“教學評”一體化視角下函數概念中的特殊“點”探究

摘要：本文介紹了“教學評”一體化視角下函數概念中存在的一些常見特殊“點”，并區分了部分容易混淆的概念，通過部分真題呈現這些特殊“點”在高考中的地位和考查方式.

關鍵詞：“教學評”；函數；概念；特殊“點”

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2025）07-0023-03

收稿日期：2024-12-05

作者簡介：魏東升，高級教師，從事高中數學教學研究.

基金項目：福建省教育科學“十四五”規劃“研究共同體”專項課題“逆向設計下高中數學概念教學評一體化的研究”（項目編號：Fjygzx23-145）.

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出，教師應結合相應的教學內容，落實“四基”，培養“四能”，促進學生數學核心素養的形成和發展，達到相應水平的要求[1].教學目標是課標對本節課學生達成目標的要求，是課堂教學活動的起點和歸宿，是教學設計的核心，是教學活動的指導思想.而現實教學中，許多教師把精力只用在自己“教”的設計上，而忽略甚至淡忘了“教”是為“學”服務的.因此，預設的教學目標達成度如何是衡量一節課是否成功的重要標志，而這也是目前教師們感覺到最棘手、最難操作的問題.

評價目標前置化是最好的解決辦法.比如函數的概念和圖象是培養學生邏輯推理、直觀想象和數學運算等核心素養的主要載體之一，也一直是高考數學考查的重點內容.其中函數圖象上的一些常見特殊“點”在刻畫函數圖象的形態和函數的相關性質時有重要作用，這些特殊“點”其實一直是高考題中的常客，但是學生往往對這些函數的概念理解得并不到位，以致常因概念混淆影響相關問題的解決.如果教師在教學目標設置中注意到這些問題，把評價目標前置，探究清楚相關的每一個數學概念，并且在相關概念學習結束后適時地以小專題形式開展一節函數概念中存在的特殊點的專題課，相信定能促進相關的關鍵能力和核心素養的提升.

本文結合部分高考試題，以小專題的形式呈現函數概念中的這些特殊“點”，以供大家參考.

1案例剖析

1.1零點

對于定義在I的函數y=f（x），我們把x0∈I且滿足f（x0）=0的實數x0（注意其是一個數）稱為函數y=f（x0）的零點.

例1（2019年全國Ⅱ卷理）已知函數f（x）=lnx-x+1x-1.討論f（x）的單調性，并證明f（x）有且僅有兩個零點.

解析f（x）的定義域為（0，1）∪（1，+∞）.

因為f ′（x）=1x+2（x-1）2gt;0，

所以f（x）在（0，1），（1，+∞）單調遞增.

因為f（e）=1-e+1e-1lt;0，

f（e2）=2-e2+1e2-1=e2-3e2-1gt;0，

所以f（x）在（1，+∞）有唯一零點x1，即f（x1）=0.

又0lt;1x1lt;1，

f（1x1）=-lnx1+x1+1x1-1=-f（x1）=0，

故f（x）在（0，1）有唯一零點1x1.

綜上可知，f（x）有且僅有兩個零點.

1.2極值點

設函數f（x）在x0附近有定義，如果對x0附近的所有點都滿足f（x）lt;f（x0），就說f（x0）是f（x）的一個極大值，x0（注意其是一個數）是f（x）的一個極大值點.同理可定義極小值點，極大值點和極小值點統稱極值點.

例2（2019年全國Ⅰ卷理）已知函數f（x）=sinx-ln（1+x），f ′（x）為f（x）的導數.證明：f ′（x）在區間（-1，π2）存在唯一極大值點.

解析設g（x）=f ′（x），則

g（x）=cosx-11+x，

g′（x）=-sinx+1（1+x）2.

當x∈（-1，π2）時，g′（x）單調遞減，而g′（0）gt;0，g′（π2）lt;0，可得g′（x）在（-1，π2）有唯一零點，設為α.

則當x∈（-1，α）時，g′（x）gt;0；

當x∈（α，π2）時，g′（x）lt;0.

所以g（x）在（-1，α）單調遞增，在（α，π2）單調遞減.

故g（x）在（-1，π2）存在唯一極大值點.

即f ′（x）在（-1，π2）存在唯一極大值點.

1.3最值點

對于定義在I的函數y=f（x），如果存在實數M滿足：①對于任意實數x∈I，都有f（x）≤M，②存在x0∈I，使得f（x0）=M.那么我們稱x0（注意其是一個數）是函數y=f（x）的最大值點.同理可定義最小值點，最大值點和最小值點統稱最值點.

例3（2019年北京卷文）已知函數f（x）=14x3-x2+x.當x∈［-2，4］時，求證：x-6≤f（x）≤x.

解析令g（x）=f（x）-x，x∈［-2，4］，

由g（x）=14x3-x2，得g′（x）=34x2-2x.

令g′（x）=0，得x=0或x=83.

當x∈（-2，0）和（83，4）時，g′（x）gt;0，

所以g（x）在（-2，0）和（83，4）上單調遞增.

當x∈（0，83）時，g′（x）lt;0，

所以g（x）在（0，83）上單調遞減.

經計算可得g（x）max=g（0）=g（4）=0，

g（x）min=g（-2）=-6.

所以-6≤g（x）≤0.

即x-6≤f（x）≤x.

1.4駐點

駐點又稱為平穩點、穩定點或臨界點，若定義在I的函數f（x）中存在x0∈I滿足f ′（x0）=0，則稱x0（注意其是一個數）為f（x）的一個駐點.

例4（2019年全國Ⅲ卷理）函數y=2x32x+2-x在［-6，6］的圖象大致為（）.

解析設y=f（x）=2x32x+2-x，則

f（-x）=2（-x）32-x+2x=-2x32x+2-x=-f（x）.

所以f（x）是奇函數，圖象關于原點成中心對稱，排除選項C.

又f（4）=2×4324+2-4gt;0，排除選項B.

f（6）=2×6326+2-6≈7，排除選項A.

故選D.

1.5拐點

設函數y=f（x）在x0的某鄰域內連續，若（x0，f（x0））是曲線y=f（x）凹與凸的分界點，則稱（x0，f（x0））（注意其是一個點）為曲線y=f（x）的拐點，也稱反曲點.

例5（2018年全國Ⅲ卷理）已知函數f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）-2x.若a=0，證明：當-1lt;xlt;0時，f（x）lt;0；當xgt;0時，f（x）gt;0.

解析當a=0時，f（x）=（2+x）ln（1+x）-2x，

f ′（x）=ln（1+x）-x1+x.

設函數g（x）=f ′（x）=ln（1+x）-x1+x，則

g′（x）=x（1+x）2.

當-1lt;xlt;0時，g′（x）lt;0；

當xgt;0時，g′（x）gt;0.

故當xgt;-1時，g（x）≥g（0）=0，從而f ′（x）≥0.

所以f（x）在（-1，+∞）單調遞增.

又f（0）=0，故當-1lt;xlt;0時，f（x）lt;0；

當xgt;0時，f（x）gt;0.

1.6不動點

對于定義在I的函數y=f（x），我們把x0∈I且滿足f（x0）=x0的實數x0（注意其是一個數）稱為函數y=f（x0）的不動點［2］.

例6（2019年浙江卷）設a，b∈R，數列an滿足a1=a，an+1=a2n+b，n∈N*，則（）.

A.當b=12，a10gt;10B.當b=14，a10gt;10

C.當b=-2，a10gt;10D.當b=-4，a10gt;10

解析令an+1=f（an），n∈N*，構造f（x）=x2+b，

令f（x）=x，即x2-x+b=0.

則當Δ=1-4b≥0時，即必存在x0，使得

x20-x0+b=0.

即必存在an+1=a2n+b=an對任意n∈N*成立.

當a1=a=x0時，解方程a2-a+b=0，得

a=1±1-4b2.

把B，C，D中b的值代入驗證可得a1=a2=…=a10≤10，故B，C，D三項均不正確.

當b=12時，a2=a21+b≥12，a3=a22+12≥34，a4≥a23+12=1716gt;1，…，a10=a29+12gt;10，故A項正確.

2結束語

我們知道，認清函數圖象上的這些特殊“點”的概念、厘清它們之間的區別和聯系以及熟悉其在高考解題中的作用，對我們的教學是十分必要的.充分理解這些數學概念是發展學生核心素養的重要抓手，在實際教學中，對數學概念的理解既要以素養為導向，又必須依托真實的數學情境，沒有真實情境，就談不上關鍵能力、必備品格和價值觀念的培養.

當下，為了實現人們對美好生活的向往，促進經濟社會的全面發展，國家正在大力弘揚新質生產力.在新高考改革的背景下，教育行業也應該踐行教育的新質生產力.因此，正確處理好教學和評價的關系，認識到評價在“教學評”一致性中扮演著的至關重要的角色，非常有必要.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 彭家麟.函數的不動點和穩定點[J].數學教學，2011（07）：37，40.

［責任編輯：李慧嬌］