基于OBE教育理念的高等概率論課程改革與創(chuàng)新

摘要：高等概率論作為數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)的重要課程，具有理論性強(qiáng)、內(nèi)容抽象等特點(diǎn)。在教學(xué)過程中，該課程存在理論抽象難理解、教學(xué)方式單一、學(xué)生參與度低等問題。針對(duì)這些問題，文章基于OBE教育理念，從明確學(xué)習(xí)成果、優(yōu)化課程體系、實(shí)施有效的教學(xué)策略、完善評(píng)價(jià)體系、持續(xù)改進(jìn)與反饋五個(gè)方面進(jìn)行改革與創(chuàng)新。

關(guān)鍵詞：OBE；高等概率論；案例

OBE（成果導(dǎo)向教育）是一種以學(xué)生學(xué)習(xí)成果為導(dǎo)向的教育理念。它強(qiáng)調(diào)從預(yù)期的學(xué)習(xí)結(jié)果出發(fā)，逆向設(shè)計(jì)教學(xué)過程，確保所有學(xué)生都能達(dá)到預(yù)定的學(xué)習(xí)目標(biāo)。

一、明確學(xué)習(xí)成果目標(biāo)

高等概率論課程（以下簡稱課程）以培養(yǎng)具有扎實(shí)統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)科基礎(chǔ)理論和專門知識(shí)，能利用統(tǒng)計(jì)方法解決實(shí)際問題的高級(jí)專業(yè)人才為目標(biāo)。通過課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以系統(tǒng)地了解概率論的基本知識(shí)，掌握測度論、高等概率論相關(guān)理論中的基本方法和基本技巧，為學(xué)生深入學(xué)習(xí)隨機(jī)過程、隨機(jī)分析和數(shù)理統(tǒng)計(jì)等奠定基礎(chǔ)，并培養(yǎng)學(xué)生抽象思維。通過對(duì)概率論中若干重要定理的推理，學(xué)生能提高嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬆芰涂茖W(xué)精神。

二、優(yōu)化課程體系

（一）引入實(shí)際案例

在教學(xué)中，教師可以適時(shí)引入與專業(yè)相關(guān)，與科技前沿、時(shí)事熱點(diǎn)相關(guān)的應(yīng)用案例及課程思政案例，引導(dǎo)學(xué)生用概率論的思想、方法將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并采用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求解。

1.案例一：乘積空間上的測度與積分

在數(shù)學(xué)分析中，低維空間與高維空間的表示法、體積與積分之間的關(guān)系，以及重積分化為累次積分等問題都是非常重要。因此，討論抽象空間中的這些問題具有重要意義，即如何由“低維”可測空間及其測度構(gòu)造“高維”可測空間及其測度；如何由“重積分”化“累次積分”以及如何構(gòu)造任意多個(gè)概率空間的乘積概率空間的問題。

乘積空間上的測度與積分理論在數(shù)學(xué)及其他科學(xué)領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。例如，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，特別是多元統(tǒng)計(jì)分析中，經(jīng)常需要處理多個(gè)變量的聯(lián)合分布，乘積空間上的測度與積分理論提供了處理這類問題的工具，有助于理解變量間的相關(guān)性和依賴性；在量子力學(xué)中，狀態(tài)空間通常是一個(gè)希爾伯特空間，而多個(gè)粒子系統(tǒng)的狀態(tài)位于這些空間的張量積上，因此乘積空間上的測度和積分理論對(duì)于理解與計(jì)算多粒子系統(tǒng)的行為至關(guān)重要。在機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能領(lǐng)域，特別是在處理多維數(shù)據(jù)或特征時(shí)，乘積空間上的測度和積分理論可以用來定義與優(yōu)化模型，尤其是在貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)之間的概率關(guān)系可以用乘積空間上的測度來表示，從而幫助進(jìn)行推理和預(yù)測。

2.案例二：Radon-Nikodym定理的證明及其應(yīng)用

首先，教師直觀地介紹Radon-Nikodym定理（拉東-尼克蒂姆定理）的內(nèi)容。在可測空間上，如果有一個(gè)符號(hào)測度和一個(gè)有限測度，且符號(hào)測度關(guān)于測度絕對(duì)連續(xù)，則在幾乎處處相等的意義下存在唯一的Borel可測函數(shù)（波萊爾可測函數(shù)）使之成為符號(hào)測度關(guān)于該有限測度的Radon-Nikodym導(dǎo)數(shù)。該定理結(jié)論中“存在性”的證明，采用“從特殊到一般”的證明思路，這種證明方法在數(shù)學(xué)定理的證明過程中特別經(jīng)典，非常具有代表性。教師通過逐步分析該定理的證明思路，可以強(qiáng)化學(xué)生的邏輯推理能力，進(jìn)而增強(qiáng)學(xué)生解決一般數(shù)學(xué)問題的科學(xué)思維。

Radon-Nikodym定理是測度論中的一個(gè)基本結(jié)果，它提供了兩個(gè)測度之間關(guān)系的一種描述方式。該定理雖然內(nèi)容比較抽象，但在概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、金融數(shù)學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。例如，在統(tǒng)計(jì)推斷中，Radon-Nikodym定理用于比較不同假設(shè)下的似然函數(shù)，尤其是在假設(shè)檢驗(yàn)中，可以通過計(jì)算兩個(gè)假設(shè)下觀測數(shù)據(jù)的Radon-Nikodym導(dǎo)數(shù)來決定哪個(gè)假設(shè)更合理；在貝葉斯統(tǒng)計(jì)中，先驗(yàn)分布和后驗(yàn)分布之間的關(guān)系可以通過Radon-Nikodym導(dǎo)數(shù)來表達(dá)；在金融數(shù)學(xué)中，Radon-Nikodym定理用于定義等價(jià)鞅測度，這是無套利定價(jià)理論的核心，通過找到一個(gè)關(guān)于物理測度絕對(duì)連續(xù)的風(fēng)險(xiǎn)中性測度，可以將衍生品的價(jià)格表示為在風(fēng)險(xiǎn)中性測度下的期望值；在信息論中，Radon-Nikodym定理用于定義Kullback-Leibler散度（又稱為相對(duì)熵），這是衡量兩個(gè)概率分布之間差異的一個(gè)重要指標(biāo)，而相對(duì)熵的定義涉及兩個(gè)概率測度之間的Radon-Nikodym導(dǎo)數(shù)。

（二）增加實(shí)踐環(huán)節(jié)

MATLAB（矩陣實(shí)驗(yàn)室）、Mathematica（科學(xué)計(jì)算軟件）、Maple（數(shù)學(xué)家的軟件）并稱為三大數(shù)學(xué)軟件，在數(shù)學(xué)類科技應(yīng)用軟件中在數(shù)值計(jì)算方面首屈一指。借助數(shù)學(xué)軟件，學(xué)生可以更好地理解和掌握所學(xué)內(nèi)容。學(xué)生可以運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件完成關(guān)于條件概率、期望、零一律、中心極限定理、大數(shù)定律等內(nèi)容的隨機(jī)數(shù)模擬，學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件實(shí)現(xiàn)隨機(jī)現(xiàn)象的圖像和試驗(yàn)，提高動(dòng)手能力和創(chuàng)新實(shí)踐能力；理論加實(shí)踐的教學(xué)方法在保證學(xué)生學(xué)好理論知識(shí)的同時(shí)，培養(yǎng)了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件解決問題的興趣和能力，進(jìn)而提高學(xué)生在數(shù)學(xué)建模競賽等賽事中的獲獎(jiǎng)率。

三、實(shí)施有效的教學(xué)策略

（一）強(qiáng)調(diào)理論與實(shí)踐相結(jié)合

對(duì)于想繼續(xù)深造的學(xué)生，教師應(yīng)加強(qiáng)理論深度，提供前沿的研究課題和學(xué)術(shù)討論的機(jī)會(huì)。例如，在講授條件期望相關(guān)章節(jié)時(shí)，教師可以介紹Markov過程（馬爾可夫過程）和鞅過程的定義，并用兩者的定義，判斷某些隨機(jī)過程是否具有Markov性質(zhì)或鞅性質(zhì)。同時(shí)，高等概率論課程中有很多定理都是以早期國外概率學(xué)家的名字命名的，如Fubini定理（富比尼定理）、Kolmogorov零一律（柯爾莫哥洛夫零一律）等，容易讓學(xué)生產(chǎn)生國內(nèi)缺少從事概率論研究的數(shù)學(xué)家或者我國概率論研究不強(qiáng)的錯(cuò)覺。實(shí)際上，中國在概率論及相關(guān)領(lǐng)域涌現(xiàn)了許多杰出的數(shù)學(xué)家和概率學(xué)家，他們?cè)趪H上享有很高的聲譽(yù)，并取得了許多世界一流的成就。

例如，中國科學(xué)院院士王梓坤主要從事概率論和隨機(jī)過程的研究，他在隨機(jī)過程的極限理論、隨機(jī)微分方程及隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)等方面作出了重要貢獻(xiàn)。王梓坤的工作在國際上得到了廣泛認(rèn)可，他的研究成果被應(yīng)用于多個(gè)領(lǐng)域，包括金融數(shù)學(xué)和生物統(tǒng)計(jì)學(xué)；中國科學(xué)院院士彭實(shí)戈主要從事概率論和金融數(shù)學(xué)的研究，他是中國金融數(shù)學(xué)的奠基人之一，特別是在倒向隨機(jī)微分方程（BSDE）和非線性期望理論方面作出了開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)。彭實(shí)戈的工作在國際上得到了廣泛認(rèn)可，他的研究成果對(duì)金融市場的風(fēng)險(xiǎn)管理、資產(chǎn)定價(jià)等領(lǐng)域產(chǎn)生了重要影響。教師可以進(jìn)一步介紹我國概率學(xué)家如王梓坤院士、彭實(shí)戈院士等專家學(xué)者在Markov過程、正倒向隨機(jī)微分方程等領(lǐng)域內(nèi)的杰出成就，激發(fā)學(xué)生繼續(xù)深造的興趣。

（二）個(gè)性化輔導(dǎo)

根據(jù)學(xué)生的不同職業(yè)目標(biāo)，教師應(yīng)開展個(gè)性化的指導(dǎo)。例如，對(duì)想要考公務(wù)員的學(xué)生，教師應(yīng)指導(dǎo)他們理解如何在邏輯推理部分運(yùn)用概率知識(shí)；對(duì)希望從事研究工作的學(xué)生，教師應(yīng)引導(dǎo)他們參與科研項(xiàng)目；對(duì)想進(jìn)入中學(xué)任職的學(xué)生，教師可以通過案例分析、實(shí)際問題解決等方法，將復(fù)雜的概率論概念簡化，并聯(lián)系到基礎(chǔ)教育中的數(shù)學(xué)內(nèi)容。例如，高等概率論課程中涉及一些重要定理的證明，而證明思路是中學(xué)階段就學(xué)習(xí)和使用過的反證法、數(shù)學(xué)歸納法等，教師通過分析這些方法的精妙之處，可以幫助將來想從事教育行業(yè)的學(xué)生強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維，進(jìn)而提高教學(xué)水平。

（三）促進(jìn)交流與合作學(xué)習(xí)

通過課堂討論、辯論賽或者模擬授課等活動(dòng)，學(xué)生會(huì)互相學(xué)習(xí)對(duì)方的觀點(diǎn)和想法，同時(shí)鍛煉表達(dá)能力和團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力。例如，對(duì)可測函數(shù)序列幾種收斂之間的“強(qiáng)弱”關(guān)系（如圖1所示），在學(xué)生學(xué)習(xí)了“強(qiáng)”收斂能推出“弱”收斂的證明之后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考或小組討論：為什么“弱”收斂不能推出“強(qiáng)”收斂，且給出“弱”收斂不能推出“強(qiáng)”收斂的例子，最后讓學(xué)生講出相關(guān)反例。

（四）利用技術(shù)輔助教學(xué)

教師使用在線資源如視頻講座、虛擬實(shí)驗(yàn)室等工具來豐富課程內(nèi)容，使抽象的概率論概念更加直觀易懂。例如，利用學(xué)習(xí)通，建立線上課程，教師可以在章節(jié)內(nèi)發(fā)布速課視頻，在資料文件夾中分享課件和相關(guān)領(lǐng)域的前沿問題的學(xué)術(shù)論文，還可以鼓勵(lì)學(xué)生在班級(jí)空間內(nèi)暢所欲言，方便學(xué)生隨時(shí)提問和分享資料。

四、完善評(píng)價(jià)體系

目前單一的期末閉卷考核已經(jīng)不能充分反映學(xué)生對(duì)課程內(nèi)容的掌握程度，所以教師要優(yōu)化考核方式，將章節(jié)測試、課堂報(bào)告和小論文等環(huán)節(jié)納入平時(shí)作業(yè)的考核內(nèi)容，并按照平時(shí)作業(yè)15%+課堂表現(xiàn)10%+章節(jié)測試15%+期末考試60%的分配額度進(jìn)行考核，考試實(shí)行考教分離制度，試題的選取要求易、中、難的比例為3∶5∶2，這樣的考核制度能更好地檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)理論知識(shí)的理解能力和證明計(jì)算能力，實(shí)現(xiàn)課程知識(shí)目標(biāo)、能力目標(biāo)和育人目標(biāo)的結(jié)合，提高人才培養(yǎng)質(zhì)量。

五、持續(xù)改進(jìn)與反饋

教師收集來自學(xué)生和其他同行教師聽課的反饋，并且定期審查課程的有效性，并根據(jù)學(xué)生和同行教師的意見和建議做出必要的調(diào)整。在師生互動(dòng)方面，教師堅(jiān)持開放式交流，創(chuàng)建一個(gè)積極互動(dòng)的學(xué)習(xí)環(huán)境。教師扮演引導(dǎo)者的角色，幫助學(xué)生識(shí)別他們的優(yōu)勢領(lǐng)域，從而更有效地達(dá)成學(xué)習(xí)成果。例如，中國礦業(yè)大學(xué)（北京）每學(xué)期都會(huì)有督導(dǎo)組專家教師進(jìn)課堂聽課，課后專家會(huì)針對(duì)課堂師生表現(xiàn)給出具體的意見和建議。根據(jù)這些寶貴的意見和建議，教師認(rèn)真反思和重構(gòu)教學(xué)環(huán)節(jié)，不斷優(yōu)化教學(xué)策略，提高學(xué)生在課堂內(nèi)外的學(xué)習(xí)效率。此外，教師應(yīng)堅(jiān)持參加科研、教學(xué)活動(dòng)，保持課程內(nèi)容與時(shí)俱進(jìn)。

綜上所述，基于OBE教育理念，在高等概率論的教學(xué)過程中，教師可以創(chuàng)造一個(gè)更加以學(xué)生為中心、注重實(shí)效的教學(xué)環(huán)境，不僅能提高教學(xué)質(zhì)量，也能更好地滿足學(xué)生未來職業(yè)生涯的需求。

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基金項(xiàng)目：中國礦業(yè)大學(xué)（北京）2024年研究生教育教學(xué)改革項(xiàng)目“高等概率論課程的改革與創(chuàng)新探究”，項(xiàng)目編號(hào)：YJG2024018。