追蹤導(dǎo)函數(shù)中恒成立問題的求解策略

摘要：導(dǎo)函數(shù)問題中的恒成立問題是高中數(shù)學(xué)中一個極具魅力、富有探討價值的問題，它幾乎涉及整個高中階段所學(xué)的所有函數(shù)和不等式.恒成立問題是高考數(shù)學(xué)的重中之重，其中滲透著豐富的數(shù)學(xué)思想，在近幾年高考試題中由于頻繁出現(xiàn)，因此頗受命題者青睞.文章通過幾個典型例題來說明解決這類問題的求解策略，以期提高同學(xué)們的思維靈活性、創(chuàng)造性.

關(guān)鍵詞：導(dǎo)函數(shù)；恒成立；求解策略

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2025）07-0035-04

收稿日期：2024-12-05

作者簡介：張己寬，本科，二級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究；

張剛，本科，高級講師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

恒成立問題是高中數(shù)學(xué)函數(shù)部分的一種典型問題，它具有知識融合性強、綜合程度高、考查難度大等特點，同時，還具有一定的技巧性，能夠很好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)高階思維能力和解題水平.這類問題往往題目條件比較隱蔽，加上學(xué)生原有數(shù)學(xué)思維固化，不能靈活變通和發(fā)散，從而在短時間內(nèi)難以找到破解這類問題的求解策略.本文結(jié)合幾個典型實例，剖析這類數(shù)學(xué)問題，與大家一起交流與分享.

1依據(jù)函數(shù)結(jié)構(gòu)，合理構(gòu)造函數(shù)

數(shù)學(xué)解題中，同一素材的題目往往會有不同的表現(xiàn)形式.因此，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造輔助元素，有助于改變題目的原有形式特征.事實上，在高中數(shù)學(xué)解題的過程中就存在著這類問題，它需要依據(jù)所給問題條件、結(jié)構(gòu)特點，借助“架設(shè)橋梁，搭橋鋪路”實現(xiàn)相關(guān)問題的轉(zhuǎn)化，從而找到問題解決的關(guān)鍵所在［1］.而高中數(shù)學(xué)中，特別是導(dǎo)函數(shù)問題，有時就需要依據(jù)原函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征合理構(gòu)造新函數(shù)，溝通題目條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，順利將復(fù)雜問題向簡單問題轉(zhuǎn)化，常見的構(gòu)造函數(shù)有整體構(gòu)造、局部構(gòu)造、一次構(gòu)造以及多次構(gòu)造等類型.

例1設(shè)函數(shù)f ′（x）是奇函數(shù)f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)，f（-1）=0，當(dāng)xgt;0時，xf ′（x）-f（x）lt;0，則使得f（x）gt;0成立的x的取值范圍是（）.

A.（-∞，-1）∪（0，1）B.（-1，0）∪（1，+∞）

C.（-∞，-1）∪（-1，0）D.（0，1）∪（1，+∞）

解析構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）x，則

g′（x）=xf ′（x）-f（x）x2.

因為當(dāng)xgt;0時，xf ′（x）-f（x）lt;0，故當(dāng)xgt;0時，g′（x）lt;0，所以g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減.

又因為函數(shù)f（x）（x∈R）是奇函數(shù)，故函數(shù)g（x）是偶函數(shù).

所以g（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，且g（-1）=g（1）=0.

當(dāng)0lt;xlt;1時，g（x）gt;0，則f（x）gt;0；

當(dāng)xlt;-1時，g（x）lt;0，則f（x）gt;0.

綜上所述，使得f（x）gt;0成立的x的取值范圍是（-∞，-1）∪（0，1）.故選A.

評注根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算法則，xf ′（x）與f（x）中間若是“+”號，則應(yīng)構(gòu)造y=f（x）g（x），xf ′（x）與f（x）中間若是“-”號，則應(yīng)構(gòu)造函數(shù)y=f（x）g（x）（g（x）≠0），再根據(jù)構(gòu)造的新函數(shù)的性質(zhì)，解答與f（x）有關(guān)的問題.而其中的g（x），在題中都有一定程度的提示.

例2已知f（x）為R上的可導(dǎo)函數(shù)，且x∈R，均有f（x）gt;f ′（x），則有（）.

A.e2 015f（-2 015）lt;f（0），f（2 015）gt;e2 015f（0）

B.e2 015f（-2 015）lt;f（0），f（2 015）lt;e2 015f（0）

C.e2 015f（-2 015）gt;f（0），f（2 015）gt;e2 015f（0）

D.e2 015f（-2 015）gt;f（0），f（2 015）lt;e2 015f（0）

解析僅從f（x）gt;f ′（x）這個條件，無從入手，此時我們必須借助于選擇題中的選項的提示功能.結(jié)合所學(xué)知識分析可知，要引入函數(shù)y=ex.

由f（x）gt;f ′（x）可得f（x）-f ′（x）gt;0，中間是“-”號，故要構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）ex，則

h′（x）=［f（x）ex］′

=f ′（x）ex-exf（x）e2x

=f ′（x）-f（x）exlt;0.

所以函數(shù)h（x）=f（x）ex在R上單調(diào)遞減.

故h（-2 015）gt;h（0）.

即f（-2 015）e-2 015gt;f（0）e0.

即e2 015f（-2 015）gt;f（0）.

同理，h（2 015）lt;h（0）.

即f（2 015）lt;e2 015f（0）.

故選D.

評注λf（x）+f ′（x）gt;0（λ∈R）的情況：λf（x）+f ′（x）gt;0［eλx·f（x）］′gt;0.

變式訓(xùn)練設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為R，且對任意x∈R，f ′（x）+f（x）gt;0，則對任意正數(shù)a，必有（）.

A.f（a）gt;eaf（0）B.f（a）lt;eaf（0）

C.f（a）lt;f（0）eaD.f（a）gt;f（0）ea

參考答案D.

2借助函數(shù)單調(diào)性，尋求等價轉(zhuǎn)換

一般情況下，函數(shù)思想就是通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)進行解題.我們經(jīng)常利用的函數(shù)性質(zhì)是定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值以及圖象變換等，這就要求我們應(yīng)熟練掌握各種函數(shù)的圖象性質(zhì)，在解題過程中善于挖掘題目的隱含條件，構(gòu)造函數(shù)解析式，從而妙用函數(shù)的性質(zhì)，這是應(yīng)用函數(shù)思想進行等價轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵.函數(shù)的單調(diào)性就是解決這類問題的重要性質(zhì)，借助函數(shù)單調(diào)性可以快速判斷該函數(shù)的增減情況，進而確定函數(shù)變化過程中的臨界點（最值），從而建立相關(guān)不等式，最終求解.

例3已知定義在R上的函數(shù)f（x），滿足f（x）+2f ′（x）gt;0恒成立，且f（2）=1e（e為自然對數(shù)的底數(shù)），求不等式exf（x）-ex2gt;0的解集.

解析exf（x）-ex2gt;0等價于ex2f（x）-1gt;0.

構(gòu)造函數(shù)h（x）=ex2·f（x）-1，則

h′（x）=12ex2［f（x）+2f ′（x）］gt;0.

所以函數(shù)h（x）在R上單調(diào)遞增，且h（2）=e·f（2）-1=0.

因為h（x）gt;h（2），所以xgt;2.

所以不等式exf（x）-ex2gt;0的解集為（2，+∞）.

評注一般地，不能直接求解的不等式，通過移項，得h（x）gt;0，進而構(gòu)造函數(shù)h（x），研究其圖象與x軸的交點位置，即可求得不等式的解.

例4已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=12x2，若x1gt;x2gt;0，試問：m（m∈Z，m≤1）取何值時，總有m［g（x1）-g（x2）］gt;x1f（x1）-x2f（x2）恒成立.

解析不等式m［g（x1）-g（x2）］gt;x1f（x1）-x2f（x2）等價于mg（x1）-x1f（x1）gt;mg（x2）-x2f（x2）.

觀察上述不等式左右結(jié)構(gòu)的對稱性，我們?nèi)菀紫氲剑簶?gòu)造輔助函數(shù)

q（x）=mg（x）-xf（x）=m2x2-xlnx（xgt;0）.

由題設(shè)x1gt;x2gt;0，所以，當(dāng)xgt;0時，函數(shù)q（x）單調(diào)遞增，即有q′（x）=mx-lnx-1≥0恒成立.

得m≥lnx+1x恒成立.

即m≥（lnx+1x）max.

再次引入輔助函數(shù)h（x）=lnx+1x（xgt;0），求導(dǎo)得h′（x）=-lnxx2.

令h′（x）≥0，解得0lt;x≤1.

令h′（x）lt;0，解得xgt;1.

從而可知，函數(shù)h（x）在（0，1］上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減.

于是h（x）max=h（1）=1.

故有m≥1.

因為m∈Z，m≤1，所以m=1.

評注把不等式m［g（x1）-g（x2）］gt;x1f（x1）-x2f（x2）變形為mg（x1）-x1f（x1）gt;mg（x2）-x2f（x2），使得x1僅出現(xiàn)在不等式的左邊，而x2僅出現(xiàn)在不等式的右邊，這體現(xiàn)變量分離的思想方法，呈現(xiàn)出不等式左右兩邊形式一樣的對稱關(guān)系，便于轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型去解決問題.

變式訓(xùn)練已知f（x）=x+alnx（agt;0）對于區(qū)間［1，3］內(nèi)的任意兩個相異實數(shù)x1，x2恒有|f（x1）-f（x2）|lt;|1x1-1x2|成立，則a的取值范圍是.

參考答案（0，83）.

3利用設(shè)而不求，整體代換轉(zhuǎn)化

“設(shè)而不求”思想是高中數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)解題思想之一，其核心思想是通過設(shè)定相關(guān)（一個或多個）變量或者參數(shù)等來輔助解題，它不是為了直接求解變量的具體值［2］.這種方法可以簡化計算過程，通過架設(shè)中間量，溝通已知與未知之間的數(shù)量關(guān)系，從而使得問題變得簡單、明了.該思想主要應(yīng)用于圖形面積、函數(shù)與方程，以及導(dǎo)函數(shù)等問題中.在解題過程中，利用設(shè)而不求思想，能夠建立所設(shè)中間變量的數(shù)量關(guān)系式，從而實現(xiàn)整體代換，避免了繁雜的數(shù)據(jù)計算，優(yōu)化了數(shù)學(xué)解題的過程.

例5已知函數(shù)f（x）=x3+52x2+ax+b（a，b為常數(shù)），設(shè)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f ′（x），若存在唯一的實數(shù)x0，使得f（x0）=x0與f ′（x0）=0同時成立，求實數(shù)b的取值范圍.

解析f ′（x）=3x2+5x+a，由題意知

3x20+5x0+a=0，

x30+52x20+ax0+b=x0.

消去a，得2x30+52x20+x0-b=0有唯一解.

令g（x）=2x3+52x2+x，則

g′（x）=6x2+5x+1=（2x+1）（3x+1），

解g′（x）gt;0得xlt;-12或xgt;-13；

解g′（x）lt;0得-12lt;xlt;-13.

所以g（x）在區(qū)間（-∞，-12），（-13，+∞）上單調(diào)遞增，在（-12，-13）上單調(diào)遞減.

又g（-12）=-18，g（-13）=-754，

故借助函數(shù)g（x）的圖象分析可得，實數(shù)b的取值范圍為（-∞，-754）∪（-18，+∞）.

評注對于題中含有兩個字母的方程，直接求解很不現(xiàn)實，但是不一定要解出來，完全可以整體替換，得到含有未知字母b的方程2x30+52x20+x0-b=0，再分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.

變式訓(xùn)練函數(shù)f（x）=x2-2x+1+alnx有兩個極值點x1，x2，x1lt;x2，求證：f（x2）gt;1-2ln24.

4結(jié)合函數(shù)圖象，進行二次求導(dǎo)

在高中函數(shù)的恒成立問題中，對原函數(shù)進行一次求導(dǎo)后，有時并不能發(fā)現(xiàn)原函數(shù)的圖象變化特征，特別是圖象的增減變化，以及極值點的存在與否.這個時候，對原函數(shù)進行二次求導(dǎo)就扮演著非常重要的角色.對導(dǎo)函數(shù)進行二次求導(dǎo)，可以幫助我們分析和優(yōu)化函數(shù)的細(xì)微變化.比如，函數(shù)的極值點變化，以及原函數(shù)在某點的凸凹性等，從而明確函數(shù)圖象在某一區(qū)間（或某點）的彎曲程度大小，以便于我們找到導(dǎo)函數(shù)的極值點（或最值點）的位置，從而建立參數(shù)的不等關(guān)系，實現(xiàn)所求參數(shù)的取值范圍問題.

例6若k∈Z，且klt;x+xlnxx-1對任意xgt;1恒成立，求k的最大值.

解析設(shè)函數(shù)g（x）=x+xlnxx-1（xgt;1），則g′（x）=x-2-lnx（x-1）2.

令h（x）=x-2-lnx（xgt;1），則

h′（x）=1-1x=x-1xgt;0.

所以h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增.

又因為h（3）=1-ln3lt;0，

h（4）=2-ln4gt;0，

所以存在唯一x0∈（3，4），使得h（x0）=0.

當(dāng)1lt;xlt;x0時，h（x）lt;0，g′（x）lt;0；

當(dāng)xgt;x0時，h（x）gt;0，g′（x）gt;0.

所以g（x）min=g（x0）=x0+x0lnx0x0-1.

又由h（x0）=0得lnx0=x0-2.

代入上式得g（x）min=x0.所以klt;g（x）min=x0.

故由k∈Z，x0∈（3，4），得kmin=3.

評注二次求導(dǎo)的原因是導(dǎo)函數(shù)方程f ′（x）=0無法用初等方程的求解方法求解，尤其是超越方程，因此可以借用圖解法大致判斷解的位置，甚至通過觀察獲得特殊的解.圖解法是求解超越方程函數(shù)不等式的最佳方法，二次求導(dǎo)與“設(shè)而不求”聯(lián)袂，化解一次求導(dǎo)函數(shù)零點“求之不得”問題.

變式訓(xùn)練函數(shù)g（x）=ex-（1+2x）（xgt;0），確定函數(shù)g（x）的單調(diào)性.

參考答案g（x）在（0，ln2］內(nèi)單調(diào)遞減，在（ln2，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增.

5結(jié)束語

通過以上幾個典型實例的剖析，可以說明在導(dǎo)函數(shù)的恒成立問題的求解過程中，只要我們充分挖掘題干條件，深入思考，根據(jù)函數(shù)恒成立的有關(guān)具體問題進行具體分析，合理選擇有效的求解策略，靈活處理，就能應(yīng)對這類問題，從而提升自己的數(shù)學(xué)解題能力，促進數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效提升.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 蔡小雄.更高更妙的高中數(shù)學(xué)思想與方法［M］.杭州：浙江大學(xué)出版社，2016.

［2］ 王懷學(xué)，宋衛(wèi)東.高中數(shù)學(xué)經(jīng)典題型全解析［M］.合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2019.

［責(zé)任編輯：李慧嬌］