聚焦函數應用 滲透建模思想 培養建模素養

【摘要】數學建模是培養學生實際問題解決能力的重要途徑，而初等函數作為數學建模中的一個關鍵元素，為學生提供了豐富的實踐機會。以初等函數為例，深入探討如何通過數學建模培養學生的數學建模素養。本文首先對當前高中數學建模教學的重點進行了分析，然后結合實際討論了當前高中數學建模素養培養現狀，最后結合初等函數的教學過程，對學生數學建模素養進行了實踐。

【關鍵詞】數學建模；初等函數；建模素養

高中數學的知識概念相較于其他學科更顯抽象，對學生在思維邏輯與抽象認識方面的能力提出了明確要求。唯有通過系統且深入的鍛煉，提升學生的思維邏輯與抽象認識水平，方能確保學生在數學學習的道路上暢通無阻。數學建模作為一種能夠全面培養學生思維邏輯與抽象認識的教學方法，為學生提供了寶貴的實踐機會，使他們能夠在解決現實問題的過程中靈活運用數學知識。

本文以初等函數為例，深入探討了高中數學教學中建模思想的運用以及建模素養的培養策略。初等函數作為高中數學知識體系的重要組成部分，不僅具有深厚的理論內涵，更在解決實際問題中發揮著不可或缺的作用。本文旨在剖析初等函數建模思想的構建過程，并探討如何在教學過程中引導學生將抽象的數學概念與具體實際情境相結合，從而培養學生創造性地解決現實世界中復雜問題的能力。

一、高中數學建模思想內涵

高中數學作為課程體系中的基石與核心學科，其核心素養之一便是培養學生將數學知識應用于實際生活中的能力。數學建模作為一種重要的思維方式，能夠有效地拓展數學知識的應用領域，并體現其在解決實際問題中的實用價值與功能意義。

通過數學建模，學生能夠以更加直觀的方式理解并應用各類數學知識，使數學更貼近生活，從而激發學生對數學學科的學習熱情與興趣。從素質教育的角度而言，教師在高中數學教學中融入數學建模思想，有助于深化學生對數學知識和功能價值的認識與理解。

在數學建模思想的引導下，學生能夠更加自主、積極地參與到數學學科的學習過程中，將抽象的數學概念與實際生活問題相結合，更好地領悟數學在解決實際問題中的重要作用。高中數學教學中涉及的數學模型豐富多樣，包括三角函數模型、指數函數模型以及線性規劃模型等。這些模型旨在檢驗學生對數學知識的掌握程度，同時激發他們運用數學知識解決實際問題的能力。

因此，教師應積極引導學生深入理解和運用這些數學模型，將其與具體的數學問題相結合，以促進高中生數學建模思想的形成與應用，進而提升他們的數學素養和綜合能力。

二、建模思想在高中數學教學中的應用困境

1.教師對數學建模的重視程度和認知水平不夠

盡管數學建模在理論上被認為是培養學生數學素養的有效途徑，但在實際教學中，對數學建模的重視程度仍然相對不足。許多學校更側重于傳統的數學知識傳授，對于數學建模的認知水平還有待提高。教育者需要更加深入地了解數學建模的價值，并將其納入教學體系，使學生在數學學科中能夠更全面地發展和應用知識。

2.缺少數學建模的全過程教學

在當前的數學建模教學中，很多教學更側重于數學建模的具體技巧和方法，而較為缺乏對整個建模過程的全面性指導。學生在建模過程中需要涉及問題的提出、問題的理解、建模假設的制定、數學模型的構建、模型求解、模型分析、模型檢驗以及最終模型的應用等環節。缺乏全過程教學容易導致學生對于建模思維的理解不夠深刻，僅停留在具體問題的解決方法上，而非真正掌握建模的核心思想。

3.數學建模的實踐較少

盡管理論上強調數學建模需要實際問題的應用，但在實踐中，很多學校的數學建模實踐相對較少。學生可能在課堂上學到了一些建模的理論知識，但缺乏真實場景的實際實踐機會。這導致學生在解決實際問題時可能面臨一定的困難，因為他們缺乏對于實際問題應用建模的經驗。

三、高中數學建模素養培養實踐—以初等函數為例

1.從課本教材出發深度挖掘建模思想，培養建模思維

高中數學教學的根基在于課本教材，而建模思想的實踐應用正是扎根于這片深厚的土壤之上，方能茁壯成長。因此，對于高中數學建模素養的培養，首要任務便是從課本教材出發，深入挖掘建模思想的精髓。這一過程要求教師們能夠緊密結合課程內容，尋覓那些富含實際背景且具備建模潛力的實例。

舉例來說，當涉及到高中數學必修一中的函數模型時，我們可以設計多個數學建模案例來幫助學生理解和應用這些函數模型。例如以下是幾個案例：

案例一：手機話費套餐選擇。

1.背景：某手機運營商提供了兩種話費套餐供用戶選擇。套餐A：月租費50元，每分鐘通話費0.1元；套餐B：無月租費，每分鐘通話費0.2元。

2.問題：（1）建立兩種套餐的費用函數模型；（2）對于不同通話時長的用戶，哪種套餐更劃算？

3.建模：（1）套餐A的費用函數：（fA（t）=50+0.1t），其中（t）為通話時長（分鐘）；（2）套餐B的費用函數：（fB（t）=0.2t）。

4.分析：1.解方程（fA（t）=fB（t））找到兩種套餐費用相等的通話時長；根據解出的通話時長，分析不同通話時長的用戶應該選擇哪種套餐。

案例二：溫度對咖啡銷量的影響。

1.背景：某咖啡店發現其咖啡銷量與室外溫度有關。

2.問題：（1）建立溫度與咖啡銷量的函數模型；（2）預測當室外溫度為10°C時，咖啡店的銷量會是多少？

3.建模（假設為線性關系）：（1）假設咖啡銷量為（Q），室外溫度為（T）；（2）銷量與溫度的函數關系可以假設為：（Q=aT+b），其中（a）和（b）為待定系數。

4.分析：（1）通過收集不同溫度下的咖啡銷量數據，利用最小二乘法等方法估計出（a）和（b）的值；（2）代入（T=10）到估計出的函數模型中，預測咖啡銷量。

再如日常生活中常見的摩天輪也是一個極好的教學素材。教師可以通過對摩天輪運動進行數學分析，引導學生思考如何運用數學語言描述摩天輪的高度變化，如何構建與時間相關的函數關系，以及如何利用數學模型對摩天輪的運動規律進行精準預測。通過這樣的方式，數學建模與課本中的概念和定理得以有機結合，相互滲透、相互補充。

在實施這一教學策略時，教師應特別注重培養學生的主動學習意識。通過提出富有啟發性的開放性問題，鼓勵學生積極參與課堂討論和探究活動，激發他們的思維火花，培養他們自主運用建模思想解決問題的能力。同時，教師還可以設計一系列實踐性活動，讓學生在親身參與中體驗建模的全過程，從而更深入地理解和掌握數學建模的核心思想。

在初級階段的教學中，基礎建模是一個有效的教學方法。教師可以選取教材中的細菌案例進行改編，通過合理的假設建立數學模型。

案例三：細菌增長問題。

1.背景：使用指數函數來模擬細菌在適宜環境下的增長過程。

2.建模步驟：

（1）實驗準備：準備細菌培養皿和細菌樣本，確保實驗環境適宜細菌生長。

（2）實驗觀察：定期觀察并記錄細菌數量的變化。

（3）建立模型：使用指數函數N（t）=N0*a^t來擬合細菌數量隨時間的變化數據，其中N0是初始細菌數量，a是增長因子（大于1），t是時間（以小時或天為單位）。參數估計：通過數據擬合來估計N0和a的值。

（4）預測：使用建立的模型來預測細菌在未來某個時間點的數量。

（5）可視化：使用Python的matplotlib庫繪制出細菌數量隨時間變化的曲線圖。

（6）討論與改進：討論模型的局限性（如資源限制、環境變化等因素），并考慮如何改進模型以更準確地描述細菌增長過程。

通過建立這樣的數學模型，學生可以直觀地觀察到細菌數量隨時間變化的趨勢。同時，教師還可以引導學生觀察模型的圖像特征，驗證模型的正確性，并討論參數取值對模型行為的影響。為了驗證模型的有效性，教師還可以將模型應用于實際場景，通過與實際數據的對比來檢驗模型的預測能力。

通過這種嚴謹而理性的教學方法，不僅有助于提高學生的數學建模素養，還能夠培養他們運用數學知識解決實際問題的能力，為他們的未來發展奠定堅實的基礎。

2.以數學課本概念和定理為載體滲透建模思想

數學課本中的概念和定理作為建模思想的載體，為學生提供了一個直接、系統的學科框架。教師可以選擇具有實際應用潛力的概念和定理，例如函數、方程、極限等，作為引導學生建模的起點。以函數為例，教師可以通過講解函數的性質、圖像和應用等方面，引導學生理解函數在數學建模中的重要作用。在滲透建模思想的過程中，教師可以設計一系列的課堂活動，通過具體案例將概念和定理與實際問題相結合。以數學課本中的指數函數為例，通過實際問題如人口增長、病毒傳播等，教師可以引導學生思考如何用指數函數描述這些現象，并從中挖掘數學模型的建立過程。這種實際問題與數學概念的結合，使學生更容易理解抽象的數學理論，并將其運用到實際生活中。在教學實踐中，教師還可以通過激發學生的好奇心和求知欲，引導他們主動去探究數學知識在實際問題中的應用。

案例四：房屋租金問題。

具體到對數函數的教學當中，教師可以選擇與當下居民住房相關的話題作為數學建模的內容。

1.背景：房屋租金是一個備受關注的話題，特別是在城市生活中。租金的變化不僅關系到租戶的生活質量，也影響到房東的投資回報。在這一場景中，問題的關鍵點是教師需要引導學生了解租金是如何隨時間演變的。學生需要知道租金的增長趨勢，以便提前做好預測和調整預算。這對于租戶來說，意味著更好地規劃生活成本，選擇合適的居住方案。對于房東而言，可以幫助他們決定適當的租金定價策略，最大程度地實現投資回報。

2.教學的建模目標：建立一個對數函數，用數學語言準確地描述租金隨時間的演變。通過對數函數的選擇，可以反映租金增長速度逐漸減緩的趨勢，符合房地產市場的一般規律。選擇對數函數的好處在于它能夠捕捉到遞增但遞減速度逐漸減緩的特點，這是房租市場變化的常見趨勢。

3.建立模型：在構建對數函數模型時，首先考慮對數函數的一般形式。這個模型允許教師通過調整參數a、b、c、d來適應實際情況。

4.模型分析：在房屋租賃的背景下，教師假設租金的增長呈遞增但遞減速度逐漸減緩的趨勢。接著選擇模型，其中a＞0，b＞1，c=1。這一選擇基于對租金增長的預估，即初始時租金較低，隨著時間的推移，租金的增長速度逐漸減緩。選擇b＞1的值是為了確保對數函數是增函數，而c=1表示教師從時間1開始考慮，因為對數函數的自變量不能為負數或零。對數函數的定義域決定了自變量x的取值范圍。在這個模型中，教師限制需要x＞-1，因為對數函數的自變量不能為負數或零。這確保了教師的模型在現實情境中是有意義的。而對數函數的值域表示函數可能取到的所有實數值。在這個模型中，對數函數的值域為實數集R，因為對數函數在整個定義域上都可以取到實數值。房租的金額可以是任意實數，包括小數和整數。對數函數模型y=alogb（x+1）+d的圖像特征主要取決于模型參數a、b、d的取值。在這個模型中，教師選擇a＞0，b＞1，d是某個基準租金。當x逐漸增加時，對數函數的值y也逐漸增加，表現為租金水平的增長。但隨著x的增加，增長速度逐漸減緩，符合實際情況中房租上漲的趨勢逐漸趨于平穩的特點。圖像的漸近線為x=-1，在這一點處，對數函數的自變量為0，即logb（0+1）=0，因此y=d。這表示當時間x達到一定階段后，租金水平將趨于某個基準值d，增長速度趨緩。圖像整體呈現一種曲線的形狀，顯示了房租增長的趨勢逐漸減緩，最終趨向于穩定的特征。

3.以教學評價體系的優化調整落實建模思想

傳統的教學評價模式存在顯著問題，主要表現為過度側重于學生成績，而對學生數學思維的形成與建模思想的構建則相對忽視。鑒于此，對教學評價體系進行優化調整顯得尤為重要，特別是要將學生成績與數學知識實踐以及建模思維形成能力緊密結合，從而有效促進數學建模思想在數學課堂中的實踐應用。

在構建教學評價體系時，教師應摒棄傳統的單一考核指標，不僅要關注學生的學業成績，還需將學生在數學學習過程中所展現的數學知識實踐能力和建模思維形成能力納入考核范圍。為實現這一目標，可設立專門的數學實踐考核項目，例如實際問題解決能力的評估、建模過程的書寫與表達能力等，以全面評價學生在數學建模方面的實際能力。

綜上所述，本文基于對數函數的建模實例，深入剖析了數學建模培養的全流程，以全面展示如何有效提升學生的數學應用實踐能力。

【參考文獻】

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