k_u（3，4） 分別為扣件層、CA層、滑動(dòng)層的縱向剛度；kv（.2），k（2，3），k_{ν（3，4）} 分別為扣件層、CA層、滑動(dòng)層的垂向剛度； U_allc 與 K_allc 分別為各層間連接彈簧的總彈性勢(shì)能及其對(duì)應(yīng)剛度矩陣。

1.2.3 梁底支撐勢(shì)能

本文中梁底部左端為固定支座、右端為滑動(dòng)支座，則其支撐邊界產(chǎn)生的彈性勢(shì)能為

式中： k_bu，k_bv 分別為模擬梁底部邊界條件彈簧的縱向剛度與垂向剛度； U_? 與 K_b 分別為梁底支撐彈性勢(shì)能及其對(duì)應(yīng)剛度矩陣。

1.2.4系統(tǒng)總能量泛函

將各部分的能量泛函組合起來(lái)，便可得到圖1所示模型的總能量泛函為

II=V_all-U_all-U_allc-U_b

1.3 運(yùn)動(dòng)特征方程

對(duì)總能量泛函 變分求解，上述軌道-橋梁耦合結(jié)構(gòu)的振動(dòng)問(wèn)題便轉(zhuǎn)化為特征值求解問(wèn)題，運(yùn)動(dòng)特征方程如下

[K-ω²M]a=0

式中： K=K_all+K_allc+K_b;M=M_all 。此時(shí)，通過(guò)掃描第一不約布里淵區(qū) 波數(shù) k_x ，便可得到周期性無(wú)砟軌道-橋梁耦合結(jié)構(gòu)的頻散特性。

2 頻散特性驗(yàn)證

以周期性無(wú)砟軌道-橋梁結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，根據(jù)表1中參數(shù)建立如圖2所示的4層耦合結(jié)構(gòu)的元胞模型，利用平面波展開(kāi)法-能量法對(duì)其頻散特性進(jìn)行求解[12-13]。為保證計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，選用有限元軟件（COMSOLMultiphysics）求解結(jié)果作為仿真驗(yàn)證。首先，建立一個(gè)有限長(zhǎng)的無(wú)砟軌道-橋梁耦合模型元胞，賦予鋼軌兩端Floquet周期邊界條件，軌道板、底座板兩端為自由邊界。橋梁底部?jī)啥朔謩e設(shè)為固定支座約束、滑動(dòng)支座約束；其次，根據(jù)周期邊界條件輸入波數(shù)，便可求得頻散特性，將文章方法與有限元結(jié)果對(duì)比如圖3所示。

為便于后文的分析，在此處引入無(wú)量綱參數(shù) g （g=k_xl/π） ， ，因此 g 的取值范圍為[-1，1] 觀察圖3可知，在 0～50Hz 內(nèi)本文方法求得的頻散特性曲線與有限元解的曲線趨勢(shì)、頻率范圍都高度一致。圖3中已用陰影將兩階禁帶標(biāo)明： 0～9.06Hz 11.39～42.90Hz 。兩種方法求解頻段范圍如表2所示，二者對(duì)應(yīng)頻率的最大誤差值不超過(guò) 5% ，這也證明了本文方法求解無(wú)砟軌道-橋梁耦合結(jié)構(gòu)頻散特性的準(zhǔn)確性。

表2不同方法計(jì)算無(wú)砟軌道-橋梁耦合結(jié)構(gòu)頻散特性對(duì)比表

采用有限元軟件進(jìn)行求解時(shí)，為滿足計(jì)算精度需對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行網(wǎng)格劃分，越復(fù)雜的耦合結(jié)構(gòu)需劃分的網(wǎng)格數(shù)也就越多。對(duì)無(wú)砟軌道-橋梁耦合結(jié)構(gòu)的頻散特性求解時(shí)，共將其劃分為209148個(gè)單元，計(jì)算耗時(shí) 1125s 。值得強(qiáng)調(diào)的是，本文方法利用MAT-LAB編程軟件對(duì)其頻散特性進(jìn)行求解僅需 28s ，證明了計(jì)算的快速性和高效性。這一優(yōu)勢(shì)意味著該方法可以用來(lái)快速地確定橋上軌道結(jié)構(gòu)中需減振的頻段，評(píng)估減振措施的減振效果，為工程實(shí)踐提供便利和指導(dǎo)，有望在軌道交通的振動(dòng)控制工程方面發(fā)揮重要作用。

3結(jié)構(gòu)剛度參數(shù)分析

為了進(jìn)一步研究軌道結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)頻散特性的影響，以便針對(duì)特定頻段的減振要求而對(duì)軌道結(jié)構(gòu)進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，本節(jié)將采用控制變量法，其余參數(shù)不變的情況下，分別分析扣件剛度、CA層剛度以及滑動(dòng)層剛度變化對(duì)軌道結(jié)構(gòu)頻散特性的影響。

3.1 扣件剛度

扣件作為軌道結(jié)構(gòu)中的重要連接部件，其剛度直接影響著鋼軌與下方結(jié)構(gòu)之間的耦合強(qiáng)度，進(jìn)而影響著彈性波在軌道結(jié)構(gòu)內(nèi)部的傳播與衰減特性。為分析扣件剛度對(duì)結(jié)構(gòu)垂向振動(dòng)傳播的影響，在其他參數(shù)不變的情況下，將扣件縱向剛度由 2.4×10⁷N/m² 增至 4.9×10⁷N/m² ，相應(yīng)地將扣件垂向剛度由7.5×10⁶N/m² 增至 1×10⁷N/m² ，得到扣件剛度增加對(duì)周期性軌道-橋梁結(jié)構(gòu)頻散特性的影響如圖4所示。

觀察圖4（a），可以看到扣件剛度的增加對(duì)第1階禁帶的截止頻率幾乎無(wú)影響；由圖4（b）可以看到，隨著扣件剛度的增加，第2階禁帶的起始頻率由11.39Hz 上升至 11.86Hz ，漲幅僅為 4% ，在實(shí)際的工程案例中可將其對(duì)第2階禁帶起始頻率的影響忽略不計(jì)；由圖4（c）可知，在扣件剛度的增長(zhǎng)量相同時(shí)，第2階帶隙截止頻率受扣件剛度變化的影響最為顯著，其頻率由 42.90Hz 上升至 47.32Hz ，寬度拓寬了 4.42Hz 。這一變化在針對(duì)特定頻段的振動(dòng)控制中具有重要的參考意義。在頻率范圍為 40～50Hz 的減振工程中，可優(yōu)先考慮對(duì)扣件參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

3.2 CA層剛度

在結(jié)構(gòu)內(nèi)部其余參數(shù)均保持不變的情況下，將CA層剛度的縱向剛度、垂向剛度分別由 1.7×10⁸N/m² 、9.0×10⁷N/m² 增至 4.2×10⁸N/m².1.15×10⁸N/m² ，并利用本文方法求解其對(duì)結(jié)構(gòu)頻散特性的影響。圖5給出了CA層剛度變化對(duì)各階起始、截止頻率的影響。

通過(guò)觀察圖5（a）、5（b）和5（c），我們可以清楚地看到CA層剛度變化對(duì)彈性波傳播的影響。首先，由圖5（a）、5（b）可以看到第1階禁帶的截止頻率、第2階禁帶的起始頻率對(duì)CA層剛度變化的敏感度較低，這說(shuō)明CA層剛度變化對(duì)低頻彈性波傳播的影響較小。其次，當(dāng)CA層剛度增加時(shí)，第2階截止頻率僅從 42.90Hz 增長(zhǎng)到 43.61Hz ，增長(zhǎng)幅度僅為1.66% ，這也進(jìn)一步證實(shí)了CA層剛度對(duì)低頻范圍內(nèi)的彈性波傳播影響較小。

3.3 滑動(dòng)層剛度

在其余參數(shù)均保持不變的情況下，滑動(dòng)層剛度

Fig.4Influenceoffastenerstiffness changeonthedispersioncharacteristicsofballastlesstrack-bridgecouplingstructure

變化對(duì)頻散特性的影響如圖6所示。圖6給出了滑動(dòng)層縱向剛度、垂向剛度分別由 1.5×10¹²N/m²，1.2× 10⁷N/m² 增至 4.0×10¹²N/m²，3.7×10⁷N/m² 時(shí)的結(jié)構(gòu)頻散特性圖。

從圖6（a）的結(jié)果中清晰可見(jiàn)，滑動(dòng)層剛度變化對(duì)第1階帶隙截止頻率的影響較大，其頻率由9.06Hz 變?yōu)?15.32Hz ，這表明滑動(dòng)層剛度對(duì)于無(wú)砟軌道-橋梁耦合結(jié)構(gòu)中第1階截止頻率有顯著的調(diào)控作用。進(jìn)一步觀察圖6（b）中的結(jié)果，滑動(dòng)層剛度的變化同樣對(duì)第2階起始頻率產(chǎn)生了顯著影響，從11.39Hz 增加至 17.12Hz 。這進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了滑動(dòng)層剛度對(duì)結(jié)構(gòu)中低頻彈性波傳播的關(guān)鍵作用。然而，與此相對(duì)比，由圖6（c）可知第2階截止頻率對(duì)滑動(dòng)層剛度的變化不敏感。綜合可知，在 20Hz 以下的頻率范圍內(nèi)，滑動(dòng)層剛度的變化會(huì)對(duì)無(wú)砟-橋梁耦合結(jié)構(gòu)的彈性波行為產(chǎn)生顯著影響，這為該頻段內(nèi)的減振工作提供了理論支撐。

4帶隙機(jī)理分析

橋上軌道結(jié)構(gòu)作為大型的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，軌道結(jié)構(gòu)內(nèi)部、軌道與橋梁之間的耦合使得波在各部件間相互傳播。為深人研究彈性波在復(fù)雜耦合結(jié)構(gòu)內(nèi)部的傳播規(guī)律，本節(jié)將對(duì) 0～50Hz 的帶隙形成機(jī)理進(jìn)行分析。既有研究已證明周期性軌道結(jié)構(gòu)中同時(shí)存在局域共振帶隙和布拉格帶隙，其中，局域共振帶隙約在 300Hz 以下，布拉格帶隙一般在 1000Hz 以上。那么，本文所求得兩階帶隙應(yīng)均為局域共振帶隙[1415]。為進(jìn)一步證明該觀點(diǎn)，根據(jù)周期性無(wú)砟軌道-橋梁耦合結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)特征、材料特性等，將其帶隙起始、截止頻率對(duì)應(yīng)的振動(dòng)模態(tài)簡(jiǎn)化為如圖7所示的\"質(zhì)量-彈簧”模型[1]。

圖7中， k₁，k₂，k₃ 分別為扣件、砂漿層、滑動(dòng)層的等效縱向剛度與垂向剛度， m₁，m₂，m₃ 分別為鋼軌、軌道板、底座板的等效質(zhì)量， m₄ 為橋梁的等效質(zhì)量，在計(jì)算時(shí)取 m₄ 為一個(gè)極大值。那么根據(jù)圖7可以得到特征頻率的關(guān)系式如下

而后，將各參數(shù)分別帶入式（10）式（11）求解特征頻率。再根據(jù) ω=2πf ，便可以得到各階局域共振帶隙的起始頻率和截止頻率。表3中給出了PWE-EM的計(jì)算結(jié)果與本節(jié)應(yīng)用動(dòng)力學(xué)特性估算所得值的對(duì)比。由表3可知，采用縱向剛度時(shí)的估算值與所求結(jié)果一致，由縱向振動(dòng)產(chǎn)生的第1階帶隙截止頻率出現(xiàn)在 54.30Hz ，這表明在縱向剛度較大時(shí)，周期性無(wú)砟軌道-橋梁耦合結(jié)構(gòu)內(nèi) 0～50Hz 的帶隙主要源于縱向振動(dòng)。除此之外，兩種方法計(jì)算結(jié)果的高度吻合，也更進(jìn)一步證明了本文方法求解周期性無(wú)砟軌道-橋梁耦合結(jié)構(gòu)頻散特性的準(zhǔn)確性。

表3無(wú)砟軌道-橋梁耦合結(jié)構(gòu)帶隙頻率計(jì)算值與估算值對(duì)比表

5 結(jié)論

利用平面波展開(kāi)法-能量法，建立了4層Ti-moshenko梁模型，對(duì)周期性無(wú)砟軌道-橋梁耦合結(jié)構(gòu)的頻散特性進(jìn)行了求解，對(duì)其結(jié)構(gòu)參數(shù)、帶隙形成機(jī)理進(jìn)行了分析，主要結(jié)論如下。

1）通過(guò)文章方法求解得到在 0～50Hz 范圍內(nèi)，周期性無(wú)砟軌道-橋梁耦合結(jié)構(gòu)中共存在兩階帶隙： 0～9.06Hz.11.39～42.90Hz

2）隨著扣件剛度增加，第2階帶隙的截止頻率相應(yīng)增加；CA層剛度變化對(duì)于 0～50Hz 內(nèi)的彈性波傳播影響較小，幾乎可忽略不計(jì)；滑動(dòng)層剛度變化主要影響著第1階帶隙，第1階帶寬隨著滑動(dòng)層剛度的增加而增加。

3）根據(jù)帶隙形成機(jī)理分析， 0～50Hz 內(nèi)的兩階帶隙均為局域共振帶隙。且在縱向剛度較大時(shí)，二者起始頻率與截止頻率主要受縱向剛度影響，隨其增加而增大。

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通信作者：陳廣巧（1978一），男，工程師，研究方向?yàn)槌鞘熊壍澜煌ā-mail：695116233@qq.com。

（責(zé)任編輯：吳海燕）