例析萬有引力與宇宙航行問題解題方法

摘要：高中生在學(xué)習(xí)“萬有引力與宇宙航行”這一章時(shí)，會(huì)遇到研究對(duì)象混亂不清、沒有解題思路等問題，教師在教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)著重引導(dǎo)學(xué)生掌握本章內(nèi)容的核心解題方法，并用該方法講解各種典型天體問題.

關(guān)鍵詞：萬有引力；地面物體；環(huán)繞天體

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2025）07-0105-03

收稿日期：2024-12-05

作者簡(jiǎn)介：龍建虹，本科，中小學(xué)一級(jí)教師，從事高中物理教學(xué)研究.[FQ）]

在高考物理中，萬有引力與宇宙航行問題是每年必考的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，題目難度基本是中等偏下.在高中物理知識(shí)體系中，萬有引力與宇宙航行這一章與其他章節(jié)聯(lián)系不大，造成了學(xué)生難以理解、不易得分的現(xiàn)象.實(shí)際上，學(xué)生只要能把萬有引力與宇宙航行問題的核心抓住，把兩大類研究對(duì)象區(qū)分清楚，即可快速正確解題.

1萬有引力與宇宙航行問題兩大核心解題方法

1.1問題類型一

題目中已知或未知條件涉及星球表面的重力加速度g，則解題方法為：選擇靜止在星球表面上的某一物體m，對(duì)m列出萬有引力與重力的關(guān)系方程求解.若忽略地球自轉(zhuǎn)影響，對(duì)地面上物體m：

GMmR2=mg；

若考慮地球自轉(zhuǎn)影響，對(duì)兩極處物體m：GMmR2=mg1，

對(duì)赤道處物體m：GMmR2=mg2+mω2自R.

這一類情況要強(qiáng)調(diào)：題中沒有提到地球自轉(zhuǎn)相關(guān)信息時(shí)，都默認(rèn)本題屬于忽略地球自轉(zhuǎn)影響，而要考慮地球自轉(zhuǎn)，題中會(huì)有一些特定的條件來敘述.

1.2問題類型二

題目中已知或未知條件涉及環(huán)繞天體，則解題方法是選擇該環(huán)繞天體m，對(duì)m列出萬有引力提供向心力的關(guān)系方程

GMmr2=mv2r求解.

這一類情況要強(qiáng)調(diào)，萬有引力公式GMmr2中的r是M與m之間的距離，而向心力公式mv2r中的r是圓軌道的半徑，兩者的物理意義是完全不一樣的，在有些情況下兩者是不相等的，例如雙星問題、三星問題等多星問題.

2運(yùn)用兩種解題思路例析典型天體問題

2.1天體中的圖像問題

例1宇航員在月球表面將小球豎直向上拋出，取拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)向上建立x軸，從小球拋出開始計(jì)時(shí)，小球運(yùn)動(dòng)的xt-t圖像如圖1所示.忽略月球的自轉(zhuǎn)，月球半徑為R，引力常量為G.則下列分析正確的是（）.

A．繞月飛船在近月軌道上的繞行速度為aRb

B．月球的密度為3a2πRGb

C． 小球豎直上拋的初速度為2a

D． 小球從O點(diǎn)上升的最大高度為ab

分析由小球運(yùn)動(dòng)的xt-t圖像結(jié)合位移時(shí)間公式x=v0t-12gt2，就可以求出月球表面的重力加速度g=2ab，屬于問題類型一，因此在忽略月球自轉(zhuǎn)情況下，根據(jù)對(duì)月球表面物體m：GMmR2=mg求解出月球質(zhì)量M，再結(jié)合密度公式

便可求出月球密度，判斷出B項(xiàng)正確；再把重力加速度g帶入第一宇宙速度公式v1=gR，可得A項(xiàng)錯(cuò)誤.第一類情況中大多題是直白地提到了重力加速度g，但有些題中是在描述某個(gè)物體在星球表面做自由落體、豎直上拋、平拋等運(yùn)動(dòng)，其實(shí)都是在間接給出重力加速度g[1]，這都是天體問題中的第一類問題.

2.2要考慮星球自轉(zhuǎn)影響的天體問題

例22020年7月23 日我國(guó)首個(gè)獨(dú)立火星探測(cè)器“天問一號(hào)”在文昌航天發(fā)射場(chǎng)成功升空并進(jìn)入預(yù)定軌道，已于今年5月15日成功著陸火星表面，對(duì)我國(guó)持續(xù)推進(jìn)深空探測(cè)、提升國(guó)家軟實(shí)力和國(guó)際影響力具有重要意義.已知把火星視為半徑為R均勻球體，火星兩極表面的重力加速度大小為g，火星赤道表面重力加速度大小為ng，引力常量為G.則以下選項(xiàng)正確的是（）.

A．在火星赤道上質(zhì)量為m的探測(cè)器，它對(duì)火星表面的壓力大小為mg

B．火星的質(zhì)量為ngR2G

C．火星的第一宇宙速度為ngR

D．火星的自轉(zhuǎn)周期為2πR（1-n）g

分析題目條件已知火星表面的重力加速度，屬于問題類型一，兩極和赤道處的重力加速度不一樣.

對(duì)火星表面兩極處物體m：GMmR2=mg，對(duì)火星表面赤道處物體m：GMmR2=mng+m4π2T2R，兩式聯(lián)立即可求出火星的質(zhì)量M和自轉(zhuǎn)周期T，再根據(jù)火星的第一宇宙速度的公式，可得只有D項(xiàng)正確.

2.3多個(gè)研究對(duì)象的天體問題

例3已知嫦娥四號(hào)繞月運(yùn)行軌道看作半徑為r的圓軌道如圖2，月球的半徑為R，月球表面的重力加速度為g，引力常量為G，求：（1）月球的質(zhì)量M；

（2）嫦娥四號(hào)的運(yùn)行周期T；

（3）繞月飛船的最大運(yùn)行速度v.

分析題中已知條件給出了月球表面的重力加速度g，屬于問題類型一，隱含著忽略月球的自轉(zhuǎn)

，所以對(duì)星球表面物體m列式：GMmR2=mg求解出

月球質(zhì)量M=gR2G.（2）和（3）的研究對(duì)象是月球的環(huán)繞天體，屬于問題類型二，對(duì)嫦娥四號(hào)m列式：

GMmr2=m4π2T2r，結(jié)合黃金代換式GM=gR2可解出周期T=2πr3gR2；對(duì)月球近月衛(wèi)星m列式：

GMmR2=

mv2R，再結(jié)合黃金代換式可解出第一宇宙速度v=gR.此題是天體問題中非常典型的一類題，

三個(gè)小問的研究對(duì)象都是不一樣，需清楚每個(gè)式子中的m分別是誰的質(zhì)量.對(duì)于初學(xué)的學(xué)生來說“m”是誰，就是他們?cè)趯W(xué)本單元時(shí)最大疑問點(diǎn)和混亂點(diǎn)，所以必須強(qiáng)調(diào)所列每一個(gè)方程的研究對(duì)象.

2.4雙星問題

例4“雙星系統(tǒng)”由相距較近的恒星組成，每個(gè)恒星的半徑遠(yuǎn)小于兩個(gè)恒星之間的距離，圖3雙星系統(tǒng)示意圖而且雙星系統(tǒng)一般遠(yuǎn)離其他天體，它們?cè)谙嗷ラg的萬有引力作用下，繞某一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)[2]，如圖3所示為由A、B兩顆恒星組成的“雙星系統(tǒng)”，A星球的質(zhì)量為m1，B星球的質(zhì)量為m2，它們中心之間的距離為L(zhǎng)，引力常量為G，則下列說法正確的是（）.

A．A、B兩星線速度相等

B．雙星運(yùn)行的角速度為ω=G（m1+m2）L3

C．A星球的軌道半徑為r1=m1m1+m2L

D．若近似認(rèn)為B星球繞A星球中心做圓周運(yùn)動(dòng)，則B星球的運(yùn)行周期為T=2πLLGm1

分析雙星問題中的恒星是環(huán)繞天體，屬于問題類型二，對(duì)其中A列式為：Gm1m2L2=m1ω2r1，對(duì)B列式為：Gm1m2L2=m2ω2r2，又有r1+r1=L，結(jié)合三個(gè)式子便可求出雙星的角速度、周期、兩星各自的軌道半徑等，發(fā)現(xiàn)只有B項(xiàng)正確，而雙星的角速度相等，線速度與軌道半徑成正比.雙星、三星等多星問題中，萬有引力公式中的距離和向心力公式中的圓軌道半徑，一般情況都是不相等.

2.5太空電梯問題

例5（多選）人類設(shè)想在赤道平面內(nèi)建造一條垂直于地面并延伸到太空的電梯，又稱“太空電梯”如圖4所示.圖5中，圖線A表示地球引力對(duì)航天員產(chǎn)生的加速度大小與航天員距地心的距離r的關(guān)系，圖線B表示航天員相對(duì)地面靜止時(shí)而產(chǎn)生的向心加速度大小與r的關(guān)系.圖5中R（地球半徑），r0為已知量，地球自轉(zhuǎn)的周期為T，引力常量為G，航天員質(zhì)量為m下列說法正確的有（）.

A．地球的質(zhì)量為4π2r30GT2

B．當(dāng)Rlt;rlt;r0 時(shí)，航天員從運(yùn)載倉向外自由釋放一個(gè)小物塊，小物塊將做離心運(yùn)動(dòng)

C．當(dāng)Rlt;rlt;r0 時(shí)，航天員受到的支持力為m（2πT）2r30r2-m（2πT）2r

D．隨著r的增大，航天員對(duì)電梯艙的彈力逐漸增大圖4太空電梯圖5加速度大小與距離關(guān)系圖像

分析由圖5可見在r0處時(shí)aA=aB，則可知此位置處便是地球同步軌道高度處，所以當(dāng)航天員在r0處時(shí)，屬于問題類型二，對(duì)航天員m列式：GMmr20

=m4π2T2r0，便可求出M=4π2r30GT2，A項(xiàng)正確.

當(dāng)航天員靜止位置在Rlt;rlt;r0時(shí)，如果他受到的萬有引力提供向心力，則轉(zhuǎn)動(dòng)周期將小于地球自轉(zhuǎn)周期，就不可能在電梯里相對(duì)地球靜止，因此屬于問題類型一，對(duì)航天員m列式：GMmr2-FN=m4π2T2r，再聯(lián)立M

=4π2r30GT2便可解得宇航員受到支持力為FN=m（2πT）2r30r2-m（2πT）2r，C選項(xiàng)正確.航天員手中的小球自由釋放，則小球受到的萬有引力將大于向心力，小球?qū)?huì)做近心運(yùn)動(dòng)，B項(xiàng)錯(cuò)誤.隨著r的增大，航天員對(duì)電梯艙的彈力是先減小后增大，在同步軌道r0處彈力最小為0，航天員處于完全失重狀態(tài)，D項(xiàng)錯(cuò)誤.

3結(jié)束語

由例析可見，在學(xué)習(xí)本章內(nèi)容時(shí)，教師只要著重引導(dǎo)學(xué)生在審題過程中選擇和區(qū)分兩大類問題，并強(qiáng)化兩種解題方法，學(xué)生便能豁然開朗，游刃有余地解決萬有引力與宇宙航行問題.

參考文獻(xiàn)：

［1］都蘋麗，胡崇春.常見的萬有引力問題的分類解析[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（高中版）， 2005（23）：38-41.

［2］ 唐國(guó)忠.天體運(yùn)動(dòng)中的雙星和多星問題探究[J].高中數(shù)理化，2024（18）：15-16.

［責(zé)任編輯：李璟］