基于離散元的 魯麗 蘋果仿真接觸參數(shù)標(biāo)定

中圖分類號：S121；TP391.9；TB12 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1001-411X（2025）03-0407-12

Calibration of contact parameters of ‘Luli’ apple for simulation based on discrete element

FUHan12，WU Zhizhi1，DUANJieli12，YU Shaozheng1，LIUFeng1，ZHENGHailel （1 College ofEngineering，South China Agricultural University， Guangzhou ， China; 2 Guangdong Provincial KeyLaboratory for Agricultural Artificial Intelligence， Guangzhou 51o642， China）

Abstract： 【Objective】 The aim of this study was to construct a discrete element model of apples and precisely calibrate the corresponding contact parameters. 【Method】 The discrete element model of‘Luli’ apples was constructed using a spherical particle bonding method，and the optimal particle radius was identified through comparative analysis. A combined method of experimental testing and simulation was adopted to determine the contact parameters，such as the restitution coeffcient and friction coefcients. Analysis of variance （ANOVA） was employed to evaluate the effects ofcolision zone，fruit massand foam type on the contact parameters. Various test conditions were simulated to obtain data， which were then used to fit parameter equations. The parameter equations were subsequently verified. 【Result】 The collsion zone had no significant efect on the coefficient of restitution.A discrete element model with a 2 m m particleradiuswasestablished.Thecalibrated restitution coefficients， static and rolling friction coefficients between the apple particle models and the superhigh and high-density foams were 0.61 and 0.47， 0.46 and 0.61， 0.0166 and 0.0288， respectively. The corresponding values for interactions between apple particle models were 0.65， 0.42 and 0.032 0 respectively. The effectiveness of the calibrated parameters was verified through a bottomless cylinder lifting experiment. 【Conclusion】 The discrete element model of apple is successfully constructed. This study can provide a theoretical basis for the design and optimization of close-range catching mechanisms in apple vibration harvesting or post-harvest processing devices.

Key words： Mechanics; Discrete element method; Apple particle model; Contact parameter; Virtual calibration

在果實(shí)振動(dòng)收獲過程中，在承接階段的相互碰撞是果實(shí)損傷的主要來源之一。目前，果實(shí)碰撞損傷機(jī)理的研究主要依賴于田間試驗(yàn)，收獲窗口期的限制導(dǎo)致承接裝置的設(shè)計(jì)周期較長[1]。作為一種有效的數(shù)值模擬技術(shù)，離散元法能夠可視化果品碰撞接觸過程中的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，從而為相關(guān)裝備的設(shè)計(jì)優(yōu)化提供重要參考[2-3]。使用離散元仿真軟件（如EDEM）進(jìn)行模擬試驗(yàn)時(shí)，準(zhǔn)確定義模型輸入?yún)?shù)對于確保結(jié)果精度至關(guān)重要[4-5]。

標(biāo)定離散元仿真參數(shù)的過程包括測定顆粒本征參數(shù)、選擇接觸模型、確定接觸參數(shù)以及進(jìn)行參數(shù)校準(zhǔn)[6-7]。顆粒本征參數(shù)可通過試驗(yàn)測量或文獻(xiàn)資料直接獲得，而接觸參數(shù)則需要校準(zhǔn)，以確保仿真結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的一致性[8-10]。在農(nóng)業(yè)物料顆粒的參數(shù)標(biāo)定領(lǐng)域，研究對象主要包括土壤[11]、草谷種子[12-14]和莖稈作物[15]。針對球形水果的參數(shù)標(biāo)定鮮有報(bào)道，已知的文獻(xiàn)報(bào)道的有荔枝[和梨[17]。

本研究以‘魯麗’蘋果為試驗(yàn)對象，旨在建立其果實(shí)的離散元模型，并通過試驗(yàn)與仿真相結(jié)合的方式，對其離散元接觸參數(shù)進(jìn)行精確標(biāo)定。具體目標(biāo)包括：1）構(gòu)建由多種球形顆粒半徑膠結(jié)而成的蘋果離散元模型，并通過對比分析確定最佳顆粒半徑；2）分析蘋果接觸部位、果實(shí)質(zhì)量和材料類型對接觸參數(shù)的影響，并通過方差分析進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)；3調(diào)整仿真參數(shù)以模擬不同試驗(yàn)條件，通過數(shù)據(jù)擬合得到參數(shù)方程，并利用實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證；4）通過無底圓筒提升試驗(yàn)，對標(biāo)定參數(shù)的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。研究結(jié)果有望為蘋果振動(dòng)收獲中接近承接或采后處理裝置的設(shè)計(jì)優(yōu)化提供理論依據(jù)。

1蘋果模型建立

1.1 物理與顆粒模型創(chuàng)建

在進(jìn)行離散元仿真試驗(yàn)時(shí)，構(gòu)建準(zhǔn)確的蘋果顆粒模型對于確保仿真結(jié)果的精度至關(guān)重要。為提高模型的準(zhǔn)確性，本研究采用球形顆粒膠結(jié)的方式構(gòu)建蘋果的離散元模型。

試驗(yàn)對象選擇河北保定地區(qū)廣泛種植的‘魯麗蘋果，于2023年8月采摘后及時(shí)運(yùn)輸至實(shí)驗(yàn)室，從中挑選20個(gè)大小、形狀相近且表面無瑕疵的樣本，質(zhì)量均值為 。采用游標(biāo)卡尺（精度：0 . 0 1 m m， 測量果實(shí)的橫徑和縱向高度，其均值分別為 （ 7 7 . 6 6±1 . 9 6 ） 和 （ 6 9 . 0 8±2 . 3 4 ） m m ；通過電子天平（精度：0.01g）和排水法測量每個(gè)果實(shí)的質(zhì)量和體積，進(jìn)而計(jì)算得到其密度為 參考文獻(xiàn)[18]，利用萬能試驗(yàn)機(jī)（WD-20KE，廣州精控測試儀器有限公司）進(jìn)行柱形壓縮試驗(yàn)，獲得果肉的彈性模量和泊松比，均值分別為 （ 2 . 3 8±0 . 0 5 ） MPa和 。為提高蘋果幾何模型的建立精度，根據(jù)前期研究[19]，利用數(shù)顯半徑規(guī)分別測定了蘋果上部 （近果柄部）、中部和下部 （近花萼部）3個(gè)區(qū)域的曲率半徑，其調(diào)和均值分別為 （ 2 2 . 0 8±3 . 4 9 ） 、（ 3 5 . 3 7 ± 5 . 7 6 ） 和 （ 3 0 . 6 3±5 . 8 2 ） m m 中

基于蘋果橫徑、高度、曲率半徑等關(guān)鍵幾何參數(shù)的均值，采用AutoCAD2021軟件繪制初步草圖（圖1a）；利用SolidWorks2021軟件的旋轉(zhuǎn)特征功能，基于草圖構(gòu)建三維幾何模型（圖1b）；然后以STP格式導(dǎo)入到EDEM2022軟件中，根據(jù)蘋果的幾何輪廓，限定顆粒的填充邊界（圖1c），從而以顆粒膠結(jié)的方式建立其離散元模型（圖1d）。

為了選取最合適的顆粒半徑，在 范圍內(nèi)，每隔 1 m m 構(gòu)建了一系列蘋果的離散元模型（圖2），相應(yīng)的球形顆粒數(shù)分別為16384、2495、1250、526和271。為評估模型的精確度，使用斜面滾動(dòng)摩擦試驗(yàn)的水平滾動(dòng)距離作為參考，進(jìn)行仿真試驗(yàn)，每種顆粒半徑的試驗(yàn)重復(fù)3次。根據(jù)顆粒半徑與仿真效果的關(guān)系（圖3），得出顆粒半徑越小，仿真得到的滾動(dòng)距離與實(shí)際值之間的相對誤差越低，但仿真所需時(shí)間明顯延長。盡管具有 1 m m 顆粒半徑的離散元模型在仿真結(jié)果上最接近實(shí)際，但隨著顆粒半徑的減小，所需的顆粒數(shù)量和仿真時(shí)間以幾何級數(shù)增加。因此，在權(quán)衡計(jì)算效率和仿真精確度后，本研究選擇了顆粒半徑為 的蘋果離散元模型。該模型在保持相對較低的誤差 （ 7 . 9 % ） 的同時(shí)，滿足試驗(yàn)要求，且在計(jì)算資源和時(shí)間上的投入是合理的。

1.2 接觸模型選取

在進(jìn)行蘋果顆粒的仿真分析時(shí)，模型能夠精確地反映真實(shí)蘋果的幾何形態(tài)和物理屬性非常關(guān)鍵，這直接影響到仿真結(jié)果的可靠性。蘋果作為一種具有較低表面黏附力的物料，顆粒間的相互作用主要為接觸力和摩擦力。在顆粒運(yùn)動(dòng)過程中，位移、受力以及速度的變化源于顆粒間的相互作用以及顆粒與接觸材料間的微觀接觸行為。根據(jù)牛頓第二定律，當(dāng)顆粒受到外力和扭矩作用時(shí)，將產(chǎn)生相應(yīng)的加速度和角加速度，從而引起平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。為了準(zhǔn)確模擬這些物理現(xiàn)象，本研究采用了Hertz-Mindlin無滑動(dòng)接觸力學(xué)模型。該模型既能夠描述顆粒間的彈性接觸和塑性變形，同時(shí)考慮了顆粒間的摩擦效應(yīng)。

在基于Hertz-Mindlin接觸模型的仿真分析中，蘋果顆粒所受的法向力 和切向力 滿足函數(shù)關(guān)系式：

式中： 為等效彈性模量，滿足 μ 為泊松比; 和 為彈性模量; 為等效接觸半徑，滿足 R=R+，R和R為接觸部位的曲率半徑; 為法向重疊量； 為切向重疊量; 為切向剛度。

蘋果顆粒之間的法向阻尼力 及切向阻尼力 滿足關(guān)系式：

式中： β d為阻尼比； 為等效質(zhì)量，滿足 ， 和 為接觸物體的質(zhì)量； 為法向剛度； 為法向相對速度; 為切向相對速度。

在蘋果顆粒的離散元仿真中，顆粒間的相互作用力是決定顆粒運(yùn)動(dòng)行為的關(guān)鍵因素。切向力 在顆粒間的作用受到庫倫摩擦力 的限制，其中 為靜摩擦系數(shù)。切向力的最大值由靜摩擦系數(shù)和法向力的乘積決定，可以表示為：

當(dāng)實(shí)際的切向力超過這個(gè)最大值時(shí)，顆粒將開始滑動(dòng)。在蘋果顆粒的運(yùn)動(dòng)過程中，除了滑動(dòng)摩擦力外，滾動(dòng)摩擦力也是一個(gè)需要考慮的重要因素。滾動(dòng)摩擦力可以通過接觸表面上的力矩 來描述，該力矩與滾動(dòng)摩擦系數(shù) 、顆粒質(zhì)心至接觸點(diǎn)的距離 ，以及顆粒在接觸點(diǎn)處的角速度 有關(guān)。力矩 的計(jì)算公式可以表示為：

2蘋果離散元仿真參數(shù)標(biāo)定

2.1 碰撞恢復(fù)系數(shù)

恢復(fù)系數(shù)是衡量物體在碰撞過程中彈性變形恢復(fù)能力的物理參數(shù)，定義為碰撞后兩物體在接觸點(diǎn)處的法向相對分離速度與碰撞前的法向相對接近速度之比[20]。依據(jù)恢復(fù)系數(shù)的物理定義，本研究構(gòu)建了蘋果與接觸材料以及蘋果之間碰撞恢復(fù)系數(shù)的測定模型，并對其結(jié)果進(jìn)行分析與標(biāo)定。

2.1.1蘋果-接觸材料的碰撞恢復(fù)系數(shù)在蘋果振動(dòng)收獲過程中，除了果實(shí)之間的相互碰撞，果實(shí)與接觸材料之間的碰撞同樣不容忽視。為了最小化蘋果與接觸材料碰撞造成的損傷，本研究選用特高密度和高密度的聚氨酯泡棉作為接觸材料，其密度分別為 （ 4 9 . 3 1 ± 2 . 1 3 ） 和 ，具有極佳的緩沖性能，前期研究[21]發(fā)現(xiàn)，將蘋果從 0 . 5 m 高處跌落，蘋果的動(dòng)能幾乎全被泡棉吸收，其反彈高度基本可以忽略。通過拉伸和基礎(chǔ)物理試驗(yàn)測定的特高密度和高密度泡棉的彈性模量分別為 （ 0 . 0 5 0 ± 0.005）和 MPa，泊松比分別為 0 . 3 1 ± 0.01和 。

為了深入探究蘋果接觸部位對恢復(fù)系數(shù)的影響，分別讓其上部、中部和下部與2種密度泡棉進(jìn)行碰撞。本研究的成果主要針對標(biāo)準(zhǔn)化種植的果樹，如直立墻形。一般而言，每棵果樹包含7層水平分布的樹枝，樹枝層間距為 0 . 5 m ，鑒于果實(shí)重力的影響，果實(shí)與承接表面的距離通常約為 0 . 3 m 。此外，采收過程中，采用盡量接近承接面或收集區(qū)域的方式，以減小果實(shí)的跌落距離，從而減輕果實(shí)所受的沖擊力。考慮到蘋果跌落的極限高度，本研究設(shè)計(jì)了 1 0 0 ， 4 0 0 ， 5 0 0 和 6 0 0 m m4 個(gè)不同高度的跌落試驗(yàn)。

蘋果與接觸材料間的恢復(fù)系數(shù)采用跌落彈跳法進(jìn)行測定，共選用20個(gè)質(zhì)量相近的蘋果，其質(zhì)量均值為 。如圖4a所示，將蘋果通過負(fù)壓吸盤固定，打開氣流閥門，使其從初始高度 自由釋放，跌落至正下方的泡棉。仿真模擬（圖4b）時(shí)，通過軟件設(shè)置將蘋果顆粒的初始速度設(shè)置為0。

在受到蘋果沖擊后，泡棉發(fā)生壓縮，而后使蘋果反彈到 高度。為了捕捉蘋果的彈跳過程，使用高速相機(jī)（MiniUX50，Photron）以240幀/s的幀率進(jìn)行視頻錄制。通過分析錄制視頻的數(shù)據(jù)，計(jì)算蘋果在碰撞前后的速度，進(jìn)而確定其碰撞恢復(fù)系數(shù)。蘋果與接觸材料間的碰撞恢復(fù)系數(shù) 可表示為蘋果碰撞前后在接觸點(diǎn)處的法向方向瞬時(shí)分離速度 與瞬時(shí)接觸速度 之比，其計(jì)算公式如下：

圖5a顯示了不同密度材料和果實(shí)碰撞部位下蘋果與泡棉的碰撞恢復(fù)系數(shù)。由圖5a可知，蘋果中部的恢復(fù)系數(shù)略高，而上、下兩端的恢復(fù)系數(shù)相近。這是因?yàn)橹胁壳拾霃捷^大，在與泡棉接觸時(shí)表面形變較小，碰撞后能夠更快恢復(fù)原狀，減少了形變過程中的能量損失，從而使得恢復(fù)系數(shù)較高。使用IBMSPSS2021軟件進(jìn)行方差分析，結(jié)果表明碰撞部位對恢復(fù)系數(shù)的影響不顯著 （ P gt; 0 . 1 5 ） ，而泡棉密度對恢復(fù)系數(shù)的影響極顯著 （ P lt; 0 . 0 1 ） 。基于上述分析，本研究將蘋果3個(gè)部位的碰撞恢復(fù)系數(shù)進(jìn)行匯總，并計(jì)算均值，進(jìn)一步繪制跌落高度與碰撞恢復(fù)系數(shù)的散點(diǎn)圖，并進(jìn)行線性擬合（圖5b）。由圖5b可見，與 的跌落高度相比，蘋果在 高度跌落時(shí)的碰撞恢復(fù)系數(shù)顯著降低。這是由于一方面蘋果從 跌落后發(fā)生了損傷，另一方面可能是跌落位置較高導(dǎo)致泡棉受到?jīng)_擊時(shí)進(jìn)入了屈服或密實(shí)階段，從而吸收了更多的能量。此外，蘋果跌落在特高密度泡棉上的恢復(fù)系數(shù)要大于跌落在高密度泡棉上的，這是因?yàn)楦呙芏鹊呐菝蘧哂懈蟮膹椥阅Ａ浚谂c蘋果接觸時(shí)提供了更強(qiáng)的彈力，使得反彈高度更高。為了確保仿真標(biāo)定的準(zhǔn)確性，本研究選取 作為初始跌落高度，對蘋果與泡棉的碰撞恢復(fù)系數(shù)進(jìn)行了虛擬試驗(yàn)。

Fig.5Restitution coefficients of collsions between apples and foams under different test conditions

仿真試驗(yàn)時(shí)，將蘋果從距離泡棉表面 處自由釋放。為避免摩擦力對蘋果顆粒的反彈高度產(chǎn)生影響，將摩擦系數(shù)設(shè)置為0。在仿真過程中，將蘋果與泡棉的碰撞恢復(fù)系數(shù)設(shè)定在以0.2為間隔的0.1＼～0.9范圍內(nèi)，每個(gè)數(shù)值重復(fù)3次試驗(yàn)。利用仿真軟件的后處理功能，精確測定蘋果顆粒的反彈高度，并將其作為評價(jià)碰撞效果的主要指標(biāo)。利用OriginPro2021軟件，針對恢復(fù)系數(shù)與反彈高度的數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖，結(jié)果如圖6所示。

分別以顆粒-特高密度泡棉和顆粒-高密度泡棉的碰撞恢復(fù)系數(shù) 和 為自變量，相應(yīng)的反彈高度 和 作為因變量，對數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合，得到如下方程：

將蘋果在特高密度與高密度泡棉上的反彈高度均值30.8和 1 9 . 1 m m 分別代入相應(yīng)的方程，計(jì)算得到的碰撞恢復(fù)系數(shù)分別為0.61和0.47。與實(shí)測值0.58和0.52相比，計(jì)算值的相對誤差分別為 5 . 0 % 和 9 . 7 % ，表明仿真結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)基本吻合。基于上述結(jié)果，蘋果與特高密度和高密度泡棉在仿真中的碰撞恢復(fù)系數(shù)可被確定為0.61和0.47。仿真結(jié)果略高于實(shí)測值，這一差異可能主要源于仿真時(shí)未考慮蘋果顆粒與泡棉接觸時(shí)的摩擦力。在碰撞過程中，顆粒的動(dòng)能除了被泡棉吸收外，其余部分全部轉(zhuǎn)化為反彈能量，因而導(dǎo)致反彈速度偏大。

2.1.2蘋果之間的碰撞恢復(fù)系數(shù)蘋果之間碰撞恢復(fù)系數(shù)的測定通過雙線擺試驗(yàn)進(jìn)行。試驗(yàn)裝置如圖7a所示，蘋果A通過棉線懸掛并保持靜止，蘋果B被擺升至特定高度。釋放蘋果B后，B在棉線約束下進(jìn)行圓周運(yùn)動(dòng)，并與靜止的蘋果A發(fā)生碰撞，隨后2個(gè)蘋果均擺動(dòng)至最高點(diǎn)。在EDEM仿真軟件中，實(shí)現(xiàn)多個(gè)幾何體之間的相互運(yùn)動(dòng)存在顯著挑戰(zhàn)。本研究參考文獻(xiàn)[22]，采用等效模型方法。將蘋果顆粒約束在1個(gè)半徑 、位于豎直平面的半圓形管道內(nèi)，管道內(nèi)徑 ，如圖7b所示。

1：棉線；2：蘋果A;3：蘋果B；4：模擬管道。 1：Cotton thread;2：AppleA3：AppleB;4：Simulated pipeline.

假設(shè)蘋果B的初始擺升高度為 ，碰撞后，蘋果A和B的擺動(dòng)高度分別為 和 。整個(gè)碰撞過程由高速相機(jī) （500幀/s）記錄。根據(jù)碰撞恢復(fù)系數(shù)物理學(xué)的定義，蘋果間碰撞恢復(fù)系數(shù) 的計(jì)算公式為：

式中： 為碰后瞬間蘋果B的速度； 為碰后瞬間蘋果A的速度; 為碰前瞬間蘋果B的速度。

為探究碰撞部位對恢復(fù)系數(shù)的影響，本研究開展了3種碰撞部位（中部-上部、中部-中部、中部-下部）的試驗(yàn)，即用蘋果B的中部分別與蘋果A的上部、中部和下部進(jìn)行碰撞。擺升高度設(shè)置為100、200和 個(gè)水平。試驗(yàn)共選取40個(gè)樣本，其中蘋果A的每個(gè)部位和蘋果B的中部又沿其周向細(xì)分成6個(gè)碰撞位置，每2個(gè)碰撞位置對應(yīng)1個(gè)擺升高度，每個(gè)碰撞部位重復(fù)20次試驗(yàn)。圖8顯示了擺升高度與碰撞恢復(fù)系數(shù)的關(guān)系。隨著擺升高度的增加，恢復(fù)系數(shù)逐漸下降，且不同碰撞部位間的恢復(fù)系數(shù)存在細(xì)微差異。方差分析結(jié)果顯示，擺升高度對恢復(fù)系數(shù)的影響顯著！ （ P lt; 0 . 0 5 ） ，而碰撞部位對恢復(fù)系數(shù)的影響不顯著 （ P = 0 . 2 7 ） 。根據(jù)Pang等[23]的研究，當(dāng)恢復(fù)系數(shù)超過0.65時(shí)，蘋果損傷可以忽略不計(jì)。鑒于在仿真中采用Hertz-Mindlin的無滑動(dòng)模型不會(huì)導(dǎo)致顆粒損傷，本研究基于100、200和 高度下的恢復(fù)系數(shù)均值（分別為 0 . 6 7 ± 0 . 0 3 ， 0 . 6 0±0 . 0 3 和 0 . 5 6±0 . 0 2 ） ，選擇 1 0 0 m m 作為初始擺升高度進(jìn)行仿真參數(shù)標(biāo)定試驗(yàn)。

仿真試驗(yàn)時(shí)，為避免管道摩擦對仿真結(jié)果的影響，將管道與顆粒間的靜摩擦系數(shù)和滾動(dòng)摩擦系數(shù)均設(shè)置為0。將顆粒間的碰撞恢復(fù)系數(shù)設(shè)定在0 . 1～0 . 9 的范圍，間隔0.2，每個(gè)數(shù)值重復(fù)3次試驗(yàn)。仿真完成后，通過軟件的后處理功能測定蘋果碰撞后的擺升高度，以蘋果A和B的最大擺升高度作為評價(jià)指標(biāo)，其與恢復(fù)系數(shù)的關(guān)系如圖9所示。

以蘋果A和B顆粒間的碰撞恢復(fù)系數(shù) 為自變量，最大反彈高度 和 為因變量，擬合得到的參數(shù)方程如下：

將 和 代入方程（8），得碰撞恢復(fù)系數(shù)為0.65，與實(shí)測值0.68相比，相對誤差為4 . 9 % ，表明標(biāo)定后的仿真結(jié)果與真實(shí)試驗(yàn)結(jié)果基本一致。故確定 為蘋果顆粒間的碰撞恢復(fù)系數(shù)。仿真結(jié)果略低于實(shí)測值，這一差異可能主要源于將蘋果間的擺動(dòng)碰撞等效為圓筒中的自由碰撞，蘋果顆粒碰撞時(shí)，部分平動(dòng)能量轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)動(dòng)能量。

2.2蘋果-接觸材料的摩擦系數(shù)

根據(jù)能量守恒定律，本研究采用斜面滑動(dòng)法和滾動(dòng)法對蘋果與接觸材料之間的靜摩擦系數(shù)和滾動(dòng)摩擦系數(shù)進(jìn)行分析和標(biāo)定，滾動(dòng)法通過測量蘋果在水平面上滾動(dòng)時(shí)的減速率計(jì)算滾動(dòng)摩擦系數(shù)。

2.2.1蘋果-接觸材料的靜摩擦系數(shù)本研究采用廣泛應(yīng)用的斜面滑動(dòng)法來測量靜摩擦系數(shù)。對于質(zhì)量為 m 的物體，其重力可以分解為2個(gè)分量：平行于斜面的切向力 T 和垂直于斜面的法向力 F 。當(dāng)斜面傾角 θ 小于物體滑動(dòng)的臨界角度時(shí)，切向力 T 小于物體與斜面間的靜摩擦力 f ， 物體將保持靜止?fàn)顟B(tài)。隨著斜面角度的增加，切向力 T 逐漸增大，一旦 θ 超過物體滑動(dòng)的臨界角度，即 T gt; f ， 物體將開始沿斜面下滑。在此期間，靜摩擦系數(shù) 與臨界傾角 之間的關(guān)系可以表示為：

通過測量物體在斜面上的臨界滑動(dòng)角度，便可計(jì)算出μs°

在試驗(yàn)中，將泡棉平鋪固定在斜面木板上，并選取了20個(gè)樣本。將3個(gè)大小相近的蘋果捆綁成1組，并將數(shù)顯傾角儀（精度 ，量程 放置在泡棉板上。逐漸增加斜面傾角，直至蘋果表現(xiàn)出相對滑動(dòng)的趨勢，記錄此時(shí)的傾角 θ 。對于每種材料，重復(fù)10次試驗(yàn)，并取其均值。試驗(yàn)結(jié)果顯示，蘋果與特高密度和高密度泡棉間靜摩擦系數(shù)的均值分別為 和 。方差分析結(jié)果顯示，泡棉密度對蘋果靜摩擦系數(shù)的影響顯著（ P = 0 . 0 3 5 ） 。本研究針對2種密度的泡棉分別進(jìn)行了仿真標(biāo)定試驗(yàn)。

在EDEM軟件中，添加1個(gè)長 7 0 0 m m 、寬500mm的矩形平板，并設(shè)置其參數(shù)與鋼板相同。采用多球面組合方法生成3球組合的蘋果仿真顆粒，以模擬實(shí)際試驗(yàn)條件下的黏結(jié)蘋果。在仿真中，靜摩擦系數(shù)設(shè)置為0.1＼～0.9，間隔0.2；碰撞恢復(fù)系數(shù)采用標(biāo)定后的值（0.61和0.47）；滾動(dòng)摩擦系數(shù)設(shè)置為0，以消除其對斜面滑動(dòng)仿真試驗(yàn)的影響。以傾角 θ 作為評價(jià)指標(biāo)，每種參數(shù)設(shè)置3次重復(fù)試驗(yàn)。蘋果與泡棉間的靜摩擦系數(shù)與其臨界傾角的關(guān)系如圖10所示。

以顆粒-特高密度泡棉和顆粒-高密度泡棉的靜摩擦系數(shù) 和 為自變量，傾斜角度 和 為因變量，對試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行曲線擬合，得到參數(shù)方程如下：

將蘋果與特高密度和高密度泡棉的臨界傾角的均值 和 代入方程，計(jì)算得到的靜摩擦系數(shù)分別為0.46和0.61。與實(shí)測值0.51和0.65相比，相對誤差分別為 9 . 8 % 和 6 . 1 % ，表明經(jīng)過標(biāo)定的仿真靜摩擦系數(shù)與實(shí)測值基本一致。

2.2.2蘋果-接觸材料的滾動(dòng)摩擦系數(shù)滾動(dòng)摩擦力是指當(dāng)一個(gè)物體在另一物體表面進(jìn)行純滾動(dòng)或有滾動(dòng)趨勢時(shí)，由于接觸部分受壓形變而產(chǎn)生阻礙滾動(dòng)的作用力。這種阻力通常用阻力矩來量化，其大小取決于物體的材料特性、接觸面形狀以及滾動(dòng)物體的質(zhì)量[7。本研究選取了3種不同質(zhì)量區(qū)間的蘋果： （小果）、 1 7 0～1 9 0 g （中果） gt;1 9 0 g 大果），讓其從具有一定傾斜角度 （ β ） 的泡棉板上以初速度為0開始滾動(dòng)，沿斜面滾動(dòng)距離 （ S ） ，最終滾落至水平放置的泡棉平板上。由于受到滾動(dòng)摩擦力的作用，蘋果在水平泡棉板上滾動(dòng)一段距離 L 后停下。以 L 為評價(jià)指標(biāo)，對蘋果與接觸材料之間的滾動(dòng)摩擦系數(shù)進(jìn)行標(biāo)定（圖11）。假設(shè)蘋果運(yùn)動(dòng)為純滾動(dòng)，并認(rèn)為其所受阻力僅為滾動(dòng)摩擦力，可忽略靜摩擦力的影響。由能量守恒定律可得：

式中： m 為蘋果質(zhì)量; 為滾動(dòng)摩擦系數(shù)。

考慮到蘋果的非球形特征，其在平面上的滾動(dòng)軌跡會(huì)形成曲線。為了將計(jì)算誤差控制在較小范圍內(nèi)，將整條運(yùn)動(dòng)軌跡分割為一系列小段曲線，每段曲線長度記為 Δ l 。隨著分割段數(shù)增加，每一段曲線將越來越接近直線。對這所有小段曲線進(jìn)行積分求和，即可得到蘋果的滾動(dòng)距離 （ L ） 滿足：

利用高速相機(jī)（500幀/s）記錄蘋果的運(yùn)動(dòng)軌跡。將錄制后的視頻導(dǎo)入Tracker5.1.5軟件，識別蘋果的運(yùn)動(dòng)軌跡并導(dǎo)出其坐標(biāo)數(shù)據(jù)。然后將坐標(biāo)數(shù)據(jù)輸入AutoCAD2021軟件，對蘋果的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行分析并計(jì)算滾動(dòng)距離。

為簡化測量過程，經(jīng)過多次滾動(dòng)預(yù)試驗(yàn)，確定蘋果與泡棉的試驗(yàn)條件如下：斜面傾角 ，斜面滾動(dòng)距離 S = 1 1 2 m m ，水平面滾動(dòng)距離 L = 2 3 0 m m 。在上述條件下，對20個(gè)蘋果進(jìn)行了20次重復(fù)試驗(yàn)，并取其均值，結(jié)果如表1所示。方差分析結(jié)果表明，泡棉密度對蘋果的滾動(dòng)摩擦系數(shù)有極顯著影響 （ Plt;0 . 0 0 1 ） ，而蘋果質(zhì)量對滾動(dòng)摩擦系數(shù)的影響不顯著 （ P=0 . 9 8 ） 。因此，分別對特高密度和高密度泡棉進(jìn)行了仿真標(biāo)定試驗(yàn)。

在離散元仿真中，利用EDEM軟件構(gòu)建了2種不同的平板模型：一種是 7 0 傾斜放置的矩形平板，另一種是水平放置的矩形平板。這2種平板的底端相接觸，并將其本征參數(shù)設(shè)置為與Q235鋼相同。在距離傾斜平板底端 1 1 2 m m 處生成一個(gè)半徑為2 m m 的蘋果離散元模型，并讓其以初速度為0沿斜面滾動(dòng)。由于實(shí)際滾動(dòng)過程中顆粒同時(shí)受到靜摩擦力的作用，故在仿真中針對特高密度和高密度泡棉，將蘋果顆粒的碰撞恢復(fù)系數(shù)分別設(shè)定為0.61和0.47，靜摩擦系數(shù)分別設(shè)定為0.46和0.61，滾動(dòng)摩擦系數(shù)在 0 . 0 1～0 . 0 3 范圍內(nèi)，間隔為0.005進(jìn)行調(diào)整。以水平滾動(dòng)距離 L 作為評價(jià)指標(biāo)，探究其與滾動(dòng)摩擦系數(shù)的關(guān)系，結(jié)果見圖12。

分別以蘋果顆粒與特高密度和高密度泡棉接觸的滾動(dòng)摩擦因數(shù) 和 為自變量，相應(yīng)的水平滾動(dòng)距離 和 為因變量，對結(jié)果進(jìn)行曲線擬合，得到如下方程：

將蘋果在特高密度和高密度泡棉上的水平滾動(dòng)距離均值1071.80和 5 3 3 . 3 2 m m 代入方程（13），計(jì)算得到滾動(dòng)摩擦系數(shù)分別為0.0166和0.0288。與實(shí)測均值0.0167和0.0289相比，計(jì)算值的相對誤差分別為 0 . 6 % 和 0 . 3 % ，表明經(jīng)過標(biāo)定的仿真滾動(dòng)摩擦系數(shù)與試驗(yàn)結(jié)果高度一致。故蘋果與特高密度和高密度泡棉在仿真中的滾動(dòng)摩擦系數(shù)分別被設(shè)定為0.0166和0.0288。蘋果與泡棉之間靜摩擦系數(shù)的實(shí)測值與仿真值極為接近，這驗(yàn)證了在測量蘋果的水平滾動(dòng)距離時(shí)，采用分段積分的方式有助于提升標(biāo)定精度。

2.3蘋果顆粒間的摩擦系數(shù)

2.3.1顆粒間的靜摩擦系數(shù)參考文獻(xiàn)[24]，本研究采用與接觸材料間靜摩擦系數(shù)相似的方法來確定蘋果間的靜摩擦系數(shù)。在試驗(yàn)（圖13a）中，將4個(gè)大小相近的蘋果捆綁成第1組，并固定在亞克力板的斜面上。另取4個(gè)相似大小的蘋果捆綁成第2組，并使其與底板上的蘋果保持接觸。在EDEM軟件中，添加1個(gè) 長、 5 0 0 m m 寬的矩形平板，并將其本征參數(shù)設(shè)置為與鋼板一致。通過多球面組合方法生成了由4個(gè)球體組成的蘋果仿真顆粒，以模擬實(shí)際試驗(yàn)條件下的黏結(jié)蘋果（圖13b）。

1：蘋果；2：數(shù)顯傾角儀；3：泡棉。1： Apple; 2： Digital inclinometer;3： Foam.

試驗(yàn)時(shí)，緩慢抬升底板，直至蘋果間開始發(fā)生滑動(dòng)，此時(shí)通過數(shù)顯傾角儀記錄臨界傾角。試驗(yàn)選取3種不同質(zhì)量區(qū)間的蘋果！ （ lt; 1 7 0 ， 1 7 0～1 9 0 和 ，并在每個(gè)質(zhì)量區(qū)間內(nèi)重復(fù)進(jìn)行10次試驗(yàn)。利用公式（9）計(jì)算得出靜摩擦系數(shù)，并取其均值，結(jié)果如表2所示。由于蘋果的質(zhì)量對其靜摩擦系數(shù)的影響不顯著 （ P=0 . 1 7 ） ，在進(jìn)行蘋果間靜摩擦系數(shù)的仿真標(biāo)定試驗(yàn)時(shí)，忽略蘋果的質(zhì)量因素。

在仿真接觸參數(shù)設(shè)置中，使用經(jīng)過標(biāo)定的碰撞恢復(fù)系數(shù) ，并將滾動(dòng)摩擦系數(shù)設(shè)置為0。蘋果間的靜摩擦系數(shù)取值范圍為 0 . 2 ～ 0 . 6 ，間隔為0.1，每個(gè)數(shù)值重復(fù)3次。以顆粒開始滑動(dòng)時(shí)的臨界傾角 為評價(jià)指標(biāo)，探究其與靜摩擦系數(shù)之間的關(guān)系，結(jié)果見圖14。

以顆粒間的靜摩擦系數(shù) 為自變量，斜面臨界傾角 為因變量，對數(shù)據(jù)結(jié)果進(jìn)行曲線擬合，得到方程：

將臨界傾角 代入所得方程，計(jì)算得到對應(yīng)的顆粒間的靜摩擦系數(shù)為0.42。與實(shí)測值0.41相比，相對誤差為 1 . 6 % 。這表明經(jīng)過標(biāo)定的靜摩擦系數(shù)與實(shí)測值基本吻合。

2.3.2顆粒間的滾動(dòng)摩擦系數(shù)1）堆積角測量試驗(yàn)。在顆粒物料的研究中，堆積角 作為一個(gè)關(guān)鍵的宏觀參數(shù)，能夠有效地表征顆粒物料流動(dòng)、摩擦等特性。接觸參數(shù)，如靜摩擦系數(shù)、滾動(dòng)摩擦系數(shù)，對堆積角的測量有顯著影響[25]。上述部分已完成顆粒間靜摩擦系數(shù)和顆粒與泡棉間摩擦系數(shù)的仿真標(biāo)定，本部分旨在分析和標(biāo)定顆粒間的滾動(dòng)摩擦系數(shù) 。

通過箱體抽板法，進(jìn)行蘋果間滾動(dòng)摩擦系數(shù)的測定，如圖15a所示。箱體的內(nèi)部尺寸為 4 0 0 m m× ，總高 。試驗(yàn)過程中，擋板以一個(gè)緩慢的速度 抽提，以確保顆粒在堆積過程中能夠自由擴(kuò)散，并在底板上形成一個(gè)自然的顆粒堆。顆粒種群形成的斜面與水平底板平面的夾角即為種群堆積角。在仿真試驗(yàn)（圖15b）中，為了最小化蘋果顆粒對堆積角測量的影響，本研究選用了半徑為 2 m m 的顆粒來構(gòu)建蘋果的離散元模型，該模型通過EDEM軟件的顆粒工廠功能生成了2495個(gè)顆粒。試驗(yàn)所用的箱體材質(zhì)為鋼化玻璃，尺寸為長 5 0 0 m m. 、寬 4 0 0 m m， 高 6 0 0 m m ，其本征參數(shù)依據(jù)鋼材屬性設(shè)定，而接觸參數(shù)則與泡棉的參數(shù)相同。

鑒于擋板的抽提速度對顆粒堆積形態(tài)的影響[12]，本研究設(shè)定了5個(gè)不同的速度梯度：60、240、360、480和 7 2 0 m m / m i n ，以評估其對堆積角測量精度的影響。同時(shí)，考慮到蘋果質(zhì)量和形狀對結(jié)果的影響，將蘋果分為3個(gè)質(zhì)量區(qū)間： 和 ，每個(gè)區(qū)間選用160個(gè)樣本進(jìn)行10次重復(fù)試驗(yàn)。顆粒群穩(wěn)定后，使用iPhone12進(jìn)行拍照，并通過AdobePhotoshop2020軟件處理為灰度圖，進(jìn)行二值化以提取顆粒堆的邊界，如圖16所示。將GetDataGraphDigitizer2.25軟件抓取的像素坐標(biāo)導(dǎo)入OriginPro2023軟件，并運(yùn)用最小二乘法進(jìn)行線性擬合，如圖17a所示。擬合直線的斜率代表了堆積角的正切值，將該值轉(zhuǎn)換為角度后即得到堆積角的測量結(jié)果。

圖17b展示了3個(gè)蘋果質(zhì)量區(qū)間下?lián)醢宄樘崴俣扰c堆積角的關(guān)系。方差分析結(jié)果顯示，蘋果質(zhì)量對堆積角的影響不顯著 （ Pgt;0 . 0 9 ） ，且當(dāng)擋板抽提速度低于 4 8 0 m m / m i n 時(shí)，各速度組之間的堆積角差異同樣不具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義 （ Pgt;0 . 0 5 ） 。過低的抽提速度會(huì)導(dǎo)致模擬過程耗延長和計(jì)算負(fù)擔(dān)加重，特別是對于大規(guī)模模擬系統(tǒng)而言。因此，本研究選擇了 作為擋板的抽提速度，進(jìn)行蘋果顆粒間滾動(dòng)摩擦系數(shù)的仿真試驗(yàn)。

2）堆積角仿真參數(shù)分析和標(biāo)定。在箱體內(nèi)，采用靜態(tài)法生成了與實(shí)測試驗(yàn)等量的蘋果顆粒。根據(jù)文獻(xiàn)[3]及眾多的仿真預(yù)試驗(yàn)，確定了顆粒間滾動(dòng)摩擦系數(shù)的范圍為 0 . 0 1～0 . 0 5 。其余參數(shù)均采用經(jīng)過標(biāo)定的數(shù)值，具體為：顆粒間的碰撞恢復(fù)系數(shù)為0.65，顆粒與泡棉的碰撞恢復(fù)系數(shù)為0.61，顆粒間的靜摩擦系數(shù)為0.42，顆粒與泡棉的滾動(dòng)摩擦系數(shù)為0.0166，擋板抽提速度與實(shí)測試驗(yàn)保持一致。本研究以堆積角為評價(jià)指標(biāo)，將仿真結(jié)果以散點(diǎn)圖的形式呈現(xiàn)，如圖18所示。

以蘋果間的滾動(dòng)摩擦系數(shù) 為獨(dú)立變量，并選取堆積角 作為性能評價(jià)指標(biāo)。通過非線性最小二乘擬合方法，建立了描述二者關(guān)系的數(shù)學(xué)方程：

將此堆積角的均值 代入擬合方程（15），得蘋果顆粒間的滾動(dòng)摩擦系數(shù) 。

3圓筒提升法堆積角驗(yàn)證試驗(yàn)

采用無底圓筒提升法對堆積角進(jìn)行驗(yàn)證試驗(yàn)（圖19a），試驗(yàn)裝置包括一個(gè)無底圓筒（內(nèi)徑450m m ，高 ）和一個(gè)底板（長 、寬1 0 0 0 m m） 。在仿真試驗(yàn)（圖19b）中，設(shè)置蘋果間的滾動(dòng)摩擦系數(shù)為0.032，圓筒抬升速度與真實(shí)試驗(yàn)一致，其余參數(shù)采用經(jīng)過標(biāo)定的數(shù)值。為確保圓筒抬升速度對蘋果堆積角的影響最小化，研究預(yù)先進(jìn)行了在不同抬升速度下的堆積角測試，結(jié)果如圖20所示。同理，選定 作為圓筒的抬升速度，試驗(yàn)測得的蘋果堆積角的均值為（ （ 1 9 . 6 ± 。仿真結(jié)果測得的堆積角為 ，兩者相比，相對誤差為 6 . 6 % 。證明了所標(biāo)定滾動(dòng)摩擦系數(shù)的有效性。

4結(jié)論

1）通過堆積和球形顆粒組合法構(gòu)建了蘋果的離散元模型，在權(quán)衡計(jì)算精度和效率的基礎(chǔ)上，確定當(dāng)顆粒半徑設(shè)定為 2 m m 時(shí)，模型的適用性最佳。

2）蘋果的表面接觸部位對其碰撞恢復(fù)系數(shù)的影響不明顯。以顆粒半徑為 2 m m 組成的離散元模型進(jìn)行仿真標(biāo)定時(shí)，蘋果與特高密度和高密度泡棉的碰撞恢復(fù)系數(shù)分別為0.61和0.47，靜摩擦系數(shù)分別為0.46和0.61，滾動(dòng)摩擦系數(shù)分別為0.0166和0.0288，而蘋果間的對應(yīng)參數(shù)分別為0.65、0.42和0.0320。

3）通過無底圓筒提升法對蘋果的堆積角進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證。結(jié)果顯示，仿真堆積角為 ，與實(shí)際測量值 相比，相對誤差為 6 . 6 % ，證明了標(biāo)定結(jié)果的有效性。

本研究重點(diǎn)介紹了蘋果接觸參數(shù)的標(biāo)定過程，而最終的標(biāo)定結(jié)果通過無底圓筒抬升試驗(yàn)得到了初步驗(yàn)證，證明了標(biāo)定結(jié)果的有效性。此外，本研究結(jié)果預(yù)期為蘋果振動(dòng)收獲系統(tǒng)或采后處理裝置的設(shè)計(jì)優(yōu)化提供理論支持，特別是針對盡量靠近果實(shí)承接或收集的局部對靶振動(dòng)收獲系統(tǒng)。需要注意的是，本研究結(jié)果僅為基于‘魯麗’品種蘋果的試驗(yàn)數(shù)據(jù)。針對其他品種的適用性及潛在差異，后續(xù)研究將進(jìn)一步探討。

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