可定向復(fù)三維卡拉比-丘流形的計(jì)算與數(shù)據(jù)庫構(gòu)建

摘要： 為了滿足IIB型弦理論緊致化的需求，我們基于Kreuzer和Skarke構(gòu)建的多面體數(shù)據(jù)庫，計(jì)算并生成了一個(gè)可定向復(fù)三維卡拉比-丘流形數(shù)據(jù)庫. 計(jì)算流程如下：首先，通過四維自反多面體構(gòu)建一個(gè)四維Toric 底空間，并確定該底空間中存在的一般復(fù)三維卡拉比-丘流形的超平面表達(dá)式. 同時(shí)，通過分析除子的拓?fù)湫再|(zhì)，確定底空間中可能存在的除子交換Z2 對(duì)稱性. 進(jìn)一步，我們計(jì)算了具有除子交換Z2對(duì)稱性的復(fù)三維卡拉比-丘流形及其固定點(diǎn)等性質(zhì)，并評(píng)估了其在IIB 型弦理論緊致化中的適用性. 在固定點(diǎn)計(jì)算過程中，我們對(duì)相關(guān)計(jì)算步驟進(jìn)行了簡(jiǎn)化處理. 統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，這種簡(jiǎn)化對(duì)固定點(diǎn)計(jì)算結(jié)果的影響小于1%，但顯著減少了計(jì)算時(shí)間，從而大幅提高了計(jì)算效率. 我們的研究不僅為IIB 型弦理論緊致化提供了重要的數(shù)據(jù)支持，也展示了計(jì)算方法優(yōu)化在復(fù)雜幾何計(jì)算中的潛力.

關(guān)鍵詞： 卡拉比-丘流形； 弦緊致化； IIB 型弦理論

中圖分類號(hào)： O412. 2 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A DOI：10. 19907/j. 0490-6756. 240179

1引言

作為從高維弦論到現(xiàn)實(shí)理論的主要參數(shù)，緊致化中被卷曲的維度的幾何結(jié)構(gòu)在弦唯象研究中具有重要意義［1］. 卷曲維度的幾何結(jié)構(gòu)兼具復(fù)雜性和多樣性，并且根據(jù)所考慮弦論的類型和緊致化方式的不同，對(duì)緊致化流形性質(zhì)的要求也會(huì)發(fā)生變化. 這種復(fù)雜性和多樣性導(dǎo)致了弦沼澤繪景［2］的提出，也使人們對(duì)一些基本哲學(xué)問題的回答陷入了人擇原理的僵局. 但不可否認(rèn)，尋找產(chǎn)生我們?nèi)缃裼钪娴木砬S度結(jié)構(gòu)，仍然是一個(gè)重要的科學(xué)問題，它是以弦論為基礎(chǔ)解釋現(xiàn)實(shí)世界，并描繪宇宙演化過程所必不可少的一部分.

我們構(gòu)建的流形數(shù)據(jù)庫主要面對(duì)IIB 型弦理論的流緊致化過程. IIB 型弦論作為備受關(guān)注的一種弦論，其緊致化過程早已被廣泛地研究［1］. 其中對(duì)流緊致化過程的研究表明，只有被緊致的六維時(shí)空是可定向復(fù)三維卡拉比-丘流形時(shí)，緊致化后的四維理論才具有和標(biāo)準(zhǔn)模型一致的超對(duì)稱數(shù)N=1 的性質(zhì). 除了超對(duì)稱數(shù)外，荷相消和模穩(wěn)定等要求也直接影響著四維理論的性質(zhì)［3］（如基本作用力的數(shù)量），因而是決定一個(gè)流形緊致化價(jià)值的重要參數(shù)，而對(duì)我們所考慮的情形，這些條件決定于流形的固定點(diǎn)結(jié)構(gòu).

雖然可定向復(fù)三維卡拉比-丘流形及其具體結(jié)構(gòu)在IIB 型弦論流緊致化過程中發(fā)揮著重要作用，但由于相關(guān)計(jì)算過程復(fù)雜易錯(cuò)，現(xiàn)有的數(shù)據(jù)庫［4-6］獲取的結(jié)果在數(shù)量，正確性和可重復(fù)性方面都各有欠缺. 我們通過簡(jiǎn)化算法新計(jì)算的數(shù)據(jù)庫雖然在正確性上稍有不足，但體量上是之前同類數(shù)據(jù)庫的5倍.

本文的結(jié)構(gòu)安排如下：第二節(jié)我們將給出計(jì)算可定向復(fù)三維卡拉比-丘流形及其結(jié)構(gòu)的流程，同時(shí)穿插一些必需的定義和定理；第三節(jié)將以實(shí)例的方式對(duì)算法簡(jiǎn)化前后進(jìn)行對(duì)比，并分析簡(jiǎn)化的優(yōu)勢(shì)和劣勢(shì)；在最后一節(jié)我們將給出通過這種方法計(jì)算得到的數(shù)據(jù)庫以及對(duì)其的統(tǒng)計(jì)結(jié)果.

2計(jì)算方法

卡拉比-丘流形作為一個(gè)高度抽象的幾何對(duì)象，只有在一個(gè)合適的框架中才能得到很好的描述. 在我們的工作中，這個(gè)框架就是Toric Variety.我們所計(jì)算的可定向復(fù)三維卡拉比-丘流形都以超平面的形式存在于由四維自反格點(diǎn)多面體得到特殊的四維toric variety中.